解答题专项 第1课时 最值与范围问题--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

高考总复习
2025
第1课时　最值与范围问题
考情分析:解析几何是高考的重要考点,通常是“一大三小”的命题模式.除了解答题是必考题外,一般还会有2道圆锥曲线的选择题或填空题.解答题一般放在最后两个大题的位置,有一定的难度.题目不拘泥于以椭圆为背景的主流模型,双曲线和抛物线也成为常见载体.对直观想象和数学运算的核心素养有较高的要求.
考点一 圆锥曲线中的最值问题(多考向探究预测)考向1建立目标函数法求最值
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P为直线x=4上一点,PA,PB分别与椭圆交于C,D两点.
①证明:直线CD过椭圆右焦点F2;
②椭圆的左焦点为F1,求△CF1D的内切圆的最大面积.
[对点训练1](2024·河北石家庄模拟)已知M,N为抛物线C:y2=2px(p>0)上不同的两个点,O为坐标原点,OM⊥O N,过O作OH⊥M N于点H,且H(2,2).
(1)求直线M N的方程及抛物线C的方程;
(2)若直线l与直线M N关于原点对称,Q为抛物线C上一动点,求当点Q到直线l的距离最短时,点Q的坐标.
解(1)如图,由点H(2,2),得直线OH的斜率为1,又OH⊥MN,则直线MN的斜率为-1,故直线MN的方程为y-2=-(x-2),即x+y-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
故抛物线的方程为y2=4x.
考向2构造基本不等式法求最值
因此|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.
(2)解由题意,直线l不垂直于x轴,若直线l与x轴重合,则直线m与直线x=-2平行,不符合题意,所以直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为
考点二 圆锥曲线中的范围问题(多考向探究预测)
考向1构造不等式法求范围
例3已知P是平面上的动点,且点P与F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对值
[对点训练3]
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M是抛物线的准线x=-2上的动点.
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标;
(2)设直线l与抛物线相交于A,B两点,且M F⊥AB,AF⊥M B,求直线l在x轴上的截距b的取值范围.
解(1)因为抛物线的准线是x=-2,所以抛物线的焦点坐标F(2,0), =2,所以p=4.
(2)设M(-2,y0).不妨令点A位于第一象限内.若直线l的斜率不存在,则
l:x=b(b>0).
考向2构造函数法求范围
例4(2024·湖南雅礼中学模拟)已知P(2,0)是椭圆C: =1(a>b>0)的右顶点,过点D(1,0)且斜率为k(k<0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点(点A在x轴的上方),直线P A,PB分别与直线x=1相交于M,N两点.当点A为椭圆C的上顶点时,k=-1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若|M N|=λ,且λ∈[2,3],求实数k的取值范围.
解(1)由题意可知a=2.
(2)如图, 依题意,设直线l的方程为y=k(x-1)(k<0),A(x1,y1),B(x2,y2),易得x1<x2.
[对点训练4]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为点F,点M(a, )在抛物线C上.
(1)若|M F|=6,求抛物线的标准方程;
(2)若直线x+y=t与抛物线C交于A,B两点,点N的坐标为(1,0),且满足NA⊥NB,原点O到直线AB的距离不小于 ,求p的取值范围.。