2023-2024学年四川省峨眉高一下学期4月月考数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年四川省峨眉高一下册4月月考数学试题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在平行四边形ABCD 中，AC BC -=
（
）
A.DA
B.BD
C.BA
D.DC
2.设()23i 3i a b -+=，其中a ､b 为实数，则（）
A.1a =，2b =-
B.1a =，2b =
C.1a =-，2
b = D.1a =-，2
b =-3.下列函数为偶函数且在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上为减函数的是（）
A.()sin f x x =
B.()tan f x x =
C.()cos f x x
= D.()f x x
=4.已知()0,1A ，(),3B m ，()4,7C 三点共线，则m =（）
A.13
-
B.
13
C.
43
D.2
5.已知a ，b ､c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2
cos 3
a C
b
c =+，则△ABC 是（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
6.已知cos1,sin1,tan1a b c ===，则（）
A.a b c <<
B.c b a <<
C.b c a
<< D.c a b
<<7.如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时
A 处看灯塔S 在船的北偏东
sin 4θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
的方向上.1小时后，船航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东3θ的方向上，则船航行到B 处时与灯塔S 之间的距离为（
）
A.3海里
B.3
C.1013海里
D.138.已知复数12i z =+是关于x 的方程()2
0,x px q p q R ++=∈的一个根，若复平面内满足
1z z p q -=+的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为（
）
A.π
B.16π
C.25π
D.81π
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，井20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知复数12i z =+，212i z =-，则（）
A.12
z z = B.1z 的共轭复数为2
z C.复数12z z 对应的点位于第二象限
D.复数1
2
z z 为纯虚数
10.在△ABC 中，1AB =，2AC =，2π3
A =
，5BC CD =
，E 为AC 的中点，则（）
A.4BD DC =
B.6155AD AC AB
=- C.1
AB AC ⋅= D.3910
AD BE ⋅=
11.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若2a =，π
4
A =，b x =，满足此条件的三角形只有一个，则x 的值可能为（）
2
B.2
C.22
D.3
12.已知函数()sin cos 2sin2x x
f x x
+=
+，则（
）A.()y f x =的图象关于直线4
x π
=对称B.()y f x =的图象关于点,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称C.()f x 既是周期函数又是奇函数
D.()f x 的最大值为12
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数()2sin 135x f x π⎛⎫
=+-
⎪⎝
⎭的最小正周期为__________，最小值为__________.（本题第一空3分，第二空2分）
14.已知函数()()tan 34f x x πϕϕ
⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象关于点,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭
对称，则ϕ=__________.15.已知M 为线段AB 上的任意一点，O 为直线AB 外一点，A 关于点O 的对称点为C ，B 关于点
C 的对称点为
D ，若OM xOC yOD =+
，则3x y +=________.
16.如图，某公园内有一个边长为12m 的正方形ABCD 区域，点M 处有一个路灯，5m BM =，
3
sin 5
MBQ ∠=
，现过点M 建一条直路分别交正方形区域两边AB ，BC 于点P 和点Q ，若对五边形APQCD 区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为________2m .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知复数()()
()2
2
2i z m m m m m =-++++∈R .
（1）若z 为实数，求m 的值；（2）若z 为纯虚数，求m 的值；
（3）若复数z 在复平面内所对应的点位于第四象限，求m 的取值范围.18.（12分）
已知平面向量()1,2a = ，()0,1b =- ，a c ⊥
，且3b c ⋅= .
（1）求c
的坐标；
（2）求向量a c -
在向量b 上的投影向量的模.
19.（12分）
已知角θ的始边为x 轴非负半轴，终边过点(A -.
（1
3cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪
（2）已知角α的始边为x 轴非负半轴，角θ和α的终边关于y 轴对称，求cos 3πθα⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
的值.
20.（12分）
赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个
较大的等边三角形.已知sin 2sin CAF ACF ∠=∠.
（1）证明：F 为AD 的中点.
（2）求向量AC 与BE
夹角的余弦值.21.（12分）
如图，在平面四边形
ABCD 中，4AC =，BC CD ⊥.
（1）若2
AB =，3BC =，CD =ACD 的面积；（2）若2π3B ∠=
，π
6D ∠=，求162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭
的最大值.22.（12分）
已知函数()()[]2sin (0,0,2)f x x ωϕωϕπ=+>∈的部分图象如图所示.
（1）求()f x 的解析式；
（2）将函数()f x 图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()g x λπ+在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上无零点，求正数λ的取值范围.答案和解析
1.D
本题考查平面向量的减法，考查直观想象的核心素养.
AC BC AB DC -== .
2.C 本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.
