【北师大版】九年级数学下期末模拟试卷(带答案)(1)

一、选择题
1．如图．PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP ，AB ．若 OA =1，∠APB =60°，则△PAB 的周长为（ ）
A ．23
B ．4
C ．33
D ．23+2
2．如图，半圆的直径为AB ，圆心为点O ，C 、D 是半圆的3等分点，在该半圆内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
3
π B ．
6
π C ．
12
D ．
13
3．如图，ABC 内接于
O ，A 40∠=︒，ABC 70∠=︒，BD 是O 的直径，BD 交AC
于点E ，连接CD ，则AEB ∠等于（ ）
A ．70︒
B ．90°
C ．110°
D ．120°
4．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则cos ∠ADC 的值为（ ）
A 213
B 13
C 313
D ．
23
5．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论中正确的有①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＜0；③2a ＞b ；④（a +c ）2＜b 2；⑤a ﹣2b +4c ＞0．（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，下列结论：①0abc >；②240b ac -≥；③80a c +<；④5320a b c -+<，正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动，当点E 到达点C 时停止运动．若FE AE ⊥，交CD 于点F 设点E 运动的路程为x ，FC y =，已知y 关于x 的图象如图2所示，则m 的值为（ ）
A 2
B ．2
C ．1
D ．
23
8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，点A 在
(4,0)-与(3,0)-之间（不包含这两点），抛物线的顶点为,D 对称轴是直线2x =-．有下
列结论：①0abc <；②若点()1283,;,3M y N y ⎛--⎫ ⎪⎝⎭
是抛物线上两点，则12y y >；③13
a >-；④若1,a =-则ABD △是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．学校研究性学习小组的同学测量旗杆的高度．如图，在教学楼一楼地面C 处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼地面D 处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
10．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，1
cos 3
B =，则tan A 的值为（ ） A ．
311
B ．
33 C ．
24
D ．
1010
3
11．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的正弦值是（ ）
A 310
B ．
22
C 10
D ．
110
12．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（ ）
A ．
23
B ．
13
C ．
25
D ．
5 二、填空题
13．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则圆O 的直径为___________．
14．在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、
BC 于点M 、N ．下列结论： ①APE AME ∆≅∆；②PM PN AC +=；
③222PE PF PO +=；④POF BNF ∆∆∽；⑤点O 在M 、N 两点的连线上，其中正确的是____________．
15．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =．则方程20cx bx a ++=的两个根为_____．
16．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点是(1,0)-，(5,0)，则这条抛物线的对称轴是直线x =__________．
17．二次函数224y x x =-++的最大值是______．
18．如图，有一个三角形的钢架ABC ，∠A=30°，∠C=45°，AC=23）m ．工人师傅搬运此钢架_______（填“能”或“不能”）通过一个直径为2.1m 的圆形门？
19．如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为70cm ，检票前双翼展开呈扇形CAP 和扇形DBQ ，若AC ＝BD ＝55cm ，∠PCA ＝∠BDQ ＝30°，则A 、B 之间的距离为_____cm ．
20．如图，直角坐标系原点O 为Rt ABC ∆斜边AB 的中点，()90,5,0ACB A ∠=︒-，且
1
tan 2A =
，反比例函数(0)k y k x
=≠经过点C ，则k 的值是_______．
21．如图所示，在四边形ABCD 中，23
3
AD AB =，30A ∠=︒，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，并延长至其3倍（即3CE CD =
），过点E 作EF AB ⊥于点F ，当
63AD =，3BF =，7
4
EF =
时，边BC 的长是______．
22．ABC ∆中，67.5A ，8BC =，BE AC ⊥交AC 于E ，CF AB ⊥交AB 于
F ，点D 是BC 的中点．以点F 为原点，FD 所在的直线为x 轴构造平面直角坐标系，则
点E 的横坐标为________．
三、解答题
23．如图，在直角坐标系中，⊙M 的圆心M 在y 轴上，⊙M 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C 、D ，过点A 作⊙M 的切线AP 交y 轴于点P ，若点C 的坐标为（0，2），点A 的坐标为（﹣4，0）．
