广东省珠海市第三中学2025届高考仿真模拟数学试卷含解析

广东省珠海市第三中学2025届高考仿真模拟数学试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
2．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，平面
α与此正方体相交.对于实数()
03d d <<，如果正方体1111ABCD A BC D -的八个顶点中恰好有
m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠
D ．3m ≠
3．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12 B ．10
C ．10
D ．2
4．函数||
1()e sin 28
x f x x =
的部分图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，则λ＋μ的值为（ ）
A ．
6
5
B ．
85
C ．2
D ．83
6．已知函数()sin(2)4f x x π
=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4
g x x π
=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．
4
π
B ．
38
π C ．
2
π D ．
58
π 7．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(2,1)
C ．(1,2)-
D ．(2,1)-
8．函数2
sin 1x x
y x +=
+的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
10．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ） A ．P 1•P 2＝
14
B ．P 1＝P 2＝
13
C ．P 1+P 2＝
56
D ．P 1＜P 2
11． “11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”是“221x y +≤”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg20.3≈（ ）
A ．30010
B ．40010
C ．50010
D ．60010
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系
中，已知
，若圆
上有且仅有四个不同的点C ，使得△ABC 的面
积为5，则实数a 的取值范围是____.
14．已知tan 3α=，则cos 2=α__________．
15．在ABC 中，内角、、A B C 的对边长分别为a b c 、、，已知222a c b -=，且sin cosC 3cos sin A A C =，则
b =_________．
16．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为_______________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知()π02α∈，，()
π
π2β∈，，1cos 3
β=-，()7sin 9αβ+=.
（1）求sin α的值； （2）求tan +
2βα⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的值.
18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b =，8c =，角A 为锐角，ABC ∆的面积为63.
（1）求角A 的大小； （2）求a 的值.
19．（12分）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点.
（1）面出过点E 且与直线1AC 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）； （2）求1BD 与该平面所成角的正弦值.
20．（12分）若关于x 的方程2(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2，求实数m 的取值范围．
21．（12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a b c ，，，22sin sin sin sin 2sin A B A B c C ++=，ABC 的面积
S abc =.
（1）求角C ；
（2）求ABC 周长的取值范围.
22．（10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积记为S ，满足23
3
S AB CA =⋅. （1）求A ；
（2)32b c a +=，求222
a b c bc ac ab
++
的值. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解析】
若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可. 【详解】
由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以222
12323a a a a a =++， 22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍），
故2(1)
7(2)82
n n n S n n n -=+⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题. 2、B 【解析】
此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】
如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.
【点睛】
本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题. 3、B 【解析】
根据b 在a 上投影为2-，以及[
)cos ,1,0a b <>∈-，可得min
2b =；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为
模长和夹角运算，代入min
b 即可求得min
3a b
-.
【详解】
b 在a 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-
0b > cos ,0a b ∴<>< 又[
)cos ,1,0a b <>∈- min
2b
∴=
2
2
2
2
2
2
3696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+
min
3910a b
∴-=⨯=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b 的最小值. 4、C 【解析】
判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【详解】
()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，
0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ，
当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2
111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
时，()()0,1f x ∈，排除A ，
C 符合条件，故选C.
【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 5、B 【解析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，列出方程组求解即可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).
不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，
(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-= CA CE DB λμ=+
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得65
2
5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则85λμ+=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题. 6、A 【解析】
首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛
⎫
=+- ⎪⎝
⎭
，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫
⎛
⎫+-
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
求ϕ的最小值. 【详解】
根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数
()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡
⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣
⎦，
所以22,4
4
k k Z π
π
ϕπ-=+
∈，所以,4
k k Z π
ϕπ=+
∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为
4
π
． 故选：A 【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型. 7、C 【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】
解：复数i （2+i ）＝2i ﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8、B 【解析】
图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

