集合中元素个数的最值问题
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S→ n
( 1 ≤a < 2 r ) 时 ,1 ≤v < 2 r - a . 于是 ,2 r < u +
v <2
r+1
, u + v 不能是 2 的方幂 .
所以 , 子集 Y 中任何两数之和都不是 2 的方幂 . 故所求的最小正整数 m ≥ 999. 将 X 划分成 999 个互不相交的子集 : A i = {1 024 - i ,1 024 + i } ( i = 1 ,2 , …,
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中 等 数 学
故 S = K1 ∪K2 ∪K3 ∪ {7} 为满足要求的 最大集合 , S 中元素的最大值为 8 + 7 + 7 + 1 = 23. 例2 设 X = {1 ,2 , …,2 001}. 求最小正 整数 m ,适合要求 : 对 X 的任何一个 m 元子 集 W ,都存在 u 、 v ∈W ( u 和 v 可以相同 ) , 使 得 u + v 是 2 的方幂 . ( 2001 ,中国数学奥林匹克) 讲解 : 当 u 、 v 分别为 2 + a ,2 - a 时 , r r+1 u + v =2 × 2 = 2 是 2 的方幂 ,由此将 X 划 分成以下 5 个子集 : 10 10 2 001 = 2 + 977 ≥x ≥ 2 - 977 = 47 ,
A 1 A n ,共 n - 1 条 ,而以 A 2 , A 3 , …, A n 为端点的弦都 n ( n - 1)
小值 , 则必有某一块含 b 位于与 a 相邻的左侧且严 格大于 a ,又等于与之相邻的 4 块的平均值 , 每块都 不小于 a ,有一块大于 a . 矛盾 . )
4. 有若干个人的全体记为 S . 任何两人如果在
友 A 1 , A 2 , …, A n . 则 A 1 , A 2 , …, A n 在 S 中的朋友个 数均不超过 n ,且没有两人的朋友数目相同 . 所以 ,他 们的朋友数分别为 1 ,2 , …, n . )
n ( n - 1)
399 . 所以 ,当 n = 10 或 11 时 , y 取到最小值 100. ) 4
2007 年第 8 期
5
集合中元素个数的最值问题
傅钦志
( 浙江省衢州中专 ,324000)
( 本讲适合高中) 求集合中元素个数的最大 ( 小) 值问题的 方法通常有 : 类分法 、 构造法 、 反证法 、 一般问 题特殊化 、 特殊问题一般化等 . 需要注意的 是 ,有时一道题需要综合运用几种方法才能 解决 . 下面举例说明这类问题的解法 .
(i ≠ j) .
当 a ∈A 1 时 ,15 a ∈ A ; 当 a ∈A 2 时 , a 与 15 a 这两个数中至少有一个不属于 A ; 当 a ∈A 3 时 ,15 a ∈ A 1 . 故令 A = A 1 ∪A 3 , 则 A 是满足要求的子集 ,且 | A | = | A 1 | + | A 2 | = 1 862 + 8 = 1 870. 例 4 设 n ( n ≥2 ) 是 整 数 . S 是 集 合 {1 ,2 , …, n }的子集 , S 中没有一个数整除另 一个数 , 也没有两个互质的数 . 求 S 的元素 个数的最大值 . ( 2005 ,巴尔干地区数学奥林匹克) 讲解 : 构造映射 f :
2 恰当构造
x = 1.