（1）求证：∠PAC ＝∠CAO ； （2）求点P 的坐标；
（3）若点Q 为⊙M 上任意一点，连接OQ 、PQ ，问OQ
PQ
的比值是否发生变化？若不变求出此值；若变化，说明变化规律． 24．已知
O 的直径4AB =，C 为O 上一点，2AC =．
（1）如图①，点P 是BC 上一点，求APC ∠的大小： （2）如图②，过点C 作
O 的切线MC ，过点B 作BD MC 于点D ，BD 与O 交
于点E ，求DCE ∠的大小及CD 的长．
25．平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． （1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m 元（m 为整数，且
15m <），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随
售价的增大而增大，求m 的值．
26．如图1，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点A （2，0）B （6，0），与y 轴交于点
C ，连接AC ，BC ．
（1）求抛物线的表达式； （2）求ACB ∠的正切值；
（3）如图2，过点C 的直线交抛物线于点D ，若45ACD ∠=︒，求点D 的坐标．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据切线的性质和切线长定理证明△PAB是等边三角形，PA⊥AO，根据直角三角形性质求出PA，问题得解．
【详解】
解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°，
∴PA=PB，∠APO=1
2
∠APB=30°，PA⊥AO，
∴△PAB是等边三角形，
∵PA⊥AO，∠APO==30°，
∴OP=2OA=2，
∴
PA=
∴△PAB的周长为
故选：C
【点睛】
本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定，含30°角直角三角形性质，勾股定理等知识，考查知识点较多，熟知相关定理并能熟练运用是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
由C、D是半圆的3等分点知∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，据此得S扇形AOC＝S扇形COD＝S扇形BOD
＝1
3
S半圆，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：∵C、D是半圆的3等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，
∴S扇形AOC＝S扇形COD＝S扇形BOD＝1
3
S半圆，
∴该点取自阴影部分的概率为
1
=
3
COD
S
S
扇形
半圆
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
3．D
解析：D
【分析】
根据三角形内角和定理和圆周角定理求解即可； 【详解】
∵
A 40∠=︒，ABC 70∠=︒，
∴180407070ACB ∠=︒-︒-︒=︒，
∵BD 是圆O 的直径， ∴90BCD ∠=︒， ∴20ACD ∠=︒，
∴20ABD ACD ∠=∠=︒， ∴()
1801804020120AEB BAE ABE ∠=︒-∠+∠=︒-︒-︒=︒；
故答案选D ． 【点睛】
本题主要考查了圆周角定理、三角形内角和，准确计算是解题的关键．
4．C
解析：C 【分析】
根据圆周角定理得到ADC ABC ∠=∠，再根据余弦的定义计算即可； 【详解】
由图可知ADC ABC ∠=∠， 在Rt △ABC 中，2AC =，3BC =，
∴
AB =
∴cos ∠ADC 3cos
13
BC
ABC AB
=∠===
； 故答案选C ． 【点睛】
本题主要考查了圆周角定理、余弦定理、勾股定理，准确计算是解题的关键．
5．C
解析：C 【分析】
由函数图象可知a ＜0，对称轴﹣1＜x ＜0，图象与y 轴的交点c ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点；即可得出b ﹣2a ＞0，b ＜0；△＝b 2﹣4ac ＞0；再由图象可知当x ＝1时，y ＜0，即a +b +c ＜0；当x ＝﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0；当x ＝﹣12时，y ＞0，即14
a ﹣1
2b +c ＞0，即可求解． 【详解】
解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴﹣1＜x ＜0，图象与y 轴的交点c ＞0， ∴a ＜0，2b
a
-＜0，c ＞0， ∴b ＜0，
∴abc ＞0，故①正确；
∵函数与x 轴有两个不同的交点， ∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故②错误； ∵2b
a
-
＞﹣1， ∴2a ＜b ，故③错误；
当x ＝1时，y ＜0，即a +b +c ＜0； 当x ＝﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0；
∴（a +b +c ）（a ﹣b +c ）＜0，即（a +c ）2＜b 2；故④正确； ∵x ＝﹣1
2
时，y ＞0， ∴
14
a ﹣1
2b +c ＞0，即a ﹣2b +4c ＞0，故⑤正确；
故选：C ． 【点睛】
此题考查二次函数的图象，根据图象确定式子的正负，正确理解函数图象，由图象得到相关信息，掌握二次函数的性质，根的判别式与图象的关系是解题的关键．
6．B
解析：B 【分析】
首先根据函数图像分别判断出a 、b 、c 的符号判断结论①；再利用与x 轴交点的个数得出
24b ac -的正负判断结论②；利用对称轴以及当2x =时函数值的正负判断结论③；利用
当1x =-和2x =-时的函数值的正负来判断结论④. 【详解】
结论①由抛物线开口方向向上可得0a >；对称轴在y 轴左侧可得a 、b 符号相同，即
0b >；函数图像与y 轴交于负半轴，可得0c <；由此可知0abc <，故①错误.
