浙江省绍兴市诸暨市海亮高中高三数学上学期期中试卷理

2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨市海亮高中高三（上）期中数学试
卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）
A．[﹣2，3] B．（1，3] C．（1，3） D．（1，2]
2．已知等差数列{a n}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）
A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20
3．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
5．已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为（）
A． B．C．D．
6．数列{a n}中，a1=1，a n+1+a n=（﹣2）n，S n是数列{a n}的前n项和，则S6=（）
A．﹣62 B．62 C．﹣42 D．42
7．若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）
A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数8．在△ABC中，（）⊥，则角A的最大值为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．若{a，0，1}={c，，﹣1}，则a= ，b= ，c= ．
10．若角α终边所在的直线经过点，O为坐标原点，则
|OP|= ， = ．
11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则m= ，f（﹣log35）的值为．
12．若，则cos2θ= ．
13．在数列{a n}中，设a1=a2=2，a3=4，若数列为等差数列，则a5= ．
14．设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是．
15．已知两个非零平面向量满足：对任意λ∈R恒有，则：
①若，则= ；②若的夹角为，则的最小值为．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量=（1，sinθ），=（2，1）．
（1）当θ=时，求向量2+的坐标；
（2）若∥，且θ∈（0，），求sin（θ+）的值．
17．设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若cosB=，且△ABC的周长为14，求b的值．
18．已知等比数列{a n}的公比大于零，a1+a2=3，a3=4，数列{b n}是等差数列，，c≠0是常数．
（1）求的值，数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）设数列{c n}满足：当n为偶数时c n=a n，当n为奇数时c n=b n，求数列{c n}的前n项和S n．
19．已知函数f（x）=x2+2ax+2，a∈R．
（1）若函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，求a的取值范围；（2）对任意x1，x2∈[﹣1，1]，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≤6，求实数a的取值范围．
20．已知数列{a n}的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n（n∈N*）．
（1）求a1，a2的值，并证明：数列{a n+1}是等比数列；
（2）证明：．
2015-2016学年浙江省绍兴市诸暨市海亮高中高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）
A．[﹣2，3] B．（1，3] C．（1，3） D．（1，2]
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．
【分析】解一元二次不等式化简集合A，然后求出∁R A，则∁R A交B的答案可求．
【解答】解：由集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}={x|x＜﹣2或x＞3}，B={x|x＞1}，
∴∁R A={x|﹣2≤x≤3}．
则（∁R A）∩B={x|﹣2≤x≤3}∩{x|x＞1}={x|1＜x≤3}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的混合运算，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
2．已知等差数列{a n}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）
A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项的性质，可得结论．
【解答】解：S15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即A正确；
a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正确；
a6+a10≠a16，即C错误
a4+a12=a6+a10=20，即D正确．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项的性质，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项的性质是关键．
3．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，
①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．
②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．
③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，
①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．
②当a＞0，b＜0时，a＞b．
③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，
综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．
4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题．
【分析】先根据图象确定A和T的值，进而根据三角函数最小正周期的求法求ω的值，再将特殊点代入求出φ值从而可确定函数f（x）的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可．
【解答】解：由图象可知A=1，T=π，∴ω==2
∴f（x）=sin（2x+φ），又因为f（）=sin（+φ）=﹣1
∴+φ=+2kπ，φ=（k∈Z）
∵|φ|，∴φ=
∴f（x）=sin（2x+）=sin（﹣2x﹣）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）
∴将函数f（x）向左平移可得到cos[2（x+）﹣]=cos2x=y
故选C．
【点评】本题主要考查根据图象求函数解析式和方法和三角函数的平移变换．根据图象求三角函数解析式时，一般先根据图象确定A的值和最小正周期的值，进而求出w的值，再将特殊点代入求φ的值．
5．已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为（）