【详解】
22
sin()sin ()()11x x x x
f x f x x x -+-+-=
=-=-++，故奇函数，四个图像均符合。

当(0,)x π∈时，sin 0x >，2
sin 01x x
y x +=
>+，排除C 、D 当(,2)x ππ∈时，sin 0x <，2
sin 01x x
y x +=>+，排除A 。

故选B 。

【点睛】
图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。

9、B 【解析】
计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】
由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，
因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 10、C 【解析】
将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可. 【详解】
三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P 1＝36
； 方案二坐车可能：312、321，所以，P 1＝26
； 所以P 1+P 2＝56
故选C. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题. 11、A 【解析】
画出“11x y -≤+≤,11x y -≤-≤,221x y +≤,所表示的平面区域,即可进行判断. 【详解】
如图，“11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”表示的区域是如图所示的正方形， 记为集合P ，“221x y +≤”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q ， 显然P 是Q 的真子集,所以答案是充分非必要条件， 故选:A .
【点睛】
本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易. 12、A 【解析】
结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为
2910
=≈.
21010
+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg2300 1222211023
故选：A
【点睛】
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n项和公式应用，属于中档题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、（，）
【解析】
求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．【详解】
解：AB的斜率k，|AB|
5，
设△ABC的高为h，
则∵△ABC的面积为5，
∴S|AB|h h＝5，
即h＝2，
直线AB的方程为y﹣a x，即4x﹣3y+3a＝0
若圆x2+y2＝9上有且仅有四个不同的点C，
则圆心O到直线4x﹣3y+3a＝0的距离d，
则应该满足d＜R﹣h＝3﹣2＝1，
即1，
得|3a|＜5
得a，
故答案为：（，）
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和AB 的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键．
14、45
- 【解析】 解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=-=⨯
-=-+ . 15、4
【解析】
∵sin cos 3cos sin A C A C = ∴根据正弦定理与余弦定理可得：222222
322a b c b c a a c ab bc
+-+-⨯=⨯⨯，即22222c a b =- ∵222a c b -=
∴24b b =
∵0b ≠
∴4b =
故答案为4
16、821
【解析】
试题分析：从编号分别为1，1，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有4
10210C =种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A 为“取出球的编号互不相同”，
则事件A 包含了111115222280C C C C C ⋅⋅⋅⋅=个基本事件，所以()80821021
P A ==. 考点：1.计数原理；1．古典概型.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）13（2
【解析】
（1）先利用同角的三角函数关系解得sin β和()cos αβ+,再由()sin sin ααββ=+-⎡⎤⎣⎦,利用正弦的差角公式求解即可；
（2）由（1）可得tan α和tan β,利用余弦的二倍角公式求得tan
2β,再由正切的和角公式求解即可. 【详解】
解:（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭
,
所以
sin β= 又0,2πα⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭,故3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
,
所以cos()αβ+===所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+
711933
⎛⎛⎫=⨯--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ （2）由（1）得,1sin 3α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,
所以cos 3α===,
所以sin tan cos ααα==因为2
2222222cos sin 1tan 2
22
cos cos sin 22cos sin 1tan 222ββββ
β
ββββ--=-==
++且1cos 3
β=-,
即22
1tan 1231tan 2β
β-=-+,解得2tan 22β=, 因为,2πβπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭,所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 02β>,
所以tan 2
β
=
所以tan tan
24tan 121tan tan 122βαβαβα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅- 【点睛】
本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.
18、（1）3
π；（2）7. 【解析】
