高考数学理科冲刺卷数学理(七)

高考冲刺卷理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1．设全集{|19U x x =≤<，且x 为奇数}，集合{1,5},,{5,7}U A a A U C A =-⊆=，则a 的值为
A ．8-或2-
B ．2或8
C ．8-或2
D ．2-或8
2．不等式
11
x x
x x >--的解集是 A ．{|01}x x << B ．{|0x x <或1}x > C ．{|0}x x >
D ．{|1}x x <
3．复数2
ln(3)(1)()x
x
z x e e
i x R -=+-+-⋅∈在复平面内对应的点P 位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．设直线12:1,:3l y l y x =-=
+，则1l 到2l 的角是 A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
5．设函数43)y x =≥-，则它的反函数为
A ．3(4)y x =≥
B ．3(3)y x =
≥- C ．2
1(4)3(4)2
y x x =--≥
D ．2
1(4)3(3)2
y x x =--≥-
6．不等式组||2||
2
x y x y ≤≤⎧⎨
≤⎩，所表示的平面区域的面积是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．若2(15)n
x +的展开式中各项系数之和是3,(25)n n a x +的展开式中各项的二项式系数之
和是n b ，则2lim
34n n
x n n
a b a b →∞-+的值为
A ．1
3
B ．
14 C ．12 D ．2
3- 8．已知直线y kx =是曲线 2
1ln 2
y x x =+在x e =处的切线，则k 的值是
A ．2e
B ．0
C ．1e e +
D ．1
e e
-+
已
9．函数3
52sin 3tan 6y x x x =-+-的图象的对称中心是
A ．（0，0）
B ．（6，0）
C ．（6-，0）
D ．（0，6-）
10．某单位购买10张北京奥运会某场足球比赛门票，其中有3张甲票，其余为乙票．5名 职工从中各抽1张，至少有1人抽到甲票的概率是
A ．
1112
B ．
12
C ．
310
D ．
112
11．已知120,,a b e e >>分别是圆锥曲线22221x y a b +=和22
221x y a b
-=的离心率，设
12lg lg m e e =+，则m 的取值范围是
A ．（-∞，0）
B ．（0，+∞）
C ．（-∞，1）
D ．（1，+∞）
12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323
π
，那 么这个三棱柱的体积是
A
．
B
．
C
．
D
．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知向量(1,1),(2,3)a b ==-，若2ka b -与b 平行，则cos 2,ka b a <->= ． 14．若等比数列{}n a 中，251158142,6a a a a a a ++=++=，则2581114a a a a a ++++的值 是 ．
15．已知点(0,1)A -及直线:1l x =-，点P 是抛物线2
4y x =上一动点，则点P 到定点A 的 距离与P 到直线l 的距离和的最小值为 ．
16．已知平面α、β、γ及直线l 、m 满足：,,,l m m l αγγαγβ⊥⊥==，那么在
结论：① βγ⊥；② l a ⊥；③ m β⊥中，可以由上述已知条件推出的结论 有 。

（把你认为正确的结论序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
已知角A 、B 、C 为ABC ∆的内角，其对边分别为a 、b 、c ，若向量
cos ,sin ,cos ,sin ,2222A A A A m n a ⎛⎫⎛
⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,且12m n ⋅=，求b c +的取值范围．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两人参加一项智力测试，已知在备选的10道题中，甲能答对6道题，乙能答对8道题，规定每位参赛者都从这10道题中随机抽出3道题独立测试，至少答对两道题才算通过．
（1）求只有1人通过测试的概率； （2）求甲答对题数ξ的数学期望．
19．（本小题满分12分）
设数列{},{}n n a b 满足：1122336,4,3a b a b a b ======,且数列1{}n n a a +-是等差数
列，{2}n b -是等比数列，其中n N *
∈．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）是否存在k N *
∈，使1
02
k k a b <-<?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,90AB AC AA BAC ===∠=，D 为棱1
BB 的中点．
（1）求证：平面1A DC ⊥平面ADC ； （2）求直线1C D 与平面ACD 所成角的大小．
21．（本小题满分12分）
中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点1F 、2F ，且
12||F F =4，离心率之比为3：7．
（1）求两曲线的方程；
（2）若P 为两曲线的一个交点，求12
12||||
PF PF PF PF ⋅⋅的值．
22．（本小题满分12分）
已知函数2
()2ln f x x x a x =++⋅．
