建模常用方法
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• 例：哥尼斯堡七桥问题 • 18世纪初，哥尼斯城堡有一条河，河中有两个小岛，有七
座桥把他们与河岸连接起来，有人提出能否从岛屿岸上任 一点A处出发，通过每座桥一次，当且仅当一次而回到A 处，七桥问题成为当时一道难题。
• 1730年欧拉（enler）巧妙的解决了，把两岸和两个岛屿
简化成四个点，两点之间用一条线代表桥，使七桥问题转 化成一个简单的几何问题，即从任一点出发能否通过一个 连线一次当仅一次而回到出发点A？
非线性曲线拟合。一元回归中，线性拟合需要解决次方程，二次曲线拟合需 解三个方程。
方程次数越高，计算月复杂，所以，对某些非线性关系，往往先线性化，再 进行拟合。
从数据
( X i ,Yi )
出发，依Yi ln yi , X
1 xi
. 由 b B, a ln A 又得到A,B。
得数据 ( X i ,Yi，) 再进行拟合。求出a,b。
系数b0 , b1, b2 , b，m 其所得到的就是回归方程数学模型，各项系数称回归系数。
当输入为 xi 时，则多项式的拟合曲线相当于 xi的估值为：
yˆi b0 b1xi b2xi2 bmxim,i 1,2,
.
n
现要使估值为 yˆi与 yi 之差的平方和最小，Q ( yˆi yi )2 称为最小二乘拟合。
• 从下图可以看出：要回到原点，每个中间点的连线要一 进一出，必须为偶数条，在起点或终点可以只出不进或只 进不出，故起点与终点的连线可以为奇数条。
• 结论1.连接奇数个桥的陆地，仅有一个或超过两个以上不 能实现一笔画。
• 2.连接奇数个桥的陆地仅有两个时可以实现一笔画。 • 3.每个陆地都连接有偶数个桥时，从任一陆地出发都能实
x1
求MinC(x.y)
此模型是非线性规划，要求其最优解并容易一般采用选代 法求解。 该模拟称为物理模拟，简单直观，运用得当可以得到很好 的近似。
类比分析法
• 若两个不同的系统可以用同一形式的数学模型来描述， 则此两个系统即可相互类比，类比分析法是根据两个（或 两类）系统某些属性或关系的相似去提想两者的其他属性 或观点，也可能相似的一种方法。它是研究方法在系统分 析中应用很广。举简单例子作一介绍。
显然方程有相异根： , ,2 ,2 ,3 ,3 ,
sin x
x
(1
x2
2
)(1
x2
4 2
)(1
x2
9 2
)
而 1 ( 1 1 1 ）
3!
2
4 2
9 2
1 1 1
2
49
6
即为所有自然数平方的倒数之和公式，后来欧拉进行了严格证明，
由此猜想的结果变成公式。
数据分析法
• 很多情况下，系统的结构性质不大清楚，无法从理论分析中得到系统 的规律，也不便于类似分析，但有若干能表现系统规律，描述系统状 态的数据可利用可通过描述系统功能的数据分析来了解系统的结构模 型，在此情况下，回归分析法是处理这类问题的一种有力工具。
位于相交平面内，且通过相交远点得抛物线。
2、抛物线的落地时间.(g(t)=0)
1
2g
2统分可知当
t* =
2v0 sin 2 g
3、抛物线的水平方程（当t=t* ）时
•
x（t* ）=
2v0 sin 2 g
•
当v0 一定时，对
统分可知当
4
时水平时程度大
4、抛物体得达到的最大角度
•
•
Y2(t)=v0sin-gt
• X=Y 为唯一的驻点
•
则
Y=
A X
=
A =X
• 即证: 这个简单而典型的模型广泛地应用于存贮论中，
• 例（2）抛射体运动的数学模型（弹道学研究方向）质 点在受到一般力的作用或初始速度不予作用力的方向一 致，都将做曲线运动，假如真空中的抛射体（即忽略空 气阻力）虽只受到一个重力作用，但假如初始速度不于 重力方向吻合，抛射体仍将做曲线运动。（先参考真空 情况）
• 所以：x(t)=v0tcos
• •
先所解以y齐(t次)v0线ts性in方-程t 12：gd2dt2
y
2
=0
•
于是得方程的解为：
x(t) y(t)
v0 v0t s
cos in
• 由上式预测抛物线的运动规律求抛物线
*
•1、求Y抛(t物)=线xt飞g行—曲线方v02程gcx：o2 s{2消去x}
学模型。
• 条件：工艺比较成熟，机理比较了解
• 例（1）一个极值问题
• 对于给定面积的长方形中，具周长是最小者时为三角形（自习）
• 由 J = 2(x+y)的约束条件下{XY=A
