2.4双曲线的简单几何性质(第二课时)

b y b
x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
c e a
(0 e 1)
c e a
(e 1)
无
| MF | c 即 d a
( x c) y
2
2
a2 x c 点M的轨迹也包括双
c a
M
yl
O
M F x
曲线的左支 a ( x c )2 y 2 | a 2 cx | .
a 2 ( x 2 2cx c 2 y 2 ) a4 2a 2cx c 2 x 2
b y x a
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
2 2
y
y
F2
F1
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y 1 (a b 0) a b
2 2
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
化简得 (c2－a2)x2－ a2y2=a2 (c2 － a2) 就可化为: b2x2－a2y2=a2b2 即
设c2－a2 =b2， (a>0,b>0)
x2 y2 2 1 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线 的准线，常数e是双曲线的离心率. y x2 y2 对于双曲线 2 2 1 类似于椭圆 l′ l a b 2 a 是相应于右焦点F(c, 0)的 x
归纳总结 1. 双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线 的准线，常数e是双曲线的离心率。
2. 双曲线的准线方程
对于双曲线
x2 y2 a2 2 1 , 准线为 x 2 a b c2 a y2 x2 y 准线为 1 c a 2 b2
2 2 例 . 已知双曲线方程为 3x -y =3, －－韦达定理与点差法
求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹； (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在 的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？ 说明理由；
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
2.双曲线的两条渐进线方程为x 2 y 0 ，且截直线x y 3 0
8 3 所得弦长为 ，则该双曲线的方程为（ D ） 3 2 2 2 x2 y y x 2 2 1 (C) x 2 1 (D) y 2 1 (A) y 1 (B) x 2 4 2 4
分析:求弦长问题有两种方法: 法一 :如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
练习:
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 1.过双曲线 4 9 16
的直线与双曲线
192 交于 A、B 两点，则|AB|= 7 .
2 2
2
2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ； (5)与左支交于两点.
5 k 1 2
x y 1只有 一个 1.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______ 条. （ 1， 1）
。
2
2
x2 y 2 x2 y 2 与 2 2 1共渐近线的双曲线系方程为 2 2 ( 0，为参数)， a b a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、“共焦点”的双曲线
x2 y 2 （1）与椭圆 a 2 b2 1(a b 0)有共同焦点的双曲线方程表
示为
x2 y2 2 2 1( b a ). 2 2 a b
x2 y 2 （2）与双曲线 2 2 1(a 0, b 0)有共同焦点的双曲线方 a b 2 2 x y 程表示为 2 2
a
2

b
2
1(b a )
复习练习：
x2 y 2 1、求与椭圆 1有公共焦点，且离心率 49 24 5 e 的双曲线方程。 4
x a 或 x a，y R
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，-a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
1、“共渐近线”的双曲线
对于双曲线
注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.
二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）
相切
相交
∆<0
∆=0
∆>0
1) 位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点个数
M
c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x c 的左准线
F′
2
o
x
F
点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.
2 a a x x c c
相应于上焦点 F(c, 0)的是上准线 点，焦点在 y轴上 的双曲线的准线 a2 y 方程是怎样的？
c
想一想：中心在原
y F o
a2 y c x
作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
| MF2 | 5 | MN | 4
4 | MF2 || MN | 5
o
x
F2
4 | MA | | MF2 || MA | | MN | | AA1 | 5 当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号, 4 13 29 4 13 令y=2, 解得: x 最小值是 . 即 M , 2 , 3 5 2
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′ 0
y
13 C 12 A x
B′
25
B
一、第二定义
引例：点 M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 2 c a x 的距离比是常数 (c>a>0)，求点M的轨迹.
c
a
解： 设点M(x,y)到l的距离为d，则
17 2a 所以 x 2 . 2 12 1 a 2 5 2 2a x2 . 2 12 1 a 2 2a 289 消去, x 2 , 得 2 60 1 a 17 由a 0, 所以a 13
2
x y 1上的一点P与左、右 4、由双曲线 9 4 两焦点 F1、F2构成 PF 1F 2 ，求 PF 1F 2 的内切圆与
5.设而不求(韦达定理、点差法)
拓展延伸
x2 y2 1.已知P为双曲线 1右支上的一点,F1 , F2 16 9 分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点 P( x0 , y0 )的坐标。
2 y 2.已知双曲线x 2 1左、右焦点分别为F1 , F2， 3 双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
第二课时
图形
A1
.
2 2
y
B2 O
F1
.
F2
A2
x
. .
B2
y
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
方程 范围
F1(-c,0)
2
F1
A1 A2
O
F2
B1
2
x F2(c,0)
x y 1 (a b 0) a b
2 2
x y 1 (a 0,b 0 ) a b
2 2
a xa
边F 1 F2 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形，其中 | PF | PF2 |和 | F1F2 | 1 |、 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。
2
2
x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为 2. 求与椭圆 16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
x y 3、求以椭圆 1 的焦点为顶点，以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。
2 2
例题讲解
例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的 最小半径为12m直线斜率的 3.过原点与双曲线 4 3 3 3 取值范围是 ， ， 2 2
三、弦长问题
x2 y 2 1 的右焦点 F2 , 例4、如图，过双曲线 3 6 倾斜角为 30 的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
变题:将点P(1,1)改为
O
X
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点 ， 0 1， (异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是 _________
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交（两个交点） 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离
注:
①相交两点: △＞0 同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行 △=0
d,PF1 , PF2成等比数列，试求点P( x0 , y0 )的坐标.
x2 2 y 1(a 0) 3、设双曲线C： 2 与直线 l : x y 1 a 相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
5 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA PB, 求a的值。 12
△＜0
②相切一点:
③相 离:
特别注意直线与双曲线的 位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
且k 1 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ；
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y c
a2 y c
F′
例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离 16 x 和它到定直线 l ： 的距离的比是常 5 5 数 , 求点M的轨迹.
4
y
l
d
0
x2 y2 例3、已知双曲线 16 9 1, F1、F2是它的左、右焦点. 4 设点A(9,2), 在曲线上求点M，使 | MA | | MF2 | y5 的值最小,并求这个最小值. 5 解： 由已知： a=4, b=3, c=5, e M 4 16 N 双曲线的右准线为l: x A 5 A1