结论②由函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故②正确. 结论③由函数图像可知抛物线对称轴为1x =-，所以12b
a
-
=-，整理可得2b a =；当2x =时，420a b c ++>，将2b a =代入420a b c ++>可得，80a c +>，故③错误.
结论④由函数图像可知当2x =-时，420a b c -+<，当1x =-时，0a b c -+<，所以
532(42)()0a b c a b c a b c -+=-++-+<，故④正确.
综上所述，本题正确结论为②④，共2个. 故选B. 【点睛】
本题主要考查二次函数的系数与图像的关系，关键在利用函数中当1x =-、2x =-和
1x =-时的函数值的大小来判断③④结论的对错. 7．D
解析：D
【分析】
分别求出点E 在AB 、BC 段运动时函数的表达式，即可求解．
【详解】
解：由图2可知，AB=6，BC=10-6=4，
①当点E 在AB 上运动时，
y=FC=BE=AB-AE=6-x ，
即y=6-x （0≤x≤6），图象为一次函数；
②当点E 在BC 上运动时，如下图，
则BE=x-AB=x-6，EC=BC-BE=4-（x-6）=10-x ， FC=y ，AB=6，
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠FEC=∠EAB ，
∴∠CFE=∠AEB ，
∴△ABE ∽△ECF ， ∴BE AB CF CE
=，即6610x y x -=-， 整理得：()2181061063y x x x =-
+-<≤，图象为二次函数， ∵106
-<， 故()2218121086363y x x x =-
+-=--+有最大值，最大值为23， 即23
m =， 故选：D ．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、相似三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
8．B
解析：B
【分析】
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：①由开口可知：a ＜0，
∴对称轴22b x a
=-=-，
∴b<0，
由抛物线与y 轴的交点可知：c<0，
∴abc ＜0，故①正确；
②∵对称轴22b x a =-=-，a ＜0， 在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，
∵8323
-<-<-， ∴12y y <，故②错误；
③当1x =-，20y ax bx c a b c =++=-+>，
∵对称轴22b x a
=-=-，抛物线与y 轴的交点C(0，-1)， ∴4b a =，1c =-，
∴410a a -->，
解得：13
a <-，故③错误；
④∵1a =-，1c =-，
∴44b a ==-，
∴抛物线的解析式为()224123y x x x =---=-++， ∴顶点D 的坐标为(-2，3)，
解方程()2230x -++=得：23x =-±，
∴23AB =，
根据抛物线的对称性，BE=3，DE=3，
∴DB=()223323+=，
∴DB=AD=AB=23，
∴ABD △是等边三角形．故④正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法、等边三角形的判定等知识，
解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．
9．C
解析：C
【分析】
过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则四边形ACDE 为矩形，AE=CD=6米，AC=DE ．设BE=x 米，先解Rt △BDE ，得出DE=3x 米，AC=3x 米，再解Rt △ABC ，得出AB=3x 米，然后根据AB-BE=AE ，列出关于x 的方程，解方程即可．
【详解】
解：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，
由题意可知，四边形ACDE 为矩形，
则AE=CD=6米，AC=DE ． 设BE=x 米．
∵在Rt △BDE 中，∠BED=90°，∠BDE=30°，
∴DE=3tan 30BE =︒3米， ∴3x 米．
∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，
∴AB=tan 603AC AC ︒=
33米，
∵AB-BE=AE ，
∴3x-x=6，
∴x=3，
AB=3×3=9（米）．
即旗杆AB 的高度为9米．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 10．C
【分析】 根据1cos 3B =
，设AB=3x ，BC=x ，勾股定理求出AC ，根据三角函数的定义求tan A 即可． 【详解】
解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，1cos 3
B =
， 设AB=3x ，BC=x ，
AC ===，
tan
4
BC A AC ===， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角函数，解题关键是根据三角函数值确定直角三角形三边关系，再根据三角函数的意义计算．
11．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理求出AB 、AO 、BO 的长，再由S △ABO =
12AB•h=12AO•BO•sin ∠AOB 可得答案．
【详解】
解：由题意可知，AB=2，==
∵S △ABO =
12AB•h=12AO•BO•sin ∠AOB ， ∴1
2×2×2=12×sin ∠AOB ，
∴sin ∠AOB=
10
， 故选：C ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
由tanA=BC AC
=2，设BC=2x ，可得AC=x ，Rt △ABC 中利用勾股定理算出，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA 的值．
解：由tanA=BC
AC
=2，设BC=2x，则AC=x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，得AB=()2
222
25
BC AC x x x
+=+=，
因此，sinA=
25
5
5
BC
AB x
