广东省2025届高三上学期9月份联考数学试题

广东省2025届高三上学期9月份联考数学试题
一、单选题
1．已知命题:p x ∀∈R ，sin 10x +>；命题:q x ∃∈Z ，21x +是质数，则（ ） A ．,p q 均是真命题 B ．,p q ⌝均是真命题 C ．,p q ⌝均是真命题
D ．,p q ⌝⌝均是真命题
2．已知曲线()2024log 3y x =-过抛物线2:C y mx =的焦点，则C 的准线方程为（ ） A ．1
4
=-x
B ．4y =-
C ．4x =-
D ．1
4
y =-
3．已知2i -是关于x 的方程()2
0,x ax b a b -+=∈R 的一个根，则a b -=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．20
4．已知半径为3，高为1的圆锥底面圆周上的点和顶点均在球O 的表面上，则球O 的体积为（ ） A ．125π
B ．
400π
3
C ．
200π
3
D ．
500π
3
5．已知数列{}n a 满足()123232n a a a na n n ++++=+L ，则66a =（ ） A ．2
B ．
133
66
C ．
137
66
D ．
139
66
6．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a ()(()
sin sin sin sin A B b c B C -=+，则ABC V 外接圆的半径为（ ）
A ．1
B
C ．2
D
7．已知π02βα<<<，()4cos 5
αβ-=，1
cos cos 2αβ=，则11tan tan αβ-=（ ） A ．110
-
B ．3
10
-
C ．1-
D ．2-
8．若()2
2
81ln 18ln 1,33x x f x x ⎛⎫
=+-+ ⎪⎝⎭
则()f x 的最小值为（ ）
A ．21e +
B ．10
C
D ．2
二、多选题
9．对于函数()2024sin3f x x =和()π2024sin 33g x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，则（ ）
A ．()f x 与()g x 的零点相同
B ．()f x 与()g x 的最小值相同
C ．()f x 与()g x 的最小正周期相同
D ．()f x 与()g x 的极值点相同
10．已知正数,a b 满足()e 1ln 1a
b -=，则（ ）
A ．2e e b <<
B ．1
e 2e a a
+
> C ．e a b >
D ．e ln 1a b ->
11．某箱中有若干个编号依次为()1,2,,3k k ≥L L 的球，每个球除编号外完全相同.现从箱中每次不放回地取一个球，若第m 次取出球的编号为n ，则记为,m n X ，则下列说法正确的是（ ）
A ．若()2,10,P X =则()1,21P X =
B ．若()2,11
,3P X =则()2,229
P X =
C ．若()3,11
,3P X =则事件1,1X 和事件2,2X 相互独立
D ．若()3,11
,3
P X =则事件1,2X 和事件2,3X 相互独立
三、填空题
12．已知()1,3a =-r
，(),1b t =r ，若
()()
//2a b a b +-r r r r ，则t =. 13．已知二项式6
b ax x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为20-，则ab =.
14．已知椭圆()22
122:10x y C a b a b +=>>与圆2
22
24:3c C x y ⎛+= ⎝有四个不同的公共点，
其中2
2
2
c a b =-.若2
2b a m a b
+>，则m 的最大值为.
四、解答题
15．已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子，重水分子，超重水分子的比例为6:3:1.
(1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个
轻水分子的概率；
(2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数有6个，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为X ，求X 的数学期望.
16．已知首项为1的等差数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的公差为2，又数列 b n 满足1n n n b a a +=⋅.
(1)求数列 b n 的前n 项和n T ；
(2)在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且492
a T =，2π
3A =，求ABC V 面积的最大
值.
17．如图，在正四棱台1111A B C D ABCD -中，1144AB A B ==，13BB =，4DB DF =u u u r u u u r
，棱1B B
上的点E 满足AE EC +取得最小值.
(1)证明：1//B F 平面AEC ；
(2)在空间取一点为G ，使得1//AG C C ，设平面AGE 与平面11BDD B 的夹角为θ，求cos θ的值.
18．已知双曲线22
22:1x y C a b -=的右焦点()2,0F a 0y -=的距离为
(1)求C 的标准方程；
(2)若过F 的直线与C 的左、右支分别交于点,A B ，与圆222:O x y a +=交于与,A B 不重合的,M N 两点.
①求直线AB 斜率的取值范围； ②求AB MN ⋅的取值范围.
19．已知函数()2
12f x a x a =+，()()sin g x f x x x =-.
(1)证明：当1233a a ==时，曲线()():3lg
2
x
C y x f x x =+++关于点()1,8-对称； (2)若P 为曲线12,C C 的公共点，且12,C C 在P 处存在共同的切线，则称该切线为12,C C 的“优切线”.若曲线()y g x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求1a ，2a 的值.。