江苏省2019高考数学总复习优编增分练：高考附加题加分练(四)不等式选讲

(四)不等式选讲
1．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2
＝2，求证：x ＋y ≥2xy .
证明 ∵x >0，y >0，
∴要证x ＋y ≥2xy ，只要证(x ＋y )2≥4x 2y 2，
即证x 2＋y 2＋2xy ≥4x 2y 2.
∵x 2＋y 2＝2，∴只要证2＋2xy ≥4x 2y 2，
即证2(xy )2－xy －1≤0，即证(2xy ＋1)(xy －1)≤0.
∵2xy ＋1>0，∴只要证xy ≤1.
∵2xy ≤x 2＋y 2＝2，∴xy ≤1成立，
当且仅当x ＝y ＝1时取等号．
∴x ＋y ≥2xy .
2．已知a ，b ，c 都是正数且abc ＝1，求证：(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥27.
证明 由算术－几何平均不等式可得
2＋a ＝1＋1＋a ≥33a ，
2＋b ＝1＋1＋b ≥33b ，
2＋c ＝1＋1＋c ≥33c .
不等式两边分别相乘可得，
(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥33a ×33b ×33c ＝273abc ＝27，
当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．
3．已知函数f (x )＝2|x －2|＋3|x ＋3|.若函数f (x )的最小值为m ，正实数a ，b 满足4a ＋25b
＝m ，求1a ＋1b
的最小值，并求出此时a ，b 的值． 解 依题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x －5，x <－3，x ＋13，－3≤x ≤2，
5x ＋5，x >2，
当x ＝－3时，函数f (x )有最小值10，故4a ＋25b ＝10，
故1a ＋1b ＝110⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ()4a ＋25b ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫29＋25b a ＋4a b ≥110⎝ ⎛⎭⎪⎫29＋225b a ·4a b ＝4910
，
当且仅当25b a ＝4a b
时等号成立， 此时a ＝57，b ＝27
. 4．(2018·镇江调研)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2
－3恒成立，求实数a 的取值范围．
解 ∵对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，
∴f (x )min >a 2－3，
又∵|x －a |＋|x ＋a |≥ |x －a －(x ＋a )|＝|2a |，
∴|2a |>a 2－3，
即|a |2－2|a |－3<0，
解得－1<|a |<3.
∴－3<a <3.。