令 Y = {2 001 ,2 000 , …,1 025} ∪ {46 ,45 , …,33} ∪ {17} ∪ {14 ,13 , …,9}. 于是 ,| Y| = 998 ,且对任何 u 、 v ∈Y , u + v 都不是 2 的方幂 . 证明如下 : 当 u 、 v ∈Y 时 , 不妨设 u ≥v
y=
友 . 证明 : S 中有一个人恰好在 S 中只有一个朋友
( 假设 S 中确实有人是朋友) . (提示 : 考虑朋友最多的那个人 , 设他有 n 个朋
(21 - n) (21 - n - 1) 条 . 综上 ,总共有弦至少为 2 2 + (21 - n) (21 - n - 1) 21 2 ) + = (n2 2
r r r+1 且有 2 < u ≤ 2 + a <2 ,其中 ,当 r 分别取 值 10 ,5 ,4 ,3 时 ,相应的 a 值依次为 977 ,14 ,1 ,6. (1) 若 2 r < v ≤u , 则 2 r + 1 < u + v < 2 r + 2 , u + v 不能是 2 的方幂 . (2) 若 1 ≤v < 2 r , 则 当 2 r < u ≤2 r + a
977) ,
B j = {32 - j ,32 + j} ( j = 1 ,2 , …,14) , C = {15 ,17} , Dk = {8 - k ,8 + k } ( k = 1 ,2 , …,6) ,
2
+1 ,
n
2
+ 2 , …, n ,
2007 年第 8 期
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k
f 把 x ∈S 变成 2 x ∈
t 1 < t 2 < …< t n + 1 < t n + 2 < …< t m < t m + 1 ,
的元素满足 “没有一个数整除另一个数” 这一 条件 . 易知这是一个单射 , 这是因为若存在非 k k 负整数 k1 、 k2 ,使得 2 1 x = 2 2 y ,不妨设 k1 <
k2 ,则 y | x ,矛盾 .
5. 在圆周上任取 21 个点 . 证明 : 以这些点为端
C ( 否则 , A 的败将也都是 C 的败将 , 从而 , C 赢的局
数超过了 A ) . 于是 ,所述的 A 、 B、 C 即为所求 . )
3. 考虑一个无限大的棋盘 , 棋盘的每个方格内
点的所有弧中 ,不超过 120° 的弧不少于 100 条 .
例1 设 S 为集合 {1 ,2 , …,50} 具有下 列性质的子集 : S 中任意两个不同元素之和 不能被 7 整除 . 那么 , S 中最多可能有几个元 素? ( 第 43 届美国中学生数学竞赛) 讲解 : 对于两个不同的自然数 a 、 b ,如果 78 ( a + b) , 那么 , 它们被 7 除所得的余数和 不为 0. 因而 ,可将集合{1 ,2 , …,50}按被 7 除
0 < b1 < b2 < …< bn + 1 ,
则有
M ∈A ( k = 1 ,2 , …, n + 1 ) , 其中 , M = bk M M M < < …< , bn + 1 bn b1
2 因此 ,| S | ≤
+1 2 =
n +2
பைடு நூலகம்
4
.
n
b1 b2 …bn + 1 , 且满足 0 <
另外 ,当 S = { k | k 是偶数 , k > 满足题设要求 . 故| S | 的最大值为
(提示 : 在所有的点中 ,不妨设以 A 1 为端点的弦
有一个正整数 . 若方格中的每个数是其上下左右 4 个数的平均值 ,证明 : 所有的数都相等 .
(提示 : 若这些正整数不相等 , 设 a 为其中的最
最少 , 且 记 以 A 1 为 端 点 的 弦 为 A 1 A 2 , A 1 A 3 , …,
3 假设推理
n +2
2
}时 , S
4
.