• • •
J相（=识周2点(长X为+）X导A（)数两为边dd零xj）=时2(的1-点XA2)X=>00 Y>0 下的最小值
• 例1 自然数平方的倒数和问题 • 有限个自然数平方的倒数和为已知，那么在当时对无限
个自然数平方的倒数和却未知，数学家欧拉将无限的未知 和有限的未知作类比，得到了所有自然数平方的倒数之和， 这是类比方法的又一天才运用。 • 首先考虑如下方程（仅含偶次项的2n次代数方程）：
b0 b1x2 b2 x4 (1)n bn x2n 0 (b 0)
dx rx dt
建模常用方法
• 对现实变量的事物不可能规定一些简单条 件相符合套用现成的模式去解决所有问题， 但现实世界的人和事物也存在这许多相似 或相近的规模，存在着共同的本质的东西， 所以有的能形成一些常用方法。
理论分析法
•
理论分析法是指应用自然科学中已被证明是正确的理论，原理和
定律，对被研究系统的有关因素进行演绎、归纳，从而建立系统的数
3、……n）的车间需要各车间段需求量在一定时期内已 知为（i=1、2……n），问如何选择P点的位置才能使总 用费在一定时期内达到最小。
假设用费等于货量与运输前距离的乘积，可用分析法建立 数学模型，求位置P
.
（x.y)使总用费C(x.y）达到最小,由题意.目标函数 C(x.ny)=
wi (xi x)2 ( yi y)2
)
(1
x2
n2
)
.
b1
b0
(
1
12
1
22
1
n2 )
下面看三角方程
b1
b0
(
1
12
1
22
1
n
2
)
sin(x) x x3 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
sin x 1 x2 x4 x6 0(x 0的极限)
x
3! 5! 7!
可看作仅含偶次项的无穷次代数方程。
由已知观察值录求x，y之间的函数关系的方法在工业控制应用中叫“系统辨识”。 例：线性回归问题
设系统测得一组数据为 (xi , yi ), i 1,2, n
以直线方程 yˆ a bx 作为其估值，对应估值为 yˆ0 a bxi
令 Q (yˆI yi)2 (a bxi yi)2 得正规方程组
.
其中
y
1 n
yi
Q
a
2
(a bxi yi ) 0
Q b
2 (a
bxi
yi )xi
0
a
y
bx
解方程
b
xi yi nxy xi2 n(x)2
x
1 n
xi
代入 y a bx 即可。
例2：非线性回归问题 在科技工程中，许多情况下变量之间并不是线性关系，而是非线性关系。这 样，一般用
y
m
(v0
s in
m
g )(1
t
em
)
m
gt
x
m
v0
cos
m
t
e m v0
cos
•而
x v0 cos
g mg t
v0
s in
m
g
• 与不考虑空气阻力的情况下进行比较（未考虑q变化）
模拟方法
• 对于虽然已了解其结构及性质，但其数量描述及求解都相 当麻烦的数学模型，而且构造出模型也类似，即可把后一 种模型看成是原来模型的模拟，对后一个模型进行试验， 并求得其解，当然一个好的模拟方法的求解是相当困难的， 也要付出相当大的代价。
P30题2.5自习讲解
B
比如：一组数据可用指数曲线拟合，变量关系为 y Ae x
取对数： ln y ln A B x
令 Y ln y X 1 x
则Y与X为线性关系
(A, B 0)
Y ln A BX a bx
• 假设抛射体为质点，质量为M，初始速度位于XOY面内， 且和水平线成 角。
• 如图中力学定律，则抛射体的运动微分方程为 • 水平方向：MX=0 • 垂直方向：MY=0 即 X=0 Y=0 • 并存在初始条件
•
位移
x(0) y(0) 0
x(0) v0 cos
• 解这个微分方程：
y(0)=vosin
若它有2n个互异根本： 1,1, 2 ,2 , n ,n ,则对上述多项式进行因式分解
b0 b1x 2 b2 x 4 (1)n bn x 2n
（提出系数 (1)n bn）
(x2 12 )(x2 22 ) (x2 n2 )(1)n bn
(1)n (12 x2 )(22 x2 ) (n2 x2 )(1)n bn
当y2(t)=0时
v0 sin
t** = g 为便看时间
v 2 sin 2
•
此时，max=y(t** )=
0
2g
• 由于假设空气阻力不从在与现实问题差别较大为了能更好的刻划是实抛物体 运动，下面考虑空气阻力的情况。