因为a ，b ∈R ，()23i 3i a b a +-=，所以20a b +=，33a -=，解得1a =-，2b =.3.C 本题考查函数的性质，考查数形结合的数学思想.根据函数的图象易知()cos f x x =为偶函数且在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上为减函数，故选C.4.C 本题考查三点共线，考查数学运算的核心素养.
由题可知(),2AB m = ，()4,6AC = ，因为A ，B ，C 三点共线，所以86m =，即4
3
m =.
5.D
本题考查解三角形，考查化归与转化的数学思想.
由余弦定理得222223
a b c a b c ab +-⋅=+，整理得222
43b c a bc +-=-，所以2cos 03A =-<，
即A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形.
6.A 本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养.由题意知，220cos1cos
sin1sin ,tan1tan 142424
a b c πππ
<=<==>==>，故a b c <<.
7.B 本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象的核心素养.
由题意得，在△ABS 中，BAS θ∠=，39AB =32BSA θθθ∠=-=.
由正弦定理有
sin sin AB BS BSA BAS =∠∠
，代入数据得sin 2sin BS θθ=
，解得cos BS θ
=.
因为sin 4θ=
，所以cos 4
θ=
，BS =（海里）.8.A 本题考查复数的应用，考查直观想象的核心素养.
由题可知()()2
(2i)2i 0,p q p q R ++++=∈，则()()324i 0p q p ++++=，所以
320,40p q p ++=+=，解得4,5p q =-=，由1z z p q -=+，可得11z z -=，所以M 围
成的图形是半径为1的圆，其面积为π.9.AD
本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.
由于1z =
，2z =A 正确；1z 的共轭复数为2i -，故B 错误；
()()122i 12i 43i z z =+-=-，复数12z z 对应的点位于第四象限，故C 错误；()()()()122i 12i 2i 2i 4i 2
i 12i 12i 12i 5
z z +++++-====--+为纯虚数，故D 正确.10.BD
本题考查平面向量的运算，考查直观想象的核心素养.
因为5BC CD = ，所以6BD CD =
，故A 错误；由向量加法的三角形法则，可得()
66615555
AD AB BD AB BC AB AC AB AC =+=+=+-=-
，故B 正确；
2π
cos 13AB AC AB AC ⋅=⋅=- ，故C 错误；
6113955210
AD BE AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故D 正确.
11.ABC 本题考查解三角形，考查化归与转化的数学思想.
由正弦定理得
2
π
sin sin
4
x
B =
，
则x B =，又3π0,4B ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
且满足条件的三角形只有一个，即x 有唯一的角与其对应，所以ππ0,24
B ⎧⎫⎛⎤∈⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝
⎦
，
故{(]
0,2x B =∈ .故选AB C.
12.ABD 本题考查函数图象及其性质，考查化归与转化的数学思想.
因为()()
sin cos cos sin 2222sin 22sin2x x x x f x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=== ⎪+-+⎝⎭
，所以()y f x =的图象关于
直线4
x π
=
对称，A 正确；因为
()()
sin cos sin cos 2222sin 22sin2x x x x f x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪
--⎛⎫⎝⎭⎝⎭--===- ⎪+--+⎝⎭，所以()y f x =的图象关于点,04π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，B 正确；
()()()()()sin cos sin cos 2sin 22sin2x x x x f x f x x x -+--+-==≠+--，所以C
错误；令sin cos [4t x x x π⎛
⎫=+=
+∈ ⎪⎝
⎭，则当0t =时，0y =
，当
)(
t ⎡∈⋃⎣时，21
11t y t t t
=
=
++，当t =1时，()f x 取得最大值1,2
D 正确.
13.6;3
π-本题考查三角函数的图象，考查直观想象的核心素养.
()f x 的最小正周期
2613
T π
π=
=，最小值为-3.14.6
π-
本题考查正切函数，考查数学运算的核心素养.
因为()()tan 34f x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象关于点,09π⎛⎫
- ⎪
⎝⎭对称，所以,32k k Z ππϕ-+=∈，所以,32
k k Z ππ
ϕ=+∈，因为4πϕ，所以6
π
ϕ=-.15.1
-本题考查平面向量的基本定理，考查逻辑推理的核心素养.
因为A 关于点O 的对称点为C ，所以OC OA =-
.
又B 关于点C 的对称点为D ，所以222OD OB BC OC OB OA OB =+=-=--
.
又OM xOC yOD =+
，所以()()2OM x y OA y OB =--+- .
因为A ，B ，M 三点共线，所以21x y y ---=，即31x y +=-.16.120
本题考查三角形的面积，考查逻辑推理的核心素养.
设BP x =，BQ y =，因为PBM QBM BPQ S S S +=△△△，所以
14131
5525252
x y xy ⋅⋅+⋅⋅=，即43x y xy +=
，所以43xy x y =+≥，可得48xy ≥，所以三角形BPQ 面积的最小值为224m ，又因为正方形ABCD 的面积为2144m ，所以五边形APQCD 面积的最大值为2120m .