==，
故选：C．
【点睛】
本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．
二、填空题
13．4【分析】延长BO交⊙O于E连接CE根据圆周角定理得到
∠E=∠A=30°∠ECB=90°根据直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：延长BO交⊙O于E连接CE则∠E=∠A=30°∠ECB=90°∴B
解析：4
【分析】
延长BO交⊙O于E，连接CE，根据圆周角定理得到∠E=∠A=30°，∠ECB=90°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：延长BO交⊙O于E，连接CE，
则∠E=∠A=30°，∠ECB=90°，
∴BE=2BC=2×2=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．①②③⑤【分析】根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得
∠PAE=∠MAE=45°然后利用角边角证明△APE和△AME全等由此判断①；根据全等三角形对应边相等可得PE=EM=PM同理FP=FN=NP
解析：①②③⑤
【分析】
根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等，由此判断①；
根据全等三角形对应边相等可得PE=EM=1
2
PM，同理，FP=FN=
1
2
NP，证出四边形PEOF是
矩形，得出PF=OE，证得△APE为等腰直角三角形，得出AE=PE，PE+PF=OA，即可得到PM+PN=AC，由此判断②；
根据矩形的性质可得PF=OE，再利用勾股定理即可得到PE2+PF2=PO2；由此判断③；
判断出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；⑤证出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，从而判断④由垂直平分线的性质求得点O是直角三角形PMN的外接圆圆心，从而结合圆周角定理判断⑤．
【详解】
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，
∵PM⊥AC，
∴∠AEP=∠AEM=90°，
在△APE和△AME中，
BAC DAC AE AE
AEP AEM
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；
②∵△APE≌△AME，
∴PE=EM=1
2
PM，
同理，FP=FN=1
2 NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE ∴四边形PEOF是矩形．
∴PF=OE，
∵在△APE中，∠AEP=90°，∠PAE=45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE=PE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=1
2
PM，FP=FN=
1
2
NP，OA=
1
2
AC，
∴PM+PN=AC，故②正确；
③∵四边形PEOF 是矩形，
∴PE=OF ，
在直角△OPF 中，OF 2+PF 2=PO 2，
∴PE 2+PF 2=PO 2，
故③正确；
④∵△APE ≌△AME ，
∴AP=AM
△BNF 是等腰直角三角形，而△POF 不一定是，
∴△POF 与△BNF 不一定相似，
故④错误；
∵OA 垂直平分线段PM ．OB 垂直平分线段PN ，
∴OM=OP ，ON=OP ，
∴OM=OP=ON ，
∴点O 是△PMN 的外接圆的圆心，
∵∠MPN=90°，
∴MN 是直径，
∴M ，O ，N 共线，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质、矩形的判定、勾股定理的综合应用、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟记各性质并准确识图是解决问题的关键． 15．【分析】根据题意和二次函数的性质可以得到二次函数的图像与轴的另一个交点然后得到的解然后再变形即可得到方程的两个根；【详解】∵二次函数的图象与x 轴交于点对称轴为直线∴该函数与x 轴的另一个交点为∴当时可 解析：11x =-，213
x =
【分析】
根据题意和二次函数的性质，可以得到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴的另一个交点，然后得到20ax bx c ++=的解，然后再变形，即可得到方程的两个根；
【详解】
∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =， ∴该函数与x 轴的另一个交点为()1,0-，
∴当0y =时，20ax bx c =++，
可得：11x =-，23x =，
当20ax bx c ++=，0x ≠时，可得2
110a b c x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
设
1t x
=，可得20ct bt a ++=， ∴11t =-，213t =， 由上可得，方程20cx bx c
++=的两个根为11x =-，213x =； 故答案为：11x =-，213x =
． 【点睛】
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键． 16．【分析】根据抛物线的对称性即可求解【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的公共点的坐标是（-10）（50）∴这条抛物线的对称轴是直线x=（5-1）=2故答案为2【点睛】本题考查了抛物线与x 轴
解析：2
【分析】
根据抛物线的对称性即可求解．
【详解】
解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的公共点的坐标是（-1，0），（5，0），
∴这条抛物线的对称轴是直线x=
12（5-1）=2， 故答案为2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 17．【分析】利用二次函数的配方法确定最值即可【详解】∵∵a=-1＜0∴二次函数有最大值且最大值为5；故答案为：5【点睛】本题考查了二次函数的最值问题熟练运用配方法确定二次函数的最值是解题的关键
解析：【分析】
利用二次函数的配方法确定最值即可.
