课时作业12：2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)

2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)
一、选择题
1.已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24
＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
2.平面内一动点M 到两定点F 1、F 2的距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为( )
A.椭圆
B.圆
C.无轨迹
D.椭圆或线段或无轨迹
3.当α∈(0，π2)时，方程x 2sin α＋y 2
cos α
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是( ) A.(0，π4
] B.(π4，π2) C.(0，π4) D.[π4，π2
) 4.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23
＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )
A.2
B.3
C.6
D.8
5.“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2
m ＋3
＝1表示椭圆”的( ) A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.52 B.33
C.12
D.13
7.直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A.(13，－23
) B.(－23，13) C.(12，－13
) D.(－13，12
) 二、填空题 8.已知F 1为椭圆C ：x 22
＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________.
9.已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29
＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点.若|AF 2|＋|BF 2|＝12，则|AB |＝________.
10.如果方程x 2a 2＋y 2
a ＋6
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________________.
三、解答题
11.在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .
(1)写出C 的方程；
(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB |的值是多少？
12.设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22
＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点. (1)求实数b 的取值范围；
(2)当b ＝1时，求|AB →|.
x2 a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的弦，求这些弦中的最大弦长.
13.如图，过点B(0，－b)作椭圆
答案精析
1.C [把x ＋y －3＝0代入x 24
＋y 2＝1， 得x 24
＋(3－x )2＝1， 即5x 2－24x ＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离.]
2.D [当2a >|F 1F 2|时，点M 的轨迹是椭圆，
当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段，
当2a <|F 1F 2|时，无轨迹.]
3.B
4.C [由题意得，F (－1,0)，
设点P (x 0，y 0)，
则y 20＝3(1－x 204
)(－2≤x 0≤2)， 因为OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋1，y 0)
所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20
＝x 20＋x 0＋y 20
＝x 20＋x 0＋3(1－x 204)＝14
(x 0＋2)2＋2， 所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.]
5.B [若方程x 25－m ＋y 2
m ＋3
＝1表示椭圆， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 5－m >0，m ＋3>0，
5－m ≠m ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m <5，m >－3，m ≠1，
即－3<m <5且m ≠1.
所以“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2
m ＋3
＝1表示椭圆”的必要而不充分条件，故选B.] 6.B [由题意得，点P 的坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2a
)， 因为∠F 1PF 2＝60°，所以2c b
2a ＝3，
即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)， 所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33
或e ＝－3(舍去).] 7.B [将直线y ＝x ＋1代入椭圆x 2＋2y 2＝4中，得x 2＋2(x ＋1)2＝4，
∴3x 2＋4x －2＝0，
∴弦的中点的横坐标是x ＝12×(－43)＝－23
， 代入直线方程y ＝x ＋1中，得y ＝13
， ∴弦的中点坐标是(－23，13
).故选B.] 8.823
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得：3x 2－4x ＝0， 可知：A (0，－1)，B (43，13
)， 又F 1(－1,0)，
∴|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823
. 9.8
解析 由题意知，(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5， 可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，
即|AB |＝8.
10.(－6，－2)∪(3，＋∞)
11.解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，
点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆.它的短半轴长b ＝22－(3)2＝1，
故曲线C 的方程为x 2＋y 2
4
＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，
消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，
故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.
∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.
∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，
于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2
k 2＋4
＋1 ＝－4k 2＋1k 2＋4
. 又x 1x 2＋y 1y 2＝0，
∴k ＝±12
. 当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417
， x 1x 2＝－1217
. |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2，
而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2
＝42172＋4×1217＝43×13172
， ∴|AB |＝ 54×43×13172＝46517
. 12.解 (1)将y ＝x ＋b 代入x 22
＋y 2＝1，消去y ， 整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.① 因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22
＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点， 所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0，
解得－3<b < 3. 所以b 的取值范围是(－3，3).
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.
解得x 1＝0，x 2＝－43
. 相应地，y 1＝1，y 2＝－13
. 所以|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝43
2. 1
3.解 设M (x ，y )是椭圆上任意一点，|BM |2＝x 2＋(y ＋b )2＝x 2＋y 2＋2by ＋b 2，① 由x 2a 2＋y 2b 2＝1，有x 2＝a 2b
2(b 2－y 2).②
将②代入①式，整理得
|BM |2＝(1－a 2b 2
)y 2＋2by ＋(a 2＋b 2) ＝(1－a 2b 2)·(y －b 3c 2)2＋a 4
c 2. ∵－b ≤y ≤b ，
(1)当b ≤c (即b ≤22a )时，b 3
c
2≤b ， ∴当y ＝b 3c 2时，|BM |的最大值为a 2
c
； (2)当b >c (即b >22a )时，b 3
c
2>b ， ∴当y ＝b 时，点M 为(0，b )，
即y 轴上方顶点位置，
|BM |2的最大值为(1－a 2b 2)·(b －b 3c 2)2＋a 4
c
2＝4b 2， ∴|BM |的最大值为2b .
∴综上所述，当b ≤c (即b ≤22a )时，这些弦中的最大弦长为a 2c ；当b >c (即b >22
a )时，这些弦中的最大弦长为2
b .。