17.解：（1）若z 为实数，则20m m +=，所以0m =或1m =-.
（2）若z 为纯虚数，则2220,
0,
m m m m ⎧-++=⎨+≠⎩所以2m =.
（3）若复数z 在复平面内所对应的点位于第四象限，则2220,0,m m m m ⎧-++>⎨+<⎩解得12,
10,m m -<<⎧⎨-<<⎩得
10m -<<，所以m 的取值范围为()1,0-.
18.解：（1）设(),c x y = ，因为a c ⊥
，所以20x y +=.
又3b c y ⋅=-=
，
解得6x =，3y =-，所以()6,3c =-
.（2）()5,5a c -=-
，
所以()5a c b -⋅=-
，
则向量a c -
在向量b 上的投影向量的模为
()5a c b b
-⋅= .19.解：（
1）由题可知OA =
63
sin ,cos tan 33
θθθ=
=-=
3cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫
-++ ⎪ ⎪
=
2
=
=-（2）由题可知2,k k Z αθππ+=
+∈，
由（1）可知1
sin2,cos233
αα=
=-，所以2cos cos 22cos 2333k πππθαπαπα⎛
⎫⎛⎫⎛⎫--
=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
13126
cos2226
αα+=-+=
20.（1）证明：因为sin 2sin CAF ACF ∠=∠，所以2CF AF =.又因为AFC BDA CEB ≌≌△△△，
所以AF CE =，
所以2CF CE =，即E 为CF 的中点，所以F 为AD 的中点.
（2）解：设1AC = ，()()
111242
BE BF BC BA BD =+=++
，所以111422
BE BA BE BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，则24467777BE BA BC AC AB =+=- ，
所以7BE ===
.又246461
77777BE AC AC AB AC AC AB AC ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅= ⎪⎝⎭
，
所以向量AC 与BE 夹角的余弦值为714
BE AC BE AC ⋅= .21.解：（1）在△ABC 中，22216947
cos 22438
AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯.
因为BC CD ⊥，所以7
sin cos 8
ACD ACB ∠=∠=，所以△ACD
的面积117sin 42284
S AC CD ACD =
⋅⋅∠=⨯=
.（2）设BCA θ∠=，π
03
θ<<
，则π2ACD θ∠=-，π
3
BAC θ∠=-.
在△ABC 中，2ππsin
sin 33BC AC
θ=
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
则π3BC θ⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭
，在△ACD 中，ππsin
sin 62AD AC
θ=
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则8cos AD θ=，
所以
1π4cos 6233AD BC θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
π
cos sin sin
3334
θθθ⎛⎫
=+=+
⎪
⎝⎭
，
当
π
4
θ=
时，
1
62
AD BC
⎛⎫
+-
⎪
⎪
⎝⎭
取得最大值
3
.
22.解：（1）因为()02sin1
fϕ
==，可得1
sin
2
ϕ=，
因为()
f x在0
x=处附近单调递增，所以
6
π
ϕ=，
所以()2sin6
f x xπ
ω
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
，因为()2sin1
6
fπ
ππω
⎛⎫
=+=-
⎪
⎝⎭
，所以
1
sin,
62
π
πω
⎛⎫
+=-
⎪
⎝⎭
因为()
f x在xπ
=处附近单调递减，且当0
x>时，()
f x在xπ
=处的第一次取值为
1
2-，所以
7
66
ππ
ωπ+=，可得1
ω=.
即()2sin6
f x xπ
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
.
（2）将()
f x图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得到2sin
36
x
yπ
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
的图象，再把2sin36
x
yπ
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
的图象向左平移π个单位长度，可得
()()
1
2sin2sin2cos
36323
x x
g x xππ
π
⎡⎤⎛⎫
=++=+=
⎪
⎢⎥
⎣⎦⎝⎭
的图象，
则()2cos33
x
g xλπ
λπ⎛⎫
+=+
⎪
⎝⎭
，因为,
2
xππ
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，
所以,,
336333
xλπλππλππ
⎛⎫
+∈++
⎪
⎝⎭
则
,
632
,
332
k
k
k
λπππ
π
λπππ
π
⎧
+-+
⎪⎪
∈
⎨
⎪++
⎪⎩
Z，解得1
563
2
k k
λ
-++
由
λ>，可得
17
0,1,
22
λ⎛⎤⎡⎤
∈⋃
⎥⎢⎥
⎝⎦⎣⎦，即正数λ的取值范围为
17
0,1,
22
⎛⎤⎡⎤
⋃
⎥⎢⎥
⎝⎦⎣⎦.。