【详解】
∵224y x x =-++
2(24)x x =---
2[(1)14]x =----
2(1)5x =--+，
∵a= -1＜0，
∴二次函数224y x x =-++有最大值，
且最大值为5；
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，熟练运用配方法确定二次函数的最值是解题的关键. 18．能【分析】过B作BD⊥AC于D解直角三角形求出AD=xmCD=BD=xm得出方程求出方程的解即可【详解】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为21m的圆形门理由是：过B作BD⊥AC于D∵AB＞BDB
解析：能
【分析】
过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=3xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，
理由是：过B作BD⊥AC于D，
∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，
∴求出DB长和2.1m比较即可，
设BD=xm，
∵∠A=30°，∠C=45°，
∴DC=BD=xm，33，
∵AC=23）m，
∴33），
∴x=2，即BD=2m＜2.1m，
∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．
19．15【分析】如图连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F求出CEDF即可解决问题【详解】解：如图连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F∵AB∥EFAE∥BF∴四边形
解析：15
【分析】
如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．求出CE， DF即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB∥EF，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF=90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF=AB
∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAE=30°，
∴CE=AC•sin30°=27.5（cm），
同法可得DF=27.5（cm），
∴EF= CD-CE-DF=70-27.5-27.5=15（cm），
∴AB=15（cm），
故答案为15．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
20．【分析】作CD⊥AB于点D由可设BC=xAC=2x根据勾股定理即可求出BC和AC的值利用面积法求出CD的值再利用勾股定理求出BD的值得到点C的坐标然后可求出k的值【详解】如图作CD⊥AB于点D∵为斜
解析：12
【分析】
作CD⊥AB于点D．由
1
tan
2
A 可设BC=x，AC=2x，根据勾股定理即可求出BC和AC的
值，利用面积法求出CD的值，再利用勾股定理求出BD的值，得到点C的坐标，然后可求出k的值．
【详解】
如图，作CD⊥AB于点D．
∵()5,0A -，O 为Rt ABC ∆斜边AB 的中点，
∴()5,0B ，
∴OB=5，AB=10． ∵1tan 2A ==BC AC
， ∴可设BC=x ，AC=2x ，由勾股定理得
x 2+(2x)2=102，
∴x=25
∴BC=25AC=45 ∵1122
AC BC AB CD ⋅=⋅， ∴254510CD =，
∴CD=4，
∴()22222542BC CD -=
-=， ∴OD=5-2=3，
∴C(3，4)．
反比例函数(0)k y k x
=
≠经过点C ， ∴k=3×4=12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了勾股定理，面积法求线段的长，锐角三角函数的定义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C 的坐标是解答本题的关键． 21．【分析】由锐角三角函数可求∠DEC=30°通过证明△ADE ∽△BDC 可得由勾股定理可求AE 的长即可求解【详解】解：如图连接BDAEDE ∵将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°并延长至其倍∴∠DCE=90°
解析：258
【分析】
由锐角三角函数可求∠DEC=30°，通过证明△ADE ∽△BDC ，可得12
BC DC AE DE ==，由勾股定理可求AE 的长，即可求解．
【详解】 解：如图，连接BD ，AE ，DE ，
∵将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°3
∴∠DCE=90°，CE 3CD ， ∴3.tan 3DC DEC EC ∠=
=， ∴∠DEC=30°，
