山东省淄博第一中学2020学年高二数学上学期期中试题

山东省淄博第一中学2020学年高二数学上学期期中试题
注意事项：
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷为选择题，
共
90分，满分 150分，考试时间为120分钟。

60分；第Ⅱ卷为非选择题，共
第Ⅰ卷（选择题
一、选择题(此题共12个小题，每题5分，共
1、以下命题中，正确的选项是
A.若，，则
C.若，则
2、命题“，都有”的否认是
A.，使得
C.，都有共60
60分)
B.若
D.若
B.
D.
分）
，则
，
，使得
，都有
，则
3、已知
A.最大值为0
B.
4、若数列的通项公式是，则
最小值为
有
C.最大值为
，则
D.最小值为
A.15
B.12
C.
D.
5、若a，
，且，则的最小值为
A.1
B.4
C.
D.2
6、已知点P为椭圆上一点，，分别为其左、右焦点，且，
则离心率
A. B. C. D.
7、不等式的解集是
A. B. C. D.
8、以下四个不等式中，正确的有()个
①x 2
＋1≥2x ；②
7－5<6－2；③a 2＋b 2
≤
(a ＋b)
2
；
2
④若x,y 为正实数，则(x ＋y)(x
3
＋y 3)≥4x 2y
2
个
B.3 个
C.2 个
个
9、已知等比数列{
a n } 知足 a
0,n
1,2,L ，且a 5a 2n5 22n (n
3) ，则当n 1
n
时，
log 2a 1 log 2a 3L
log 2a 2n1
（
）
A. n(2n 1)
B.
(n
1)2
C.
n 2
D.
(n1)2
10、若函数f(x)
知足f(n ＋1)=
2f(n) ＋n
，则f(20)=(
)
2
，n ∈N *
,且f(1)=2
C.105
11、a 、b 、c 、a 、b 、c 均为非零实数，不等式
ax 2
＋b x ＋c>0和
1 1 1
2 2 2 1 1 1
a 2x 2
＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为会合 M 和N ，那么“
a 1
b 1
c 1
”是“M=N ”的（ ）
a 2
b 2
c 2
A ．既不充足也不用要条件.
B ．必需不充足条件.
C ．充要条件
D ．充足不用要条件.
12、已知x 的方程
有两个不相等的实数根，则实数 m 的范围是(
)
A.(
－2,
2)
B.[
－2,
2]
C.[
－2,1)
D.
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
注意事项：
答卷前先将密封线内的项目填写清楚。

