浙江省宁波市高三数学上学期期末试卷 理 新人教A版

宁波市2013学年第一学期期末考试
高三数学（理科）试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
第Ⅰ卷（选择题部分 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
（1）已知复数122,1z i z i =-=+，则12z z g 在复平面内对应的点位于
（A ）第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限 （D ）第四象限
（2）正三棱柱111ABC A B C -
中，12,AB AA ==C —
1ABC 的体积为 （A ）1 （B ）3 （C
（D
（3）已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1,f = 则(2)f -=
（A ）2
（B ）3
（C ）4 （D ）5
（4
）关于函数2()2sin cos f x x x x =-，下列结论中不正确．．．
的是 （A ）()f x 在区间(0,
)4
π
上单调递增 （B ）()f x
的一个对称中心为(,6π
（C ）()f x 的最小正周期为π （D ）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,()f x
的值域为⎡⎤-⎣⎦
（5）已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示，则该几何体的体积为
（A ）93cm （B)103cm （C ）113cm
（D ）
23
2
3cm （6）已知,,l m n 为互不重合的三条直线，平面α⊥平面β ，
l αβ=
I ，,m n α
β⊂
⊂，那么m n ⊥是m β⊥的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7）下列四个图中，哪个可能是函数10ln 1
x y x +=的图象
（A ） （B ） （C ） （D ） （8）已知b a ,
都是正实数，且满足ab b a 2
4log )2(log =+，则2a b +的最小值为
（A ）12
（B) 10
（C ）8
（D ）6
（9）点(,)P x y 为不等式组2211010x y x y x y ⎧+≤⎪
--≤⎨⎪++≥⎩
表示的平面区域上一点，则2x y +取值范围为
（A ）⎡⎣ （B ）⎡-⎣ （C ）[]1,2-
（D ）[]2,2-
（10）已知双曲线22
221(0)x y b a a b
-=>>的两条渐近线为12,l l ，过右焦点F 作垂直1l 的直
线交12,l l 于,A B 两点.若,,OA AB OB 成等差数列，则双曲线的离心率为
（A （B
（C （D 1
1
1 正视图
侧视图
俯视图
(第5题)
（第14题）
第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)
二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．
（11）已知{
}
{}
3,ln(2
)x
A y y
B x y x ====-，则A B =I ▲ ．
（12）直线03=+-y ax 与圆4)2()1(2
2
=-+-y x 相交于A 、B 两点，且AB =,
则=a ▲ ．
（13）在54
(1)(12)x x -+g
的展开式中，2x 项的系数为 ▲ ． （14）执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是 ▲ ． （15）ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 若
11tan tan tan m C A B =+
，且2cos ab C =则m 的值为 ▲ ．
（16）已知数列{}{},n n a b 满足112,1a b ==，
111131144
13144
n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨
⎪=++⎪⎩*(2,)n n N ≥∈ 则3344()()a b a b +•-的值为 ▲ （17）已知O 为ABC ∆的外心，
4,2,120AB AC BAC ==∠=o .
若12AO AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r
, 则12λλ+= ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （18）（本题满分14分）已知甲箱装有a 个白球2个黑球，乙箱装有2个白球1个黑球，这
些球除颜色外完全相同. 现从甲箱中随机摸两球，乙箱中随机模一球，若恰好摸出三个黑球的概率为
1
18
. (Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)记甲箱摸出x 个黑球,乙箱摸出y 个黑球,x y ξ=-. 求ξ的分布列及E ξ的值.
（19）（本题满分14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且
112,3a b ==，3556a b +=，5326a b +=．（Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若2
2321
n b x x n -+≤+对任意*
n N ∈恒成立，求实数x 的取值范围.
(20) (本题满分15分) ）如图，在四棱锥P ABCD -中, E 为AD 上一点，
PE ⊥平面ABCD .//AD BC ,AD CD ⊥，22BC ED AE ===，3EB =, F 为PC 上一点，且2CF FP =．
(Ⅰ) 求证://PA BEF 平面； （Ⅱ）若二面角F BE C --为60o
，
求tan APD ∠的值.
（21）（本题满分15分）已知曲线1C ：22144x y λ+=，曲线2C ：22
2
1(01)44x y λλλ+=<<.
曲线2C 的左顶点恰为曲线1C 的左焦点. (Ⅰ)求λ的值；
(Ⅱ)设00(,)P x y 为曲线2C 上一点，过点P 作 直线交曲线1C 于,A C 两点. 直线OP 交 曲线1C 于,B D 两点. 若P 为AC 中点， ① 求证：直线AC 的方程为 002x x y y +=② 求四边形ABCD 的面积.
（22）（本题满分14分）设函数2()(2)x f x x e =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）是否存在[],()a b a b <，使得()f x 在该区间上的值域为44[,]e a e b ？若存在，求
出,a b 的值；若不存在，说明理由.