∴3cos EC DEC DE ∠=
=1sin 2DC DEC DE ∠==， ∵233AD AB =
， ∴
32AB AD =， ∴EC AB DE AD =， 又∵∠DEC=∠DAB=30°，
∴△DEC ∽△DAB ，
∴∠ADB=∠EDC ，DC DE DB AD =， ∴∠ADE=∠BDC ，
∴△ADE ∽△BDC ，
∴12
BC DC AE DE ==， ∵233AD AB =
，3 ∴AB=9，
又∵BF=3，
∴AF=6，
∴22492536164AE AF EF =
+=+=， ∴12528BC AE ==， 故答案为：
258
． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，证明△DEC ∽△DAB 是本题的关键．
22．【分析】连接DE 过E 作EH ⊥OD 于H 求得∠EDO ＝45°即可得到Rt △DEH 中求得DH 进而得出OH 即可求解【详解】如图所示连接过作于于于是的中点中点的横坐标是【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中
解析：422-
【分析】
连接DE ，过E 作EH ⊥OD 于H ，求得∠EDO ＝45°，即可得到Rt △DEH 中，求得DH ，进而得出OH ，即可求解．
【详解】
如图所示，连接DE ，过E 作EH OD ⊥于H ，
BE CA ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，D 是BC 的中点，
142
DE DC BC DO DB ∴==
===， DCE DEC ∴∠=∠，DBO DOB ∠=∠， 67.5A ∴∠=︒，
112.5ACB ABC ∴∠+∠=︒，
18021802()()CDE BDO DCE DBO ∴∠+∠=︒-∠+︒-∠
3602()DCE DBO =︒-∠+∠
3602112.5=︒-⨯︒
135=︒，
45EDO ∴∠=︒，
Rt DEH ∴∆中，cos 4522DH DE =︒⨯=
4OH OD DH ∴=-=-
点E 的横坐标是4-
【点睛】
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．
三、解答题
23．（1）见解析；（2）点P 的坐标为（0，
163）；（3）OQ PQ 不变，等于35． 【分析】
（1）根据切线性质，∠PAC +∠MAC ＝90°，由∠MCA ＝∠MAC ，∠OAC +∠MCA ＝90°，实现解题目标；
（2）先证明△AOM ∽△PAM ，后使用勾股定理计算即可；
（3）证明△MOQ ∽△MQP 即可实现解题目标．
【详解】
（1）连接MA ，如图1，
∵PA 是⊙M 的切线，
∴AM ⊥AP ，
∴∠PAC +∠MAC ＝90°，
∵MA ＝MC ，
∴∠MCA ＝∠MAC ，
∵∠OAC +∠MCA ＝90°，
∴∠PAC ＝∠OAC ；
（2）如图1，∵∠AMO ＝∠PMA ，∠AOM ＝∠PAM ＝90°，
∴△AOM ∽△PAM ， ∴MA MO MP MA
=， ∴2MA ＝MO •MP ，
设AM ＝R ，
∵A （﹣4，0），C （0，2），
∴OA ＝4，OC ＝2，
在Rt △AOM 中，
∵OA ＝4，OM ＝R ﹣2，
由222MA OM AO =+
得，222
(2)4R R =-+，
解得R ＝5，即AM ＝5，
∴OM ＝5﹣2＝3．
∴25＝3MP ，
∴MP ＝253， ∴OP ＝MP ﹣OM ＝253﹣3＝163
， ∴点P 的坐标为（0，
163） （3）OQ PQ 不变，等于35
． 连接MQ ，如图2，
∵
MA MO MP MA =（已证），MA ＝MQ ， ∴MQ MO MP MQ
=． ∵∠QMO ＝∠PMQ ，
∴△MOQ ∽△MQP ，
∴
35OQ MO MO PQ MQ MA ===， ∴OQ PQ 不变，等于35
．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，三角形的相似，勾股定理，圆的半径相等，猜想型问题，熟练掌握圆的基本性质，灵活证明三角形的相似是解题的关键．
24．（1）30°；（2）30DCE ∠=︒；3CD =
【分析】
（1）连接OC ，由AB 是圆O 的直径，AB=2AC ，得到AOC △为等边三角形，根据等边三
角形的性质得到60AOC ∠=︒，即可得到结论
（2）连接OE ，OC ，根据切线的性质得到MC OC ⊥，得到EOB △是等边三角形，根据等边三角形的性质得到60EOB ∠=︒，求得18060COE EOB AOC ∠=︒-∠-∠=︒，推出OCE △是等边三角形，于是得到2CE OC ==，60EOC ∠=︒，根据勾股定理即可得到结论
【详解】
.解：（1）如图，连接OC ．
O 的直径4AB =，
2OA OC ．
2AC =，
OA OC AC ∴==．
AOC ∴是等边三角形．
60AOC ∴∠=︒．
3102
PC C A AO ∴∠=∠=︒． （2）如图，连接OC ，OE ．
MC 是O 的切线，
MC OC ∴⊥．
BD MC ⊥，
90MCO CDB ∴∠=∠=︒．
//BD OC ∴．
60B AOC ∴∠=∠=︒．