（1）若函数()f x 在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a 的取值范围； （2）当1t ≥时，不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、 1．B 2．A 3．D
4．D
5．C
6．B
7．A
8．C
9．D
10．A
11．A
12．B
1．由题意知|5|3a -=，解得2a =或8a =，故选B ． 2．原不等式即为
01
x
x <-，化得(1)0
x x -<，解得01x <<．故选A ． 3．由条件2
(lg(3),1)x
x
P x e e -+--．对上2
,331x R x ∈+≥>，所以2
lg(3)0x +>
又22x x x x e e e e --+≥⋅⋅=，所以110x
x
e e
---≤-<．故选D ． 4．设1l 到2l 的角为1,l θ的斜率123,k l =的斜率233
k =
， 则21123
tan 1k k k k θ-=
=-
+，于是150θ=．故选D ． 5．由42(3)y x =++解得2(4)32y x -=
-，即其反函数为21
(4)32
y x =--，又在原函数中由3x ≥-得4y ≥，即其反函数中4x ≥．故选C ．
6．不等式组化得 022x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩或0
22
x y x y x y <⎧⎪≥-⎪
⎨≤-⎪⎪≤⎩
平面区域如图所示，阴影部分面积：
1
21222
S =⨯⨯⨯=，故选B ．
7．由已知得(15)6,2n n n
n n a b =+==，而
112262213lim lim lim 34364231343n
n n
n n n n n x x x n n
a b a b →∞→∞→∞⎛⎫-⨯ ⎪--⨯⎝⎭===+⨯+⨯⎛⎫+⨯ ⎪
⎝⎭
．故选A ． 8．11x e x e k y x e x e ==⎛
⎫'
==+=+ ⎪
⎝
⎭．故选c ． 9．令3
()52sin 3tan f x x x x =-+，则()()f x f x -=-，即()f x 的图象关于（0，0）点对称，将()f x 的图象向下平移6个单位．得题中函数的图象，则它的对称中心为（0，6-）．故选D ．
10．142332
3737375
1011
12
C C C C C C P C ⋅+⋅+⋅==．故选A ． 11．
由条件得：1201,b
e e a
<<=
=，
则122e e a ⋅==得1201e e <<，所以1212lg lg lg()0m e e e e =+=<．故选A ．
12．由已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆是球的大圆．设底面正三角形的边长为a ，球半径为R
，则a =，又
343233
R π
π=
，解得2R =
，则a =，
于是2
24
V a R =⋅=B ． 二、
13．2(4,6),2ka b k k ka b -=-+-与b 平行，2(6)(3)(4)0k k ∴+--⋅-=，
解得0k =
即(2)2(4,6),cos 2,|2|||26ka b a ka b ka b a ka b a -⋅-=-<->=
==-⋅
14．设数列{}n a 的公比为q ，则
393392511258142(1)2,(1)6a a a a q q a a a a q q q ++=++=++=⋅⋅++=，两式相除，
得3
3q =，则325226
,3131
a a a q ==⋅=．
所以25811142511581456242
()()263121
a a a a a a a a a a a a ++++=+++++-=+-
=． 15．由题意知，直线l 是抛物线2
4y x =的准线，而P 到l 的距离等于P 到焦点(1,0)F 的距
离．即求点P 到点A 的距离与到点F 的距离和的最小值，就是点A 与点F 的距离，
为2． 16．一方面．由条件，,,,m l m l γαγ
αγ⊥=⊥⊂，得l α⊥，故②正确．
另一方面，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，把1AA 、11A D 分别记作l 、m ，平面11A C 、平面1AC 、平面1AD 分别记作α、β、γ，就可以否定①与③．
三、 17．解：
cos ,sin ,cos ,sin 2222A A A A m n ⎛⎫⎛
⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，且12m n ⋅=
2
21cos sin 222A A ∴-+=，即1cos 2
A =-
又20,3
A A π
π<<∴=．
由正弦定理
23
42sin sin sin sin 3
b c a B C A π====
又,4sin 4sin 4sin 4sin 33B C A b c B C B B π
ππ⎛⎫
+=-=
∴+=+=+- ⎪⎝⎭
4sin 3B π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
230,,sin 13
3
3
323B B B π
π
π
ππ⎛
⎫<<
∴
<+
<
∴<+≤ ⎪⎝
⎭
即b c +的取值范围是区间(23,4]．
18．解：（1）设甲、乙两人通过测试的事件分别为A 、B ，则2136463
102
()3
C C C P A C +==， 213
8283
1014
()15
C C C P B C +== A 、B 相互独立，∴甲、乙两人中只有1人通过测试的概率
16
()(1())(1())()45
P P A P B P A P B =⋅-+-⋅=
． （2）甲答对题数ξ的所有可能值为0,1,2,3ξ=
123
54433101013
(0),(1)3010C C C P P C C ξξ======
21364533101011
(2),(3)26
C C C P P C C ξξ======