例5 已知 A 、 B 是由不同的正实数组 成的有限集 , n ( n > 1) 是一个给定的正整数 , A、 B 中均至少有 n 个元素 . 若 A 中任意 n 个 不同实数的和属于 B , B 中任意 n 个不同实 数的积属于 A ,求 A 、 B 中所有元素个数的最 大值 . (第 52 届白俄罗斯数学奥林匹克 ( 决赛 B 类) ) 讲解 : 假设集合 A 中包含 m 个元素 , 设 为 a1 , a2 , …, am ,且满足 0 < a1 < a2 < …< am ( m > n) . 设 S = a1 + a2 + …+ an + 1 , P = ( S - a1 ) ( S - a2 ) …( S - a n + 1 ) . 则 S - ak ∈B ( k = 1 ,2 , …, n + 1) . 再设 t i =
n
2
, n ( 其中 , k 是非
n
tm + 1 =
P ( S - a1 - a n + a m ) . ( S - an ) ( S - an + 1 )
负整数 ) , 集合
n
2
+1,
2
+ 2 , …, n 中
则 t i ( i = 1 ,2 , …, m + 1 ) 均为 B 中的 n 个不同元素的积 . 于是 , t i ∈A ( i = 1 ,2 , …, m + 1) ,且满足
例3 设 M = {1 ,2 , …,1 995} , A 是 M 的 子集且满足条件 : 当 x ∈A 时 ,15 x ∈ A . 则 A 中元素的个数最多是 . ( 1995 ,全国高中数学联赛) 讲解 : 构造子集 A 如下 : 注意到 1 995 ÷ 15 = 133 ,记 A 1 = {134 ,135 , …,1 995} , 则 | A 1 | = 1 862. 又 133 = 15 × 8 + 13 ,记 A 2 = {9 ,10 , …,133} , 则 | A 2 | = 125. 记 A 3 = {1 ,2 , …,8} ,则| A 3 | = 8. 故 M = A1 ∪ A2 ∪ A3 , Ai ∩ Aj =
S 中的朋友个数相同 , 则他们在 S 中没有共同的朋
不少于 n - 1 条 . 故这 n 个点至少有弦
2
条. 在
其余的 21 - n 个点中任取 2 个点 A i 、 A j ( i ≠j , i 、 j=
n + 1 , n + 2 , …,21) . 在这个三点组中一定有一条弦 .
根据 A 1 的取法 , 这条弦不会是 A 1 A i 、 A 1 A j , 而只能 是 A iA j . 所以 , 在这 21 - n 个点任意两点之间连有 弦 ,共
5 5 46 = 2 + 14 ≥x ≥ 2 - 14 = 18 , 4 4 17 = 2 + 1 ≥x ≥ 2 - 1 = 15 , 3 3 14 = 2 + 6 ≥x ≥ 2 - 6 =2,
r r
E = {1 ,8 ,16 ,32 ,1 024}.
对于 X 的任何一个 999 元子集 W , 若 W ∩E ≠ ,则从其中任取一个元素的 2 倍 都是 2 的方幂 ; 若 W ∩E = ,则 W 中的 999 个元素分属于前面的 998 个 2 元子集 . 由抽 屉原理知 , W 中必有不同的 u 、 v , 属于其中 同一个子集 . 显然 , u + v 为 2 的方幂 . 综上 ,所求的最小正整数 m = 999. 评注 : 该解法将集合 X 两次划分 , 第一 次把 X 划分为 5 个子集 , 构造了一个不满足 题中要求且又含元素最多的集合 Y ; 第二次 将集合划分为 999 个子集 ,再应用抽屉原理 .
1 合理划分
所得的余数划分为 7 个子集 . 其中 , Ki 中的 每个元素除以 7 的余数为 i ( i = 1 ,2 , …,6 , 0) ,则 K1 = {1 ,8 ,15 ,22 ,29 ,36 ,43 ,50} ,
K2 = {2 ,9 ,16 ,23 ,30 ,37 ,44} , K3 = {3 ,10 ,17 ,24 ,31 ,38 ,45} , K4 = {4 ,11 ,18 ,25 ,32 ,39 ,46} , K5 = {5 ,12 ,19 ,26 ,33 ,40 ,47} , K6 = {6 ,13 ,20 ,27 ,34 ,41 ,48} , K0 = {7 ,14 ,21 ,28 ,35 ,42 ,49}.
又对于 x 、 y ∈S ,则 ( x , y ) > 1. 而 ( x , y ) | ( f ( x ) , f ( y ) ) ,则 ( f ( x ) , f ( y ) ) > 1. 从而 , f ( S ) 中不含有两个连续的整数 .
n
与 A 中有 m 个元素矛盾 . 所以 , A 中最多有 n 个元素 . 从而 ,可知 A 中有 n 个元素 . 若 b1 , b2 , …, bn + 1 ∈B ,且满足
收稿日期 :2007 - 03 - 27
由题意得 ( 1) S 含 Ki ( i = 1 ,2 , …,6 ) 的一个元素 , 则可以含有这个集合的所有元素 , 但不能同 时含 K7 - i 的元素 ;
( 2) S 最多含有 K0 的一个元素 ; ( 3) 最大的子集 S 必含 K1 的所有元素 .
