1、向量概念和性质(预习)

平面向量
一、本章知识网络
1、向量的基本概念和性质。

2、向量的运算及其性质：几何运算、纯代数运算、算术（坐标）运算。

3、特殊位置关系：平行、垂直、夹角。

二、本节知识要点
1、向量的基本概念（理解记忆）：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，向量一般用c b a
,,……来表
示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB。

（2）向量的表示：
几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+=。

（3）向量的模长：向量的大小即向量的模（长度），记作|AB
|，即向量的大小，记作｜a
｜。

**向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

2、几种特殊的向量
（1）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0
与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a
｜＝0。

由于0 的方向是任意的，且规定0 平行
于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）
（2）相反向量：与a 方向相反，大小相同的向量，记为a -。

（3）单位向量：模为1个单位长度的向量。

向量0a 为单位向量⇔｜0a
｜＝1。

**有无数个单位向量。

（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向
量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量。

记作
a ∥b。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移
到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以
重合，记为b a
=，大小相等，方向相同，),(),(2211y x y x =⎩⎨
⎧==⇔21
21y y x x 。

3、向量的几何运算
（1）加法和平行四边形法则、三角形法则。

（2）减法：用相反向量换成加法解决。

（3）数乘：
实数λ与向量a
的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a
⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa
的方向与a
的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a
的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。

（4）几何运算的运算性质。

三、能力目标
1、深刻体会向量与实数的本质区别。

2、几何运算与平移、伸缩的关系。

四、例题
例1如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC
=b ，试用a
，b 将向量OE ，BF ，BD ， FD 表示出来。

例2设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①AB BC CD ++ ，②DB AC BD ++ ③OA OC OB CO --+-
例3给出下列3个向量等式，其中正确的个数为（ ）
（1）0AB CA BC ++= （2）0AB AC BC --=
（3）0AC AB BC --=
(.A ) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
例4若向量a
与 b 互为相反向量，则下列等式中成立的是（ ）
(A)a b a b -=-
(B)a b a b +=+
(C) a b a b -=+ (D)a b a b +=-
例5给出下列命题：
① 若|a |＝|b |，则a =b ；
② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =
是四边形ABCD 为平行
四边形的充要条件；
③ 若a =b ，b =c ，则a =c
，
④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ；
⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c
，
其中正确的序号是 。

例6如图：已知在平行四边形ABCD 中，AH =HD ，BF =MC =
4
1BC ，设
AB =a ，AD =b ，试用a
、b 分别表示AM 、M H 、AF 。

例7设x 为未知向量，a
、b 为已知向量， 解向量方程2x -(5a +3x -4b )+2
1 a
-3b =0。

1、已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12
(π
，则ϕ可以是（ ）
A ．6
π
-
B ．
6
π
C ．12
π
-
D ．
12
π
2、函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是 （A ）
4
π
（B ）
2
π
（C ）π（D ）2π
3、已知函数tan y x ω=在(,)22
ππ
-
内是减函数，则（ ）
（A ）０＜ω≤１（B ）－１≤ω＜０（C ）ω≥１（D ）ω≤－１ 4、函数2
sin x y =的最小正周期是（ ）
A ．
2
π
B ． π
C ．π2
D ．π4
5、函数x x y cos 3sin +
=在区间⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2,0π上的最小值为
6、已知α为第二象限的角，
3sin 5
α=，β为第一象限的角，
5cos 13
β=．求
t a n (2)αβ-的值．
7、已知α为锐角，且2
1tan =α，求α
αααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.
8、已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,5
3)sin(=
-=+B A B A
求证：B A tan 2tan =。

9、若函数)2
cos(2
sin
)
2
sin(
42cos 1)(x x a x x x f -
-++=
ππ
的最大值为2，试确
定常数a 的值.。