密封线内禁止答题。

二、填空题:此题每题 5分，共 20分。

将答案转移到答题卡上。

x －1
13、不等式x ＋2>1的解集为
14、若椭圆 的弦被点 均分，则此弦所在直线的斜率为 ．
15、已知两圆 ： ， ： ，动圆在圆 内部且和圆 相
内切，和圆 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为
16、已知
， 是椭圆 的两个焦点，A 、B 分别为该椭圆的左极点、上极点，点
P
在线段AB 上，则
的取值范围是
三、解答题：共 70分,写出解答过程 .
17、（满分12分） 已知等差数列
中，
，
，求该数列的前 8项
的和 的值．
已知等比数列 中， ， ．
18、（满分12
分）设点P 是圆x 2 y 2
25上的动点，PD
x 轴，垂足为D ，点M
在PD 上，且|MD|
4
|PD|.
5
(Ⅰ)当P 在圆周上运动时，求点
M 的轨迹方程C .
（Ⅱ）写出点
M 的轨迹方程C 的焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距、离心率.
19、（满分
12分）已知椭圆
C:x 2
2y 2
1
（Ⅰ） k 取何值时？直线
L:y
k x
1
与椭圆
C
：① 订交；
②相切；
③
相离.
（Ⅱ）倾斜角为
的直线与椭圆
C 交于
A,B
两点，且
|AB|
4
,求该直线方程
.
4
3
20、（本小题满分
12分）单位建筑一间地面面积为
的反面靠墙的矩形小房子，因为地
理地点的限制，房子侧面的长度
x 不得超出
房子正面的造价为
400元
，房子侧面的
造价为150元
，屋顶和地面的造价花费共计为5800元，假如墙高为3m，且不计房子背
面的花费
.当侧面的长度为多少时，总造价最低？
21、（本小题满分 11分） 已知―1≤a ≤1，解对于 x 的不等式：ax 2
―2x ＋a>0
22、（本大题满分 11分）设等比数列 {a n }的公比为 q ，前n 项和S n >0(n=1,2,3,
)
（Ⅰ）求 q 的取值范围；
3
（Ⅱ）设 b n =a n ＋2―2a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较
S n 与T n 的大小.
淄博一中高
2020级2020学年第一学期期中考试
数学参照答案
一、选择题(此题共12个小题，每题
1、以下命题中，正确的选项是
A.若，，则5分，共60分)
B.若
，则
C.若，则
D.若
，，则
【答案】
C【分析】：令，，，，明显
A、D不建立，
对于B：若，明显不建立，对于C：由，得：，故C正确，应选：
C．
2、命题“，都有”的否认是
A.
，使得 B.，使得
C.
，都有 D.，都有
【答案】B【分析】：命题“
，都有”的否认是“，使得”应选
B．
3、已知
A.最大值为
0，则
B.最小值为
有
0 C.最大值为 D.最小值为
【答案】C【分析】解：
，，，等号建立的条件是，即．应选
C．
4、若数列的通项公式是
，则
A.15
B.12
C.
D.
【答案】A【分析】：依题意可知
，
应选
A．
5、若
a，，且，则
的最小值为
A.1
B.4
C.
D.2
【答案】
B 【分析】：
，
，且
，
，当且仅当 时取等号．
的最小值为2．应选D ．
6、已知点P 为椭圆
上一点，
， 分别为其左、右焦点，且
，
则离心年率
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【分析】解：如图，
，
，
，则
，
由椭圆定义可得
，
得
．应选：．
D
7、不等式
的解集是
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【分析】解：
当
，不等式即为
，即 建立，故
；
当 ，不等式即为
，得
，故
；
当
，
，即
不建立，故 ．综上知解集为
．应选A ．
8、以下四个不等式中，正确的有 (B
)
个
①x 2
＋1≥2x ；②7－
5<
(a+b)
2
(x 3
＋
6－2；③a 2
＋b 2
≤
；④若x,y 为正实数，则(x ＋y)
2
y 3)≥4x 2y
2
个 个 C.2 个
个
9、已知等比数列{
a n }知足a
0,n 1,2,L ，且a 5
a
2n5
22n (n 3)，则当n 1
n
时，log 2a 1
log 2a 3
L
log 2a 2n1
（
）
A. n(2n
1)
B.
(n 1)2
C.
n 2
D.
(n1)2
9、【分析】由aa
22n (n3)得a
2
2
2n ， a n 0
，则
a n
2
n
，
5
2n5
n
log 2a 1
log 2a 3
log 2a 2n1
1
3 (2n1)
n 2
，
选
C.
10、若函数f(x)
知足f(n ＋1)=
2f(n) ＋n
，则f(20)=(B
)
2
，n ∈N *
,且f(1)=2
C.105
11、a 、b 、c 、a 、b 、c 均为非零实数，不等式
ax 2
＋bx ＋c>0和ax 2
＋b x ＋c >0
1 1 1
2 2 2
1
1
1
2 2 2
的解集分别为会合 M 和N ，那么“
a 1
b 1
c 1
”是“M=N ”的（A ）
a 2
b 2
c 2
A ．既不充足也不用要条件
.
B ．必需不充足条件.
C ．充要条件
D ．充足不用要条件.
12、已知方程
有两个不相等的实数根，则实数 m 的范围是(
)
A.(－2, 2)
B.[ －2,2]
C.[
－2,1)
D.
【答案】 【分析】解：由对于 x
的方程
，可 设
，和
，
，
由
，可得
，
因为
，因此
，
，表示圆的上半部分；
当直线
与圆相切时，
圆心到直线的距离
，解得
，由图象可 知 ，因此
；
当直线经过点
时，直线知足
，解得
；
因此要使对于 x 的方程
有两个不一样实数
解，
则实数m 的取值范围是
故答案为：
二、填空题:此题每题5分，共20分。