( 1 ≤a < 2 r ) 时 ,1 ≤v < 2 r - a . 于是 ,2 r < u +
v <2
r+1
, u + v 不能是 2 的方幂 .
所以 , 子集 Y 中任何两数之和都不是 2 的方幂 . 故所求的最小正整数 m ≥ 999. 将 X 划分成 999 个互不相交的子集 : A i = {1 024 - i ,1 024 + i } ( i = 1 ,2 , …,
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中 等 数 学
故 S = K1 ∪K2 ∪K3 ∪ {7} 为满足要求的 最大集合 , S 中元素的最大值为 8 + 7 + 7 + 1 = 23. 例2 设 X = {1 ,2 , …,2 001}. 求最小正 整数 m ,适合要求 : 对 X 的任何一个 m 元子 集 W ,都存在 u 、 v ∈W ( u 和 v 可以相同 ) , 使 得 u + v 是 2 的方幂 . ( 2001 ,中国数学奥林匹克) 讲解 : 当 u 、 v 分别为 2 + a ,2 - a 时 , r r+1 u + v =2 × 2 = 2 是 2 的方幂 ,由此将 X 划 分成以下 5 个子集 : 10 10 2 001 = 2 + 977 ≥x ≥ 2 - 977 = 47 ,
A 1 A n ,共 n - 1 条 ,而以 A 2 , A 3 , …, A n 为端点的弦都 n ( n - 1)
小值 , 则必有某一块含 b 位于与 a 相邻的左侧且严 格大于 a ,又等于与之相邻的 4 块的平均值 , 每块都 不小于 a ,有一块大于 a . 矛盾 . )
4. 有若干个人的全体记为 S . 任何两人如果在
友 A 1 , A 2 , …, A n . 则 A 1 , A 2 , …, A n 在 S 中的朋友个 数均不超过 n ,且没有两人的朋友数目相同 . 所以 ,他 们的朋友数分别为 1 ,2 , …, n . )
n ( n - 1)
399 . 所以 ,当 n = 10 或 11 时 , y 取到最小值 100. ) 4
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集合中元素个数的最值问题
傅钦志
( 浙江省衢州中专 ,324000)
( 本讲适合高中) 求集合中元素个数的最大 ( 小) 值问题的 方法通常有 : 类分法 、 构造法 、 反证法 、 一般问 题特殊化 、 特殊问题一般化等 . 需要注意的 是 ,有时一道题需要综合运用几种方法才能 解决 . 下面举例说明这类问题的解法 .
(i ≠ j) .
当 a ∈A 1 时 ,15 a ∈ A ; 当 a ∈A 2 时 , a 与 15 a 这两个数中至少有一个不属于 A ; 当 a ∈A 3 时 ,15 a ∈ A 1 . 故令 A = A 1 ∪A 3 , 则 A 是满足要求的子集 ,且 | A | = | A 1 | + | A 2 | = 1 862 + 8 = 1 870. 例 4 设 n ( n ≥2 ) 是 整 数 . S 是 集 合 {1 ,2 , …, n }的子集 , S 中没有一个数整除另 一个数 , 也没有两个互质的数 . 求 S 的元素 个数的最大值 . ( 2005 ,巴尔干地区数学奥林匹克) 讲解 : 构造映射 f :
2 恰当构造
x = 1.