宁波市2013学年第一学期期末试卷
高三数学（理科）参考答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1） A （2） A （3）D （4） D （5） C （6） B （7） C （8）C （9） B （10）B
二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． （11）(0,2) （12）0 （13）6- （14）7 （15）2 （16）
7
8 （17）136
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18）（本小题满分14分） 解: （Ⅰ）
2
12
3
11
18
a C
C
+=
2a ∴= 5分
（Ⅱ）212221
431
(2)9
C C P C C ξ=== 7分
2111222221
431
(0)3
C C C C P C C ξ+=== 9分
5
(1)1(0)(2)9
P P P ξξξ==-=-== 11分 79
E ξ=
14分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意，411211
256426a d b q a d b q ⎧++⋅=⎨++⋅=⎩，
2分
代入得42
2235624326
d q d q ⎧++⋅=⎨++⋅=⎩，消d 得42
2280q q --=， 22(27)(4)0q q +-=，Q {}n b 是各项都为正数的等比数列，2q ∴=
进而3d =，1
31,32n n n a n b -∴=-=⋅
6分
（Ⅱ）记13221n n c n -⋅=+ 1
121320(21)(23)
n n n n c c n n -+--=⋅⋅
>++ 10分
n c 最小值为11c =，
12分
232x x -+≤， 2,x ≥或1x ≤
14分
（20）（本小题满分15分）
(Ⅰ) 证明：连接AC 交BE 于点M ，
连接FM .由//EM CD
12AM AE PF
MC ED FC ∴
===
//FM AP
FM BEF PA BEF ⊂⊄面，面
//PA BEF ∴面
6分
（Ⅱ）连CE ,过F 作FH CE ⊥于H .由于//FH PE ,故FH ABCD ⊥面.
过H 作HM BE ⊥于M ,连FM .则FM BE ⊥,即FMH ∠为二面角
F BE C --的平面角
. 60,FMH FH ∴∠==o 10分 23FH PE =
,12
33
MH BC AE ==
PE ∴=
12分
tan tan tan APE DPE APD ∠=
∠=∠= 15分
解法二：以E 为坐标原点，,,EB ED EP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. (0,0,0),(3,0,0),(0,0,),(3,2,0)E B P m C
2CF FP =u u u r u u u r ， 22
(1,,)33F m ∴
8分
设平面BEF 的法向量1(,,)n x y z =u r
，由
n EB n EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r
g r u u u
r g 得1n =u r (0,,1)m - 面ABCD 法向量为2(0,0,1)n =u u r
.
10分 由于1212
cos 60n n n n ⋅=⋅o
u r u u r u r u u r ，
解得m =
12分
tan tan tan APE DPE APD ∠=
∠=∠= 15分
（21）（本题满分15分）
=
1
2
λ=
5分 （Ⅱ）①
可得0000),(,)B D
7分
由2212
OP AC
b k k a ⋅=-=-
0000
:()()2x AC y y k x x x x y -=-=-
- 即0022x x y y +=
000,y x ==
:AC l x =0022x x y y += 9分 ② 解法一：联立方程000221224x y x y y x y ⎧=-+⎪
⎨
⎪+=⎩
2200222000
22(1)402x x x x y y y +-+-= 即22
0024480x x x y -+-=
11分
A C AC x =-
=
=,B D 到AC
距离12d d =
=
13分
121
()2
S AC d d =
⋅+=4
14分 当00y =时ABCD 面积也为4
15分
② 解法二：
联立方程000221224x y x y y x y ⎧=-+⎪
⎨
⎪+=⎩
2200222000
22(1)402x x x x y y y +-+-= 即22
0024480x x x y -+-=
11分
A C AC x =-
=
=， O 到AC
距离d =
4ABCD AOC S ∆==
14分 当00y =时ABCD 面积也为4
15分
②
解法三：000000(,),),(,)P x y B D
BD =11(,)A x y ，00:0BD l y x x y -=
A 到BD
的距离为d =
， 11分
又2222
010*******,22,24x x y y x y x y +=+=+=，
222222222222
001101100101
222
0101010101018(2)(2)224(2)2()42()
x y x y x x y x y x y y x x y y x y y x x y y x =++=+++=++-=+-
则0101y x x y -分 又P 为AC 中点，
则1242S d BD =⋅
⋅⋅==. 15分
（22）（本小题满分14分）
（Ⅰ）'()(2)x
f x x x e =-
()f x 在(,0),(2,)-∞+∞上单调递增，(0,2)上单调递减. (0)4,(2)0y f y f ====极大极小
6分 （Ⅱ）()0f x ≥Q ,0a ∴≥
8分
若0a = 则2b ≥,故有2
4
(2)b
b e e b -=
构造2(2)()(2)b
b g b e b b -=> ,2224(2)'()0b b b g b e b b ⎡⎤--=+>⎢⎥⎣⎦
4b =为唯一解.
10分
若0a >,则[]2,a b ∉即2b a >>或02a b <<<
①2b a >>时 2424
()(2)()(2)a b f a a e e a
f b b e e b ⎧=-=⎨=-=⎩
前面已证至多一解,不存 在满足条件的,a b ;
12分
②02a b <<<时,2424
(2)(2)a b a e e b b e e a
⎧-=⎨-=⎩,相除得22(2)(2)a b
a a e
b b e -=- 记 2
()(2)(02)x
h x x x e x =-<<,
则 3
2
2
'()(44)(4)(1)x
x
h x x x x e x x e =--+=--，
()h x 在(0,1)递增,(1,2)递减,由()()h a h b =01,12a b ∴<<<<
此时2
4
(2)4a
a e e e
b -<< 矛盾. 综上所述,满足条件的,a b 为0,4a b ==
14分。