将答案转移到答题卡上。

x －1
13、不等式x ＋2>1的解集为
(
―∞,－2)
14、若椭圆 的弦被点 均分，则此弦所在直线的斜率为
．
【答案】【分析】解：设弦的两个端点为，，则，，
，．得：．
点是弦的中点，，，．故答案是．
15、已知两圆：，：，动圆在圆内部且和圆相
内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
【答案】【分析】解：两圆：，
圆心坐标为，半径为13，：，
圆心坐标为半径为3．动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，
则：设动圆的圆心坐标，半径为R，则：，，
因此：，解得：，，，
因此：动圆圆心M的轨迹方程为：．故答案为：
16、已知，是椭圆的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左极点、上极点，点P
在线段AB上，则的取值范围是
【答案】【分析】解：由椭圆，得，，
则，，，设，则，即
，，，，
，
，当时，有最小值为，当时，有最大值1．
的取值范围是：．故答案为：．
三、解答题：共70分,写出解答过程.
17、（满分12分）已知等差数列中，，，求该数列的前8项
的和的值．
已知等比数列中，，．
【答案】解：依据题意，设等差数列的公差为d,则3a1+6d=21a1=3
,解得：，则a1+3d=9d=2
...........................................
.6分
等比数列中，，，
则，解可得：，则．
(12)
分
18、（满分12分）设点P是圆x2y225上的动点，PD x轴，垂足为D，点M
在PD上，且|MD|4
|PD|. 5
(Ⅰ)当P在圆周上运动时，求点M的轨迹方程C.
（Ⅱ）写出点M的轨迹方程C的焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距、离心率.
4
|PD|∴x=x0
18、（1）联合图形，设M(x,y),P(x0,y0)，∵|MD|4
5y=
5
y
x0=x
变成：5又∵x02
＋y0
2
=25∴x2＋y2=25即=1
y 0= 4 y
∴M的轨迹方程是:=1............................................7分
（2）∴a=5,b=4,c=3∴焦点坐标为（3,0）（－3,0），
长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，离心率为
(12)
分
19、（满分12分）已知椭圆C:x22y21
（Ⅰ）k取何值时？直线L:ykx1与椭圆C：①订交；②相切；③相离.
（Ⅱ）倾斜角为的直线与椭圆C交于A,B两点，且|AB|4,求该直线方程.
43
19、（1）联立椭圆C与直线L的方程有
(2k2＋1)x2＋4kx＋1=0
①订交时，有(4k)2－4(2k2＋1)>0，得k>或k<－
②相切时，有(4k)2－4(2k2＋1)=0，得k=或k=－
③相离时，有(4k)2－4(2k2＋1)<0，得－<k< ............................................6分
（2）设直线为y=x＋b,且交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)
则由可得:3x2＋4bx＋2b2－1=0
∴x1＋x2=,x1x2=
∴=
∴|AB|===
解得b=或－
∴直线方程为
y=x ＋
或y=x－
................................
(12)
分
20、（本小题满分12分）单位建筑一间地面面积为
的反面靠墙的矩形小房子，因为地
理地点的限制，房子侧面的长度x不得超出
房子正面的造价为400元，房子侧面的
造价为150元
，屋顶和地面的造价花费共计为5800元，假如墙高为3m，且不计房子背面的花费.当侧面的长度为多少时，总造价最低？
【答案】解：r如图，设总造价为Z元，则
，
有
16
Z(x)=3y×400＋6x×150＋5800=900(x＋x)