A． B．C．D．
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】利用函数的单调性可得∴||=2，或 log2n=2，当||=2时，n=，n=2，
m=，经检验满足条件，
当 log2n=2时，n=4，m=，经检验不满足条件．
【解答】解：由题意得﹣log2m=log2n， =n，函数f（x）=|log2x|在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴||=2，或 log2n=2．
∴当||=2时，n=，n=2，m=．此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，满足条件．
当 log2n=2时，n=4，m=，此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为||=4，不满足条件．
综上，n=2，m=．
故选 C．
【点评】本题考查函数的单调性和特殊点，函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想．
6．数列{a n}中，a1=1，a n+1+a n=（﹣2）n，S n是数列{a n}的前n项和，则S6=（）
A．﹣62 B．62 C．﹣42 D．42
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】由已知数列递推式a n+1+a n=（﹣2）n，可知，两式作差后
可得，然后依次求出数列的前6项，作和得答案．
【解答】解：由a n+1+a n=（﹣2）n ①，得
②，
②﹣①得：．
由a1=1，a n+1+a n=（﹣2）n，得a2=﹣3．
∴a3=a1+6=7，a5=a3+24=31，
a4=a2﹣12=﹣15，a6=a4﹣48=﹣63．
∴S6=a1+a2+…+a6=1﹣3+7﹣15+31﹣63=﹣42．
故选：C．
【点评】本题考查数列递推式，考查计算能力，是中档题．
7．若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）
A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】计算题．
【分析】对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】解：∵对任意x1，x2∈R有
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1
∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，
∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，
∴f（x）+1为奇函数．
故选C
【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
8．在△ABC中，（）⊥，则角A的最大值为（）
A．B．C．D．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】平面向量及应用．
【分析】在△ABC中，由（）⊥，可得（）•=（）•（）
=0，即 c2﹣4bc•cosA+3b2=0，解得 cosA=，利用基本不等式求得cosA的最小值，从而得到A的最大值．
【解答】解：在△ABC中，由于（）⊥，
则（）•=（）•（）=0，
即﹣4+3=0，即 c2﹣4bc•cosA+3b2=0．
解得 cosA==（）≥，
当且仅当时，即c= b 时，等号成立．
故cosA的最小值为，故A的最大值为，
故选A．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，余弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．若{a，0，1}={c，，﹣1}，则a= ﹣1 ，b= 1 ，c= 0 ．
【考点】集合的相等．
【专题】集合．
【分析】根据集合中的运算的互异性结合集合相等的定义进行判断即可．
【解答】解：由题意得：a=﹣1，c=0，b=1，
故答案为：﹣1，1，0．
【点评】本题考查了集合的性质，是一道基础题．
10．若角α终边所在的直线经过点，O为坐标原点，则|OP|= 1 ，
= ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式，求得|OP|以及cos（
+α）的值．
【解答】解：∵角α终边所在的直线经过点，O为坐标原点，则
|OP|==1，
cos（+α）=﹣sinα=﹣=﹣，
故答案为：1；﹣．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式、诱导公式，属于基础题．
11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则m= ﹣1 ，f（﹣log35）的值为﹣4 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，将x=﹣log35代入解析式即可求得所求的函数值．
【解答】解：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，
当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），
∴f（0）=30+m=0，解得m=﹣1，
故有x≥0时f（x）=3x﹣1，
∴f（﹣log35）=﹣f（log35）=﹣（﹣1）=﹣（5﹣1）=﹣4，
故答案为：﹣1，﹣4．
【点评】本题考查函数奇偶性质，解题的关键是利用f（0）=0求出参数m的值，再利用性质转化求值，本题考查了转化的思想，方程的思想．
12．若，则cos2θ= ．
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由两角和与差的余弦函数展开已知式子，由二倍角的余弦公式可得．
【解答】解：∵，
∴（cosθ+sinθ）•（cosθ﹣sinθ）=，
∴（cos2θ﹣sin2θ）=，
∴cos2θ=，
∴cos2θ=
故答案为：
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及二倍角公式，属基础题．
13．在数列{a n}中，设a1=a2=2，a3=4，若数列为等差数列，则a5= 48 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解： =1， =2，
∵数列为等差数列，其首项为1，公差d=1．
∴=1+（n﹣1）=n，
∴a4=3a3=12，
a5=4a4=48．
故答案为：48．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个
整数，则实数a的取值范围是[，）．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，由A与B交集中恰有一个整数，求出a的范围即可．
【解答】，解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）＞0，
解得：x＜﹣3或x＞1，即A={x|x＜﹣3或x＞1}，
函数y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的对称轴为x=a＞0，f（﹣3）=6a+8＞0，
由对称性可得，要使A∩B恰有一个整数，
即这个整数解为2，
∴f（2）≤0且f（3）＞0，
即，
解得：，即≤a＜，
则a的取值范围为[，）．
故答案为：[，）
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
15．已知两个非零平面向量满足：对任意λ∈R恒有，则：