令 Y = {2 001 ,2 000 , …,1 025} ∪ {46 ,45 , …,33} ∪ {17} ∪ {14 ,13 , …,9}. 于是 ,| Y| = 998 ,且对任何 u 、 v ∈Y , u + v 都不是 2 的方幂 . 证明如下 : 当 u 、 v ∈Y 时 , 不妨设 u ≥v
y=
友 . 证明 : S 中有一个人恰好在 S 中只有一个朋友
( 假设 S 中确实有人是朋友) . (提示 : 考虑朋友最多的那个人 , 设他有 n 个朋
(21 - n) (21 - n - 1) 条 . 综上 ,总共有弦至少为 2 2 + (21 - n) (21 - n - 1) 21 2 ) + = (n2 2
r r r+1 且有 2 < u ≤ 2 + a <2 ,其中 ,当 r 分别取 值 10 ,5 ,4 ,3 时 ,相应的 a 值依次为 977 ,14 ,1 ,6. (1) 若 2 r < v ≤u , 则 2 r + 1 < u + v < 2 r + 2 , u + v 不能是 2 的方幂 . (2) 若 1 ≤v < 2 r , 则 当 2 r < u ≤2 r + a
977) ,
B j = {32 - j ,32 + j} ( j = 1 ,2 , …,14) , C = {15 ,17} , Dk = {8 - k ,8 + k } ( k = 1 ,2 , …,6) ,
2
+1 ,
n
2
+ 2 , …, n ,
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k
f 把 x ∈S 变成 2 x ∈
t 1 < t 2 < …< t n + 1 < t n + 2 < …< t m < t m + 1 ,
的元素满足 “没有一个数整除另一个数” 这一 条件 . 易知这是一个单射 , 这是因为若存在非 k k 负整数 k1 、 k2 ,使得 2 1 x = 2 2 y ,不妨设 k1 <
k2 ,则 y | x ,矛盾 .
5. 在圆周上任取 21 个点 . 证明 : 以这些点为端
C ( 否则 , A 的败将也都是 C 的败将 , 从而 , C 赢的局
数超过了 A ) . 于是 ,所述的 A 、 B、 C 即为所求 . )
3. 考虑一个无限大的棋盘 , 棋盘的每个方格内
点的所有弧中 ,不超过 120° 的弧不少于 100 条 .
例1 设 S 为集合 {1 ,2 , …,50} 具有下 列性质的子集 : S 中任意两个不同元素之和 不能被 7 整除 . 那么 , S 中最多可能有几个元 素? ( 第 43 届美国中学生数学竞赛) 讲解 : 对于两个不同的自然数 a 、 b ,如果 78 ( a + b) , 那么 , 它们被 7 除所得的余数和 不为 0. 因而 ,可将集合{1 ,2 , …,50}按被 7 除
0 < b1 < b2 < …< bn + 1 ,
则有
M ∈A ( k = 1 ,2 , …, n + 1 ) , 其中 , M = bk M M M < < …< , bn + 1 bn b1
2 因此 ,| S | ≤
+1 2 =
n +2
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4
.
n
b1 b2 …bn + 1 , 且满足 0 <
另外 ,当 S = { k | k 是偶数 , k > 满足题设要求 . 故| S | 的最大值为
(提示 : 在所有的点中 ,不妨设以 A 1 为端点的弦
有一个正整数 . 若方格中的每个数是其上下左右 4 个数的平均值 ,证明 : 所有的数都相等 .
(提示 : 若这些正整数不相等 , 设 a 为其中的最
最少 , 且 记 以 A 1 为 端 点 的 弦 为 A 1 A 2 , A 1 A 3 , …,
3 假设推理
n +2
2
}时 , S
4
.