∴甲答对题数ξ的数学期望为13119
01233010265
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=． 19．解：（1）由已知1224,22b b -=-=，∴数列{2}n b -的公比1
2
q =，首项124b -=
1
1124822n n
n b -⎛⎫
⎛⎫∴-==⨯ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
1282n
n b ⎛⎫
∴=+⨯ ⎪⎝⎭
又数列1{}n n a a +-中，21322,1a a a a -=--=-
1{}n n a a +∴-的公差1d =，首项212a a -=- 12(1)13n n a a n n +∴-=-+-⨯=- 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+
+-+
(4)(5)(2)6n n =-+-++-+
(1)[(4)(2)]
62
n n -⋅-+-=
+
27182
n n -+=（1n =时也成立）
∴数列{}n a 、{}n b 的通项公式依次为27181,2822n
n n n n a b -+⎛⎫
==+⨯ ⎪⎝⎭
．
（2）记2171()87222k
k k f k a b k k ⎛⎫
=-=--⨯+ ⎪⎝⎭
当4k ≥时，21722y k k =-和182k
y ⎛⎫
=-⨯ ⎪⎝⎭
都是增函数
即4k ≥时，()f k 是增函数
1(4),2f =∴当k ≥4时，1
()2
f k ≥；
又
(1)(2)(3)0f f f ===
k N *∴∈时()0f k =或1()2f k ≥
，∴不存在k N *
∈，使102
k k a b <-<． 20．（1）证明；在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= AC ∴⊥面111,ABB A AC A D ∴⊥
又11,2AD A D AA ==
222111,AD A D AA AD A D ∴+=∴⊥
1A D ∴⊥面ACD ，而1A D ⊂面1A CD ，
∴平面1
ACD ⊥平面ACD （2）解：取1CC 中点E ，连接BE 交CD 于点F ，则1//BE C D ．
1C D 与平面ACD 所成角的大小等于BE 与平面ACD 所成角的大小，取AD 中点
G ，连接BG 、FG ，则等腰三角形ABD 中，AD BG ⊥．
又由（1）得AC ⊥面11ABB A ．
,AC BG BG ∴⊥∴⊥面ACD
BFG ∴∠为直线BE 与面ACD 所成的角
又11,222
AB BD FG AC BG AD ⨯=
===
tan BG BFG FG
∴∠==
BFG ∴∠=∴直线1C D 与平面ACD
所成的角为．
（注：本题也可以能过建立空间直角坐标系解答）
21．解：（1）设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，双曲线方程为 22
221(0,0)x y m n m n
-=>>
，半焦距c = 由已知得437
a m c c a m -=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，解得73a m =⎧⎨=⎩
，则6,2b n ==== 故椭圆及双曲线方程分别为2214936x y +=及22
194x y -=． （2）由向量的数量积公式知，1212||||
PF PF PF PF ⋅⋅表示向量1PF 与2PF 夹角的余弦值，设12F PF θ∠=，即求cos θ的值．
由余弦定理得221212||||2||||cos 52PF PF PF PF θ+-⋅⋅=
① 由椭圆定义得 221122||2||||||196PF PF PF PF +⋅+=
② 由双曲线定义得221122||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=
③ 式②+式③得2212||||116PF PF +=，式②一式③ 得12||||40PF PF ⋅=
将它们代人式①得11680cos 52θ-⋅=，解得4cos 5
θ=， 所以121245
||||PF PF PF PF ⋅=⋅． 22，解：（1）由2()2ln f x x x a x =++⋅
得()22a f x x x
'=++
要使()f x 在（0，1]上恒为单调函数，只需()0f x '≥或()0f x '≤在（0，1]上恒成立．
∴只需2(22)a x x ≥-+或2(22)a x x ≤-+在（0，1]上恒成立
记2()(22)g x x x =-+
01,4()0,4x g x a <≤∴-≤<∴≤-或0a ≥
（2）2()2ln f x x x a x =++⋅，
∴由(21)2()3f t f t -≥-得 22(21)2(21)ln(21)2(2ln )3t t a t t t a t -+-+⋅-≥++-
化简得2
2
2(1)ln 21t t a t -≥⋅- 1t >时有2
210t t >->，即2
121t t >-， 则2
ln 021t t >- 22
2(1)ln 21t a t t -∴≤- ①
构造函数()ln(1),(1)h x x x x =+->-，则1()111x h x x x '=-=-++ ()h x ∴在0x =处取得极大值，也是最大值．
()(0)h x h ∴≤在1x >-范围内恒成立，而(0)0h =
从而ln(1)x x +≤在1x >-范围内恒成立．
∴在1t >时，2
222(1)(1)ln ln 1(1)212121t t t t t t t ⎡⎤--==+≤<-⎢⎥---⎣
⎦ 而1t =时，22ln (1)021t t t =-=-，∴当1t ≥时，2
2ln (1)21
t t t ≤--恒成立 即1t ≥时，总有2
2
2(1)2ln 21t t t -≥- ②
由式①和式②可知，实数a 的取值范围是2a ≤．。