1 假设抛物体位置点质量为m，初虚度位于x0y面内，且在水平线 角，取y轴竖直向上。
• 什么是回归分析法 • 求一条通过或接近一组数据点的曲线，此过程称曲线的拟合，而表示
曲线的数学式称回归方程。 • 一般方法如下：
对一未知系统，已测得该系统（n+1）个输入——输出数据点为 (xi , yi ) i 1,2, n 欲求其函数关系：g f (x)或F(x, y) 0 假设用多项式 yˆ b0 b1x b2 x2 bm xm作为对输出y的估计，若能确定阶数m及
Q
b j
0,
j
0,1,2
m 得正规方程组
Q
b
2
(b0 b1xi
i 1
bm xim yi ) 0
Qb 2 (b0 b1xi bm xim yi )xi 0
Q
m
2
(b0 b1xi bm xim yi )xim 0
解次方程组可得 b0 , b1, , bm , m 取决于线差大小。（画图主讲一次）
bn (12 x2 )(22 x2 ) (n2 x2 )
bn1222n2 (1
x2 12
)(1
x2
2 2
)
(1
x2 n2
)
bn
b0 bn
(1
x2 12
)(1
x2
2 2
)
(1
x2 n2
)
(所有根的平方的乘积为 常数项(1)n b0 (1)n）
bn
b0 (1
x2
12
)(1
x2
22
现一笔画。
• 由此可知，七条问题无解，同时任一个河道以及任意多座 桥问题都解决了。
• 评注：欧拉不拘泥于特殊问题，着眼于一般问题才更有 科学价值，更能推动社会发展，找出一般的判定方法，将 七桥问题化为一个图论问题（点和边）。高度的抽象时问 题非常突出和清晰，加以解决欧拉被公认为图论创始人。
• 最佳厂址选择问题 • 确定一个新仓库的位置P，使它供应处于点（0=1、2、
2.假设空气阻力与抛物体得速度成正比
• 可以得其微分方程为（由牛顿第二定律）
• 水平方向： ms'' x2 • 竖直方向： my'' mg y'
x(0) 0
y(0) 0
x'(0) v0 cos y'(0) v0 sin
• 先解
mx'' x'
x
m
v0
cose
t
m
• 再解 my'' mg y'
座桥把他们与河岸连接起来，有人提出能否从岛屿岸上任 一点A处出发，通过每座桥一次，当且仅当一次而回到A 处，七桥问题成为当时一道难题。
• 1730年欧拉（enler）巧妙的解决了，把两岸和两个岛屿
简化成四个点，两点之间用一条线代表桥，使七桥问题转 化成一个简单的几何问题，即从任一点出发能否通过一个 连线一次当仅一次而回到出发点A？
非线性曲线拟合。一元回归中，线性拟合需要解决次方程，二次曲线拟合需 解三个方程。
方程次数越高，计算月复杂，所以，对某些非线性关系，往往先线性化，再 进行拟合。
从数据
( X i ,Yi )
出发，依Yi ln yi , X
1 xi
. 由 b B, a ln A 又得到A,B。
得数据 ( X i ,Yi，) 再进行拟合。求出a,b。
系数b0 , b1, b2 , b，m 其所得到的就是回归方程数学模型，各项系数称回归系数。
当输入为 xi 时，则多项式的拟合曲线相当于 xi的估值为：
yˆi b0 b1xi b2xi2 bmxim,i 1,2,
.
n
现要使估值为 yˆi与 yi 之差的平方和最小，Q ( yˆi yi )2 称为最小二乘拟合。
• 从下图可以看出：要回到原点，每个中间点的连线要一 进一出，必须为偶数条，在起点或终点可以只出不进或只 进不出，故起点与终点的连线可以为奇数条。
• 结论1.连接奇数个桥的陆地，仅有一个或超过两个以上不 能实现一笔画。
• 2.连接奇数个桥的陆地仅有两个时可以实现一笔画。 • 3.每个陆地都连接有偶数个桥时，从任一陆地出发都能实
x1
求MinC(x.y)
此模型是非线性规划，要求其最优解并容易一般采用选代 法求解。 该模拟称为物理模拟，简单直观，运用得当可以得到很好 的近似。
类比分析法
• 若两个不同的系统可以用同一形式的数学模型来描述， 则此两个系统即可相互类比，类比分析法是根据两个（或 两类）系统某些属性或关系的相似去提想两者的其他属性 或观点，也可能相似的一种方法。它是研究方法在系统分 析中应用很广。举简单例子作一介绍。
显然方程有相异根： , ,2 ,2 ,3 ,3 ,
sin x
x
(1
x2
2
)(1
x2
4 2
)(1
x2
9 2
)
而 1 ( 1 1 1 ）
3!