①若，则= 8 ；②若的夹角为，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．
【分析】①可对不等式两边平方，然后根据便可化简成
，该不等式对于任意的λ∈R恒成立，从而有
△=≤0，对该不等式进行化简便可得到
，从而求出的值；
②同样对不等式的两边分别平方，根据条件的夹角为，
对平方后的式子进行化简便可得到，该不等式对于
任意λ∈R恒成立，从而有△≤0，这样可以得到，然后可以求出
，配方即可求出的最小值，从而便可求
出的最小值．
【解答】解：①由得，①；
∵，∴上式整理可得，﹣2；
∴不等式对任意的λ∈R恒成立；
∴；
∴；
∴；
∴；
②由①整理得：②；
∵夹角为；
∴，带入②并整理得：
，||≠0，该不等式对任意λ∈R恒成立；
∴；
∴；
∴；
∴=
==（t﹣1）2+3≥3；
∴的最小值为．
故答案为：8，．
【点评】考查数量积的运算及计算公式，一元二次不等式恒成立时判别式△的取值情况，以及完全平方式的运用，配方求二次函数的最值．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量=（1，sinθ），=（2，1）．
（1）当θ=时，求向量2+的坐标；
（2）若∥，且θ∈（0，），求sin（θ+）的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；平行向量与共线向量．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用．
【分析】（1）当时可得=，由向量的运算可得；
（2）由向量平行可得，由同角三角函数基本关系可得，代入两角和的正弦公式可得．
【解答】解：（1）∵，∴ =，
∴向量2+=；
（2）∵∥，∴，
又∵，∴，
∴
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和同角三角函数基本关系，属基础题．
17．设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若cosB=，且△ABC的周长为14，求b的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（I）由b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．利用正弦定理可得：
．化简整理即可得出．
（II）由=得c=3a．利用余弦定理及cosB=即可得出．
【解答】解：（I）∵b（cosA﹣3cosC）=（3c﹣a）cosB．
由正弦定理得，．
即（cos A﹣3cos C）sin B=（3sin C﹣sin A）cos B，
化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．
又A+B+C=π，
∴sin C=3sin A，因此=．
（II）由=得c=3a．
由余弦定理及cosB=得
b2=a2+c2﹣2accos B=a2+9a2﹣6a2×=9a2．
∴b=3a．又a+b+c=14．从而a=2，因此b=6．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．已知等比数列{a n}的公比大于零，a1+a2=3，a3=4，数列{b n}是等差数列，，c≠0是常数．
（1）求的值，数列{a n}与{b n}的通项公式；
（2）设数列{c n}满足：当n为偶数时c n=a n，当n为奇数时c n=b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和．
【专题】计算题；方程思想；分析法；等差数列与等比数列．
【分析】（1）通过联立方程组a1（1+q）=3、=4，进而计算即得结论；
（2）通过当n为偶数时，利用分组法求和，进而计算可得结论．
【解答】解：（1）∵a1+a2=3，a3=4，
∴a1（1+q）=3， =4，
解方程组得到：a1=1，q=2，
则；
利用2b2=b1+b3得c=1，
于是得到b n=n；
（2）当n为偶数时，
S n=c1+c2+…+c n
=，
当n为奇数时，S n=c1+c2+…+c n
=
=．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．已知函数f（x）=x2+2ax+2，a∈R．
（1）若函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，求a的取值范围；（2）对任意x1，x2∈[﹣1，1]，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≤6，求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数的值域．
【专题】转化思想；分类法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）求出f（x）的对称轴方程和f（x）的值域，由题意可得f（x）的最小值不大于f（x）的对称轴，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意可得f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M≤6，讨论对称轴x=﹣a和区间[﹣1，1]的关系，求得f（x）的最值，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（1）首先f（x）的对称轴为x=﹣a，
x∈R时，，
因为函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，
所以，
解得a≥2或a≤﹣1；
（2）对任意x1，x2∈[﹣1，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤6
等价于在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M≤6，
据此分类讨论如下：f（﹣1）=3﹣2a，f（﹣a）=2﹣a2，f（1）=3+2a，
（ⅰ）当﹣a≤﹣1即a≥1时，．
（ⅱ）当﹣1＜﹣a＜1，即﹣1＜a＜1时，
恒成立．
（ⅲ）当﹣a≥1，即a≤﹣1时，．
综上可知，．
【点评】本题考查函数的值域和不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．
20．已知数列{a n}的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n（n∈N*）．
（1）求a1，a2的值，并证明：数列{a n+1}是等比数列；
（2）证明：．
【考点】数列的求和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】（1）分别令n=1，2，计算即可得到所求；由当n≥2时，S n=2a n﹣n，S n﹣1=2a n﹣1﹣（n﹣1），相减再由构造数列，即可得证；
（2）先证得﹣•≤＜，累加再由不等式的性质，即可得证．
【解答】解：（1）当n=1时，2a1﹣1=S1，解得a1=1，
当n=2时，S2=2a2﹣2⇒a1+a2=2a2﹣2⇒a2=a1+2=3，
当n≥2时，S n=2a n﹣n，S n﹣1=2a n﹣1﹣（n﹣1），
两式相减得：a n=2a n﹣2a n﹣1﹣1，
即a n=2a n﹣1+1，
两边同加1得到：a n+1=2（a n﹣1+1），
所以{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）证明：，
，
求和得到不等式：，
因为，
所以原不等式成立．
【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查不等式的证明，注意运用放缩法和不等式的性质，属于中档题．。