例5 已知 A 、 B 是由不同的正实数组 成的有限集 , n ( n > 1) 是一个给定的正整数 , A、 B 中均至少有 n 个元素 . 若 A 中任意 n 个 不同实数的和属于 B , B 中任意 n 个不同实 数的积属于 A ,求 A 、 B 中所有元素个数的最 大值 . (第 52 届白俄罗斯数学奥林匹克 ( 决赛 B 类) ) 讲解 : 假设集合 A 中包含 m 个元素 , 设 为 a1 , a2 , …, am ,且满足 0 < a1 < a2 < …< am ( m > n) . 设 S = a1 + a2 + …+ an + 1 , P = ( S - a1 ) ( S - a2 ) …( S - a n + 1 ) . 则 S - ak ∈B ( k = 1 ,2 , …, n + 1) . 再设 t i =
n
2
, n ( 其中 , k 是非
n
tm + 1 =
P ( S - a1 - a n + a m ) . ( S - an ) ( S - an + 1 )
负整数 ) , 集合
n
2
+1,
2
+ 2 , …, n 中
则 t i ( i = 1 ,2 , …, m + 1 ) 均为 B 中的 n 个不同元素的积 . 于是 , t i ∈A ( i = 1 ,2 , …, m + 1) ,且满足
例3 设 M = {1 ,2 , …,1 995} , A 是 M 的 子集且满足条件 : 当 x ∈A 时 ,15 x ∈ A . 则 A 中元素的个数最多是 . ( 1995 ,全国高中数学联赛) 讲解 : 构造子集 A 如下 : 注意到 1 995 ÷ 15 = 133 ,记 A 1 = {134 ,135 , …,1 995} , 则 | A 1 | = 1 862. 又 133 = 15 × 8 + 13 ,记 A 2 = {9 ,10 , …,133} , 则 | A 2 | = 125. 记 A 3 = {1 ,2 , …,8} ,则| A 3 | = 8. 故 M = A1 ∪ A2 ∪ A3 , Ai ∩ Aj =
S 中的朋友个数相同 , 则他们在 S 中没有共同的朋
不少于 n - 1 条 . 故这 n 个点至少有弦
2
条. 在
其余的 21 - n 个点中任取 2 个点 A i 、 A j ( i ≠j , i 、 j=
n + 1 , n + 2 , …,21) . 在这个三点组中一定有一条弦 .
根据 A 1 的取法 , 这条弦不会是 A 1 A i 、 A 1 A j , 而只能 是 A iA j . 所以 , 在这 21 - n 个点任意两点之间连有 弦 ,共
5 5 46 = 2 + 14 ≥x ≥ 2 - 14 = 18 , 4 4 17 = 2 + 1 ≥x ≥ 2 - 1 = 15 , 3 3 14 = 2 + 6 ≥x ≥ 2 - 6 =2,
r r
E = {1 ,8 ,16 ,32 ,1 024}.
对于 X 的任何一个 999 元子集 W , 若 W ∩E ≠ ,则从其中任取一个元素的 2 倍 都是 2 的方幂 ; 若 W ∩E = ,则 W 中的 999 个元素分属于前面的 998 个 2 元子集 . 由抽 屉原理知 , W 中必有不同的 u 、 v , 属于其中 同一个子集 . 显然 , u + v 为 2 的方幂 . 综上 ,所求的最小正整数 m = 999. 评注 : 该解法将集合 X 两次划分 , 第一 次把 X 划分为 5 个子集 , 构造了一个不满足 题中要求且又含元素最多的集合 Y ; 第二次 将集合划分为 999 个子集 ,再应用抽屉原理 .
1 合理划分
所得的余数划分为 7 个子集 . 其中 , Ki 中的 每个元素除以 7 的余数为 i ( i = 1 ,2 , …,6 , 0) ,则 K1 = {1 ,8 ,15 ,22 ,29 ,36 ,43 ,50} ,
K2 = {2 ,9 ,16 ,23 ,30 ,37 ,44} , K3 = {3 ,10 ,17 ,24 ,31 ,38 ,45} , K4 = {4 ,11 ,18 ,25 ,32 ,39 ,46} , K5 = {5 ,12 ,19 ,26 ,33 ,40 ,47} , K6 = {6 ,13 ,20 ,27 ,34 ,41 ,48} , K0 = {7 ,14 ,21 ,28 ,35 ,42 ,49}.
又对于 x 、 y ∈S ,则 ( x , y ) > 1. 而 ( x , y ) | ( f ( x ) , f ( y ) ) ,则 ( f ( x ) , f ( y ) ) > 1. 从而 , f ( S ) 中不含有两个连续的整数 .
n
与 A 中有 m 个元素矛盾 . 所以 , A 中最多有 n 个元素 . 从而 ,可知 A 中有 n 个元素 . 若 b1 , b2 , …, bn + 1 ∈B ,且满足
收稿日期 :2007 - 03 - 27
由题意得 ( 1) S 含 Ki ( i = 1 ,2 , …,6 ) 的一个元素 , 则可以含有这个集合的所有元素 , 但不能同 时含 K7 - i 的元素 ;
( 2) S 最多含有 K0 的一个元素 ; ( 3) 最大的子集 S 必含 K1 的所有元素 .