2
4 2
9 2
1 1 1
2
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6
即为所有自然数平方的倒数之和公式，后来欧拉进行了严格证明，
由此猜想的结果变成公式。
数据分析法
• 很多情况下，系统的结构性质不大清楚，无法从理论分析中得到系统 的规律，也不便于类似分析，但有若干能表现系统规律，描述系统状 态的数据可利用可通过描述系统功能的数据分析来了解系统的结构模 型，在此情况下，回归分析法是处理这类问题的一种有力工具。
位于相交平面内，且通过相交远点得抛物线。
2、抛物线的落地时间.(g(t)=0)
1
2g
2统分可知当
t* =
2v0 sin 2 g
3、抛物线的水平方程（当t=t* ）时
•
x（t* ）=
2v0 sin 2 g
•
当v0 一定时，对
统分可知当
4
时水平时程度大
4、抛物体得达到的最大角度
•
•
Y2(t)=v0sin-gt
• X=Y 为唯一的驻点
•
则
Y=
A X
=
A =X
• 即证: 这个简单而典型的模型广泛地应用于存贮论中，
• 例（2）抛射体运动的数学模型（弹道学研究方向）质 点在受到一般力的作用或初始速度不予作用力的方向一 致，都将做曲线运动，假如真空中的抛射体（即忽略空 气阻力）虽只受到一个重力作用，但假如初始速度不于 重力方向吻合，抛射体仍将做曲线运动。（先参考真空 情况）
• 所以：x(t)=v0tcos
• •
先所解以y齐(t次)v0线ts性in方-程t 12：gd2dt2
y
2
=0
•
于是得方程的解为：
x(t) y(t)
v0 v0t s
cos in
• 由上式预测抛物线的运动规律求抛物线
*
•1、求Y抛(t物)=线xt飞g行—曲线方v02程gcx：o2 s{2消去x}
学模型。
• 条件：工艺比较成熟，机理比较了解
• 例（1）一个极值问题
• 对于给定面积的长方形中，具周长是最小者时为三角形（自习）
• 由 J = 2(x+y)的约束条件下{XY=A
• • •
J相（=识周2点(长X为+）X导A（)数两为边dd零xj）=时2(的1-点XA2)X=>00 Y>0 下的最小值
• 例1 自然数平方的倒数和问题 • 有限个自然数平方的倒数和为已知，那么在当时对无限
个自然数平方的倒数和却未知，数学家欧拉将无限的未知 和有限的未知作类比，得到了所有自然数平方的倒数之和， 这是类比方法的又一天才运用。 • 首先考虑如下方程（仅含偶次项的2n次代数方程）：
b0 b1x2 b2 x4 (1)n bn x2n 0 (b 0)
dx rx dt
建模常用方法
• 对现实变量的事物不可能规定一些简单条 件相符合套用现成的模式去解决所有问题， 但现实世界的人和事物也存在这许多相似 或相近的规模，存在着共同的本质的东西， 所以有的能形成一些常用方法。
理论分析法
•
理论分析法是指应用自然科学中已被证明是正确的理论，原理和
定律，对被研究系统的有关因素进行演绎、归纳，从而建立系统的数
3、……n）的车间需要各车间段需求量在一定时期内已 知为（i=1、2……n），问如何选择P点的位置才能使总 用费在一定时期内达到最小。
假设用费等于货量与运输前距离的乘积，可用分析法建立 数学模型，求位置P
.
（x.y)使总用费C(x.y）达到最小,由题意.目标函数 C(x.ny)=
wi (xi x)2 ( yi y)2
)
(1
x2
n2
)
.
b1
b0
(
1
12
1
22
1
n2 )
下面看三角方程
b1
b0
(
1
12
1
22
1
n
2
)
sin(x) x x3 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
sin x 1 x2 x4 x6 0(x 0的极限)
x
3! 5! 7!
可看作仅含偶次项的无穷次代数方程。
由已知观察值录求x，y之间的函数关系的方法在工业控制应用中叫“系统辨识”。 例：线性回归问题
设系统测得一组数据为 (xi , yi ), i 1,2, n
以直线方程 yˆ a bx 作为其估值，对应估值为 yˆ0 a bxi
令 Q (yˆI yi)2 (a bxi yi)2 得正规方程组
.
