34.分式的加减(基础)知识讲解

分式的加减（基础）
撰稿：康红梅 责编：吴婷婷
【学习目标】
1．能利用分式的基本性质通分．
2．会进行同分母分式的加减法．
3．会进行异分母分式的加减法．
【要点梳理】
【高清课堂403995 分式的加减运算 知识讲解】
要点一、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为： a b a b c c c ±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是
分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
要点二、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变
成同分母分式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，
③把结果化成最简分式.
【典型例题】
类型一、同分母分式的加减 【高清课堂403995 分式的加减运算 例1（5）（6）】
1、计算：（1）22222333a b a b a b a b a b a b +--+-； （2）222422x x x x x +-+--； （3）2111x x x
-+--； （4）222222222a ab b a b b a a b ++--- 【答案与解析】
解：（1）22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222222333a b a b a b a a b a b ab
++--+===； （2）2222
24242222
x x x x x x x x x x +-+-+=-----
()222224222x x x x x x -+--===-- （3）2121213111111
x x x x x x x x x x ---+-+=-==-------； （4）2222
22222222222222a ab b a ab b a b b a a b a b a b a b
++=-+------ 2()()()a b a b a b a b a b
--==+-+. 【总结升华】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简． 举一反三：
【变式】计算：（1）22a b b a b a a b b a
++----； （2）x
x x x x x x x +---+--+++35223634222. 【答案】
解：（1）22a b b a b a a b b a ++----22a b b a b a b a b a +=-----221a b b a b a b a b a
+---===--． （2）22246225333x x x x x x x x
+----+-+++ ()
222462253133
x x x x x x x x ++-----+===++ 类型二、异分母分式的加减
2、计算：
（1）21132a ab +；（2）2
312224x x x x +-+--；（3）211a a a ---． 【思路点拨】（1）题中的两个分母都是单项式，最简公分母为2
6a b ；（2）题是异分母分式的加减，为了减少错误应先把分母按字母降幂排列，并且使最高次项系数为正，再将分母因式分解；（3）题是分式2
1
a a -与(1)a --即(1)a -+的和，可将整式部分当成一个整体，且分母为1，使运算简化．
【答案与解析】
解：（1）原式2222323666b a b a a b a b a b
+=+=；
（2）原式2312224x x x x =-++--31222(2)(2)x x x x x =-++--+ 3(2)(2)24(2)4(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x --++-=
==-+-++； （3）原式222222211(1)111111111
a a a a a a a a a a a a a a +----+=-=-===------． 【总结升华】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算．
举一反三：
【变式】计算：（1）
212293m m ---；（2）112323x y x y ++-. 【答案】
解：（1）212293m m ---122(3)(3)(3)(3)(3)
m m m m m +=-+--+ 12262(3)2(3)(3)(3)(3)3
m m m m m m m ---===-+-+-+． （2）()()()()
112323232323232323x y x y x y x y x y x y x y x y -++=++-+-+- ()()2223234232349x y x y x x y x y x y
-++==+--. 类型三、分式的加减运算的应用
3、请先化简322
21311
x x x x x x x ----+-+，再选取一个使原式有意义而你又喜欢的数代入求值．
【思路点拨】本题具有探索性和创新性，先把各项分式化简，再求值．
【答案与解析】
解：322221(1)(1)(1)31311(1)1
x x x x x x x x x x x x x x x ---+---+=+-+-+-+ (1)31x x x x =+--+=-．
当100x =时，原式100=-．
【总结升华】在代入x 的值的时候要考虑它的取值范围，要注意0x ≠，1x ≠，1x ≠-．
4、将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数是变大了，还是变小了？请先举例发现其中的规律，再设法说明理由．
【答案与解析】
解：应选择不同特点的分数来试验探索．
1112122132+=>+:；5527544264
+=<+:； 2224233253+--=-<-+:；882823323
+--=->-+:；… 我们发现：对于正的真分数，分子、分母都加相同的正数时分数变大；对于正的假分数，分子、分母都加相同的正数时分数变小；对于负分数，结论与上两条恰好相反．
说明：（1）对于b a
（a ，b 均为正整数，且a b >），分子、分母同时加上正数m ，则变成b m a m
++．因为()()()()b m b a b m b a m a m a a a m a a m +++-=-+++()0()()am bm m a b a a m a a m --==>++，所以
b m b a m a
+>+．① （2）对于b a （a ，b 均为正数，且a b <），分子、分母同时加上正数m ，则变成了b m a m ++，因为()0()b m b m a b a m a a a m +--=<++，所以b m b a m a
+<+．② （3）对于负分数的情形，只要将①、②两式两边同乘－1即得结论．
【总结升华】通过特例发现问题，得出一般结论，并去证明，是我们常用研究、探索问题的手段．。