OB OE =，
EOB ∴是等边三角形．
60EOB ∴∠=︒．
18060COE EOB AOC ∴∠=︒-∠-∠=︒．
OC OE =，
OCE ∴是等边三角形．
2CE OC ∴==，60ECO ∠=︒．
9030DCE ECO ∴∠=︒-∠=︒
在Rt CDE △中，2CE =，
1
1
2
DE CE ∴==，CD === 【点睛】
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，
25．（1）20元；（2）3或4
【分析】
（1）设每顶头盔应降价x 元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意列出函数求解即可；
【详解】
解：（1）设每顶头盔应降价x 元．
根据题意，得(10020)(6840)4000x x +--=．
解得123,20x x ==．
当3x =时，68365-=；
当20x 时，682048-=；
每顶售价不高于58元，∴每顶头盔应降价20元．
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意，得 [10020(68)](40)w a a m =+---
220(202260)1460(40)a m a m =-++-+ 抛物线对称轴为直线1132
m a +=，开口向下， 当58a 时，利润仍随售价的增大而增大，
113582
m +∴，解得3m ． 15,35m m <∴<． m 为整数，3m ∴=或4． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，结合一元二次方程的求解是解题的关键．
26．（1）21462
y x x =
-+；（2）12；（3）D 57,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）直接将点A 、B 的坐标代入26y ax bx =++ 中求得a 、b 的值即可；
（2）过点A 作AE AC ⊥点A ，交BC 于点E ，过点E 做EF x ⊥轴于点F ，证出
EF BF =．设EF BF x ==，则4AF x =-，证出AOC EFA ∽
△△．求出1x =．即可求出12
AE EF AC OA ==． （3）过点A 作AM AC ⊥于点A ，交CD 于点M ，过点M 做MN x ⊥轴于点N ．证出AOC MNA ≌△△，求出点M (8，2)直线MC 的解析式162
y x =-+，列方程组求出点D 坐标(7，
52
) 【详解】 （1）∵点A(2，0)和点B(6，0)在26y ax bx =++，
∴ 将点A(2，0)和点B(6，0)代入26y ax bx =++得：
426036660
a b a b ++=⎧⎨++=⎩ ， 解得：124
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴21462
y x x =-+； （2）解：过点A 作AE AC ⊥点A ，交BC 于点E ，过点E 做EF x ⊥轴于点F ， ∵AE ⊥AC ，EF ⊥AB ，
∴∠EFB=90°，
∵B(6，0)，C(0，6)，
∴△OBC 为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴△BEF 为等腰直角三角形，
∴EF=BF ，
设EF BF x ==，则4AF x =-，
∵∠CAO+∠EAF=90°，∠AEF+∠EAF=90°，
∴∠CAO=∠AEF ，
∴AOC EFA ∽△△， ∴
AF EF OC AO = ， 即462
x x -= ， 解得：1x =． ∴tan ACB ∠=
12AE EF AC OA ==．
（3）解：过点A 作AM AC ⊥于点A ，交CD 于点M ，
过点M 做MN x ⊥轴于点N ．
∵∠ACD=45°，∠CAM=90°，
∴△CAM 为等腰直角三角形，
∴CA=AM ，
又∵∠CAO+∠MAB=90°，
∠AMN+∠MAB=90°，
∴∠CAO=∠AMN ，
在△AOC 和△MNA 中
⎧⎪⎨⎪⎩
∠COA=∠ANM ∠CAO=∠AMN CA=AM ， ∴AOC MNA ≌△△（AAS ），
∴ MN=OA=2，AN=OC=6，
∴ M(8，2)，
∴设直线MC 的解析式为：y kx b =+ ，
将C(0，6)，M(8，2)，代入得：
682b k b =⎧⎨+=⎩
， 解得：126
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ， ∴ 直线MC 的解析式162
y x =-+， ∴21462162
y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 解得：06x y =⎧⎨=⎩ （舍去）752x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴D (7，52
)；
【点睛】
本题考查了相似三角形与全等三角形的性质与判定，二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的性质；熟练掌握知识点是解题的关键；。