其中
y
1 n
yi
Q
a
2
(a bxi yi ) 0
Q b
2 (a
bxi
yi )xi
0
a
y
bx
解方程
b
xi yi nxy xi2 n(x)2
x
1 n
xi
代入 y a bx 即可。
例2：非线性回归问题 在科技工程中，许多情况下变量之间并不是线性关系，而是非线性关系。这 样，一般用
y
m
(v0
s in
m
g )(1
t
em
)
m
gt
x
m
v0
cos
m
t
e m v0
cos
•而
x v0 cos
g mg t
v0
s in
m
g
• 与不考虑空气阻力的情况下进行比较（未考虑q变化）
模拟方法
• 对于虽然已了解其结构及性质，但其数量描述及求解都相 当麻烦的数学模型，而且构造出模型也类似，即可把后一 种模型看成是原来模型的模拟，对后一个模型进行试验， 并求得其解，当然一个好的模拟方法的求解是相当困难的， 也要付出相当大的代价。
P30题2.5自习讲解
B
比如：一组数据可用指数曲线拟合，变量关系为 y Ae x
取对数： ln y ln A B x
令 Y ln y X 1 x
则Y与X为线性关系
(A, B 0)
Y ln A BX a bx
• 假设抛射体为质点，质量为M，初始速度位于XOY面内， 且和水平线成 角。
• 如图中力学定律，则抛射体的运动微分方程为 • 水平方向：MX=0 • 垂直方向：MY=0 即 X=0 Y=0 • 并存在初始条件
•
位移
x(0) y(0) 0
x(0) v0 cos
• 解这个微分方程：
y(0)=vosin
若它有2n个互异根本： 1,1, 2 ,2 , n ,n ,则对上述多项式进行因式分解
b0 b1x 2 b2 x 4 (1)n bn x 2n
（提出系数 (1)n bn）
(x2 12 )(x2 22 ) (x2 n2 )(1)n bn
(1)n (12 x2 )(22 x2 ) (n2 x2 )(1)n bn
当y2(t)=0时
v0 sin
t** = g 为便看时间
v 2 sin 2
•
此时，max=y(t** )=
0
2g
• 由于假设空气阻力不从在与现实问题差别较大为了能更好的刻划是实抛物体 运动，下面考虑空气阻力的情况。
1 假设抛物体位置点质量为m，初虚度位于x0y面内，且在水平线 角，取y轴竖直向上。
• 什么是回归分析法 • 求一条通过或接近一组数据点的曲线，此过程称曲线的拟合，而表示
曲线的数学式称回归方程。 • 一般方法如下：
对一未知系统，已测得该系统（n+1）个输入——输出数据点为 (xi , yi ) i 1,2, n 欲求其函数关系：g f (x)或F(x, y) 0 假设用多项式 yˆ b0 b1x b2 x2 bm xm作为对输出y的估计，若能确定阶数m及
Q
b j
0,
j
0,1,2
m 得正规方程组
Q
b
2
(b0 b1xi
i 1
bm xim yi ) 0
Qb 2 (b0 b1xi bm xim yi )xi 0
Q
m
2
(b0 b1xi bm xim yi )xim 0
解次方程组可得 b0 , b1, , bm , m 取决于线差大小。（画图主讲一次）
bn (12 x2 )(22 x2 ) (n2 x2 )
bn1222n2 (1
x2 12
)(1
x2
2 2
)
(1
x2 n2
)
bn
b0 bn
(1
x2 12
)(1
x2
2 2
)
(1
x2 n2
)
(所有根的平方的乘积为 常数项(1)n b0 (1)n）
bn
b0 (1
x2
12
)(1
x2
22
现一笔画。
• 由此可知，七条问题无解，同时任一个河道以及任意多座 桥问题都解决了。
• 评注：欧拉不拘泥于特殊问题，着眼于一般问题才更有 科学价值，更能推动社会发展，找出一般的判定方法，将 七桥问题化为一个图论问题（点和边）。高度的抽象时问 题非常突出和清晰，加以解决欧拉被公认为图论创始人。
• 最佳厂址选择问题 • 确定一个新仓库的位置P，使它供应处于点（0=1、2、
2.假设空气阻力与抛物体得速度成正比
• 可以得其微分方程为（由牛顿第二定律）
• 水平方向： ms'' x2 • 竖直方向： my'' mg y'
x(0) 0
y(0) 0
x'(0) v0 cos y'(0) v0 sin
• 先解
mx'' x'
x
m
v0
cose
t
m
• 再解 my'' mg y'