分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA 的值，进而求得A ；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A 求得a ．
详解：（1）∵1sin 2ABC S bc A ∆=
138sin 2A =⨯⨯⨯=
∴sin A =， ∵A 为锐角， ∴3A π
=；
（2）由余弦定理得：
a =
7==. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记
两种形式：（1）222
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
19、（1）见解析（2）13
.
【解析】
（1）1AC 与平面1BDC 垂直，过点E 作与平面1BDC 平行的平面即可
（2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值
【详解】
解：（1）截面如下图所示：其中F ，G ，H ，I ，J 分别为边11C D ，1DD ，AD ，AB ，1BB 的中点，则1AC 垂直于平面EFGHIJ .
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则()2,2,0B ，()10,0,2D ，()1,0,0H ，()2,1,0I ，()0,0,1G ，所以()12,2,2BD =--，()1,1,0HI =，()1,0,1HG =-.
设平面EFGHIJ 的一个法向量为(),,n x y z =，则00x y x z +=⎧⎨-+=⎩
. 不妨取()1,1,1n =-，则11cos ,3233BD n =
=⨯， 所以1BD 与该平面所成角的正弦值为13. （若将1
AC 作为该平面法向量，需证明1AC 与该平面垂直） 【点睛】
考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.
20、(5,4]--
【解析】
先令2()(2)5f x x m x m =+-+-，根据题中条件得到(2)02220
f m >⎧⎪-⎪-≥⎨⎪∆≥⎪⎩，求解，即可得出结果. 【详解】
因为关于x 的方程2(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2，
令2()(2)5f x x m x m =+-+- 所以有2(2)42450222(2)2040f m m m m m =+-+->⎧⎪-⎪-≥⎨⎪∆=--+≥⎪⎩
， 解得5244m m m m >-⎧⎪≤-⎨⎪≥≤-⎩
或，所以54m -<≤-.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.
21、（Ⅰ）23C π=
（Ⅱ）⎝⎦ 【解析】 （Ⅰ）由1sin 2
S abc ab C ==可得到2sin c C =，代入22sin sin sin sin 2sin A B A B c C ++=，结合正弦定理可得到222a b ab c ++=，再利用余弦定理可求出cos C 的值，即可求出角C ；
（Ⅱ）由2sin c C =，并结合正弦定理可得到()1sin sin sin 2a b c A B C ++=++，利用2π3C =，3
A B π+=
，可得到πsin sin sin sin sin sin 3232A B C A A A π⎛⎫⎛⎫++=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，进而可求出周长的范围． 【详解】
解：（Ⅰ）由1sin 2
S abc ab C ==可知2sin c C =， ∴222sin sin sin sin sin A B A B C ++=.由正弦定理得222a b ab c ++=. 由余弦定理得2221cos 22
a b c C ab +-==-，∴2π3C =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2sin c C =，∴2sin a A =，2sin b B =.
ABC ∆的周长为()1sin sin sin 2a b c A B C ++=
++
1sin sin 234A A π⎡⎤⎛⎫=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
11sin sin 22A A A ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭
11sin cos 2224A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭
1πsin 23A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
∵π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ2π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴πsin 3A ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦,
∴ABC ∆的周长的取值范围为⎝⎦. 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形的面积公式，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题．
22、（1）23A π=
；（2）3【解析】
（1）根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得tan A ，进而求得A 的值；
（2）根据正弦定理将边化为角，结合（1）中A 的值，即可将表达式化为B 的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助角公式化简，即可求得B 和C ，进而由正弦定理确定::a b c ，代入整式即可求解.
【详解】
（1）因为3
S AB CA =⋅， 所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得
()sin cos cos A bc A bc A π=-=-，
所以tan A =因为0A π<<，
所以23
A π=.
（2)2b c a +=，
)sin sin 2sin B C A +==，
由（1）23A π=2sin sin 3B B π⎤⎛⎫++= ⎪⎥⎝⎭⎦
1sin 2B B ⎫=⎪⎪⎭
根据辅助角公式化简可得sin 13B π⎛⎫+
= ⎪⎝⎭. 因为03B π
<<，所以6B π
=，所以6C π
=，
所以ABC ∆为等腰三角形，且::sin :sin :sin a b c A B C ==，
所以22233a b c bc ac ab ++==+【点睛】
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角公式的简单应用，属于基础题.。