2021-2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业九直线与椭圆的位置关系新人教B版

2021-2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业九直线与椭圆的位
置关系新人教B版
∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a c
.
又∵AP →＝2PB →
，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12
.
答案：D
4．过椭圆x 2＋2y 2
＝4的左焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )
A.67
B.167
C.716
D.76
解析：椭圆可化为x 24＋y 2
2＝1，∴F (－2，0)，
又∵直线AB 的斜率为3， ∴直线AB 为y ＝3x ＋ 6 由⎩⎨
⎧
y ＝3x ＋6x 2＋2y 2＝4
得7x 2
＋122x ＋8＝0
∴|AB |＝1＋k 2
[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]＝
167
. 答案：B
5．过椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左焦点F 作倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，
则
1
|AF |＋1|BF |等于( ) A.43 B.34 C.35 D.53
解析：由已知得直线l ：y ＝3(x ＋1)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3x ＋1x 24＋y 2
3
＝1，
可得A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85
，－335，
又F (－1,0)，∴|AF |＝2，|BF |＝6
5，
∴
1
|AF |＋1|BF |＝43. 答案：A
整理得17x 2＋16bx ＋4b 2
－4＝0.
Δ＝(16b )2－4×17(4b 2－4)＜0，
解得b ＞17或b ＜－17.
答案：(－∞，－17)∪(17，＋∞)
10．过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原
点，求△OAB 的面积．
解：椭圆的右焦点为F (1,0)， ∴l AB ：y ＝2x －2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －2，x 25＋y
24
＝1，
得3x 2
－5x ＝0， ∴x ＝0或x ＝53
，
∴A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，43， ∴S △AOB ＝12|OF |(|y B |＋|y A |)＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋43＝5
3
.
B 组 能力提升
11．中心在原点，焦点坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2＝0截得弦的中点的横坐标为1
2
，则椭圆方程为________．
解析：椭圆焦点在y 轴上，可设方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)
设直线3x －y －2＝0交椭圆于A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝3(x 1＋x 2)－4＝－1，且
⎩⎪⎨⎪⎧
y 21a 2＋x 21
b
2＝1，①y 2
2a 2
＋x 22b 2
＝1，②
①－②得y 21－y 22a 2＋x 21－x 2
2
b
2＝0，
y 1＋y 2
y 1－y 2
a
2
＝－
x 1－x 2
x 1＋x 2
b
2
，
(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，c a ＝2
2，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得b ＝ 2.
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －1，x 24＋y
2
2
＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2
－4＝0.
设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则
y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2
－4
1＋2k 2.
所以|MN |＝x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
＝1＋k
2
[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]＝
2
1＋k 2
4＋6k
2
1＋2k
2
.
又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k
2
，
所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 2
1＋2k 2
. 由|k |4＋6k 2
1＋2k 2
＝103
，解得k ＝±1. 15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5
5
a ，22a 在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．
解析：
(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5
5a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2
a 2＝58.
于是e 2
＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝6
4
.
(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx . 设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．。