5800,0<x≤a .............................................4分
1）当a>4时，
∵Z(x)=900(x
161
＋)＋5800≥900×2x×＋5800=13000 x x
当时，，∵4∈(0,a],Z(x)有最小值13000 .............................................8分(2)
当0<a≤4时，Z(x)在(0,a]上为增函数.
900(x1-x2)(x1x2-16)
1x2<a 2≤
证明：设0<x1<x2≤a，则z(x1)－z(x2)=∵x1－x2<0，0<x
x1x2
16，∴z(x1)>z(x2)∴Z(x)在(0,a]上为减函数.
∴当x=a时，Z(x)的最小值为z(a)=
答：当0<a≤4时，时总造价最低，最低总造价为元；当
a>4时，时总造价最低，最低总造价是
13000元．
................................................ . (12)
分
21、（本小题满分 11分）已知―1≤a ≤1，解对于x 的不等式：ax 2
―2x ＋a>0
21、解：
①当a=0时，原式化为―2x>0，即x<0；
a ≠0时，△=(―2)2―4a 2
=4(1＋a)(1
―a) (1)
分
②当a=―1
时，△=0，原式化为―x 2―2x ―1>0，即(x ＋1)2
<0∴x ∈φ (2)
分
③当―1<a<0时，△>0，方程ax 2
―2x ＋a=0的根为x
2±4(1―a 2
)
1±1―a
2
=
=
1、2
2a
a
1＋1―a
2
1―1―a 2
分
∴
a
<x<
(6)
a
1―1―a
2
1＋1―a
2
分
④当0<a<1时,联合③知，x<
a
或x>
a (10)
⑤当a=1时，原式化为
x 2―2x ＋1>0，即(x ―1)2
>0
∴x ∈R,且x ≠1
由上知，当a=―1时，不等式的解集为φ；当―
1<a<0时，不等式的解集为
2
，1― 2
( 1＋1―a
1―a
)；当a=0时，不等式的解集为(―∞,0)
；当0<a<1时，不等式的
a
a
解集为{x|x< 1― 2
1＋1―a 2
∈R,且x ≠1}
1―a 或x> }；当a=1时，不等式的解集为{x|x a a
(11)
分
22、（本大题满分 11分）设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n=1,2,3, )
（Ⅰ）求q 的取值范围；
3
（Ⅱ）设b n =a n ＋2―2a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小.
22、解：（Ⅰ）∵q 是等比数列{a n }的公比，且其前
n 项和S n >0 (n=1,2,3,
)
a 1>0,q ≠0
∴ (1) 当 q=1 时 ,
S n =n
a 1
>0 ，
∴
成
立.............................................
1
分
a 1(1―q n
)
1―q
n
( 2)当 q ≠1,q
≠0 时,
S n = 1―q
>0 ，即
1―q
>0
(n=1,2,3, ).........................
2
分
等价于
1―q n
<0 (n=1,2,3,
)
①
或
1―q n
>0 (n=1,2,3,
) ②
1―q<0
1―q>0
解①得：q>1；解②： 因为对于n 为奇数和偶数时都建立，∴
|q|<1 ∴―1<q<1
由(1)
、(2) 可 知
q
的取
值 范 围为 (― 1,0)∪
(0,＋
∞) (5)
分
3
3
3
（Ⅱ）∵ b n =a n ＋ 2―2a n ＋1=a n (q 2
―2q) ∴T n =(q 2
―2q)S n
3
1
∴T ―S=(q 2
―q ―1)S=(q ―2)(q ＋)S
n
n n
2 n
2
S n >0，且―1<q<0或q>0
∴①当―1<q<―
1
，或q>2时，T n ―S n >0，即T n >S n ；
2
②当―1
<q<2，且q ≠0时,T ―S<0，即T<S ；
2 nn nn
③当q=― 1 或q=2时，T ―S
=0，即T=S (11)
分
2
nn n n。