2019数学新设计北师大选修2-1精练：第二章 空间向量与立体几何 2.5.3含答案

5.3直线与平面的夹角
课后训练案巩固提升
1.下列有关角的说法正确的是()
A.异面直线所成的角的范围是
B.两平面的夹角可以是钝角
C.斜线和平面所成角的范围是
D.直线与平面的夹角的取值范围是
解析;异面直线所成的角的范围是,A错;两平面的夹角的范围是,B错;斜线与平面所成角就是斜线与平
面的夹角,规定斜线和平面所成角的范围是,C错;而直线与平面的夹角的取值范围是,D对.
答案;D
2.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()
A.B.C.D.
解析;以D为坐标原点,
建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则=(0,1,0),=(1,1,0),=(0,1,2).
设平面BDC1的法向量为n=(,y,),则n⊥,n⊥,所以有令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为
n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|=.
答案;A
3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C夹角的大小是()
A. B. C. D.
解析;如图,取BC的中点E,连接DE,AE,AD,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD
与平面BB1C1C的夹角.设各棱长为1,则AE=,DE=,所以tan∠ADE=,所以∠ADE=,故选C.
答案;C
4.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PD=AB=1,G为△ABC的重心,则PG与底面ABCD所成的角θ满足()
A.θ=
B.cos θ=
C.tan θ=
D.sin θ=
解析;建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以G.又平面
ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),则cos<,n>==-,所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为.
答案;B
5.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α夹角的余弦值为.
解析;∵cos<a,n>=,
∴l与α夹角的余弦值为.
答案;
6.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD的夹角为,则平面FBE 与平面DBE夹角的余弦值是.
解析;因为DA,DC,DE两两垂直,
所以建立空间直角坐标系D-y,如图所示.
因为BE与平面ABCD的夹角为,即∠DBE=,
所以.由AD=3可知DE=3,AF=,
则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0).
所以=(0,-3,),=(3,0,-2).
设平面BEF的法向量为n=(,y,),
则
令=,则n=(4,2,).由题意知AC⊥平面BDE,
所以为平面BDE的法向量,=(3,-3,0).
所以cos<n,>=.
故由题意知平面FBE与平面DBE夹角的余弦值为.
答案;
7.
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠
ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.
(1)求证;SA⊥BC;
(2)求直线SD与平面SAB夹角的正弦值.
(提示;用向量法求解)
(1)证明如图,作SO⊥BC,垂足为O,连接AO.
由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.
因为SA=SB,
所以AO=BO.
又∠ABC=45°,
故△AOB为等腰直角三角形,且AO⊥OB.
如图,以O为坐标原点,OA为轴正向,OB为y轴正向,OS为轴正向,建立空间直角坐标系O-y,则
A(,0,0),B(0,,0),C(0,-,0),S(0,0,1),
所以=(,0,-1),=(0,2,0).
所以=0.所以SA⊥BC.
(2)解如上图,取AB的中点E.
连接SE,取SE的中点G,连接OG,
则.
所以=0,=0,
即OG与平面SAB内两条相交直线SE,AB垂直,
所以OG⊥平面SAB.
将的夹角记为α,SD与平面SAB的夹角记为β,则α与β互余.
因为D(,-2,0),所以=(-,2,1),
所以cos α=,所以sin β=.
所以直线SD与平面SAB夹角的正弦值为.
8.
导学号90074044如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
(1)求证;BD⊥平面PAC;
(2)若PA=AB,求PB与平面PAC所成角的余弦值;
(3)若PA=4,求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值.
解(1)因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC.
又PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA.
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.
(2)设BD∩AC=O,连接PO,由(1)可知∠BPO即为PB与平面PAC所成的角.
因为PA=AB=2,所以PB=2.又∠BAD=60°,
所以OB=BD=1,所以cos∠BPO=,所以PB与平面PAC所成角的余弦值为.
(3)
以BD 与AC 的交点O 为坐标原点,OB 为轴,OC 为y 轴,过点O 且垂直于平面ABCD 的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得,AO=OC=
,OD=OB=1,所以
P (0,-,4),B (1,0,0),C (0,,0),D (-1,0,0),
=(0,2,-4),=(-1,,0),=(-1,-
,0).
设平面PBC 的法向量为n 1=(1,y 1,1),平面PDC 的法向量为n 2=(2,y 2,2),
由可得
令1=,可得n 1=
.同理,由
可得n 2=,所以cos <n 1,n 2>=
=-,所以平面PBC 与平面PDC 所成角的余弦值为
.。