中考二次函数图象与性质复习
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y
x1 x2
x
O
对称轴：直线x x1 x2 2
4.+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0 开口____向__上_______________ a＜0 开口____向__下_______________ b=0 对称轴与__y_轴__重合
平移规律
平左 移右
y = a( x - h )2 + k
平上 移下
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = ax2 + k
上下 平移
y = ax2
y = a(x - h )2 左右平移，
括号内左加右减.
左右 平移
二次项系数a不变.
6.二次函数y
y
ax2
bx
c与一y元二次方程的关系
b2 4ac
2
2
（2）当x取何值时，y随着x的增大而减小?(3)若抛物线与x轴的两个
交点为A,B,与y轴的交点为C，求S ABC
.
类型之二 二次函数的图象的平移
例1．(1)将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y=2(x-6)2
B．y=2(x-6)2+4
2a
4a
2a
4a
3.二次函数的三种形式：
1.一般形式：
y=ax2+bx+c (a ≠ 0)
对称轴：直线 x=- b 顶点坐标 : (- b ，4ac-b2 )
2a
2a 4a
2.顶点式：
y=a(x-h)2+k (a ≠ 0)
对称轴：直线x=h 顶点坐标 : (h,k)
3.交点式(两根式）： y=a(x-x1)(x-x2) .
类型之六 从二次函数的图象中获取信息
例7 如图，已知抛物线y=ax2 bx c的对称轴为直线x 1.
给出下列结论：①ac 0; ②b2 4ac 0;③2a b 0;
④a b c 0.其中，正确的结论有
（）
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
y
x O1 3
【预测变形1】
二次函数y=ax2 bx c的图象如图所示，有如下结论：①abc 0;
二次函数的图象与性质复习
1.二次函数的概念
定义：形如y= ax2+bx+c
二次函数.
注意：二次项系数a≠0.
(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做
2.二次函数的图 象及性质
y
x b 2a
O
x
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)
开口方向 对称轴
向上
直线x b 2a
顶点坐标
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
y
O
xO
xO
x
关系：二次函数的图象与x轴交点的横坐标是一元 二次方程的实数根
类别：当Δ=b2-4ac>0时 ,抛物线与x轴有两个交点， 当Δ=b2-4ac=0时，顶点在x轴上，抛物线与x轴 只有一个交点， 当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
类型之一 二次函数的图象与性质
例1 已知抛物线y 1 x2 x 5 .(1)用配方法求抛物线的顶点坐标：
②2a b 0;③3b 2c 0;④am2 bm a b (m为实数），其中，
正确的结论有
（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
y
x 1 23
类型之七 二次函数的综合
例8．已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象与轴交于A,B(1,0) 两点，与y轴交于点C(0,-3)， （1）求二次函数的表达式及点A坐标；
左同 a、b同号 对称轴在y轴的_左___侧 右异 a、b异号 对称轴在y轴的_右___侧
c＞0 与y轴交于__正___半轴 c＜0 与y轴交于__负___半轴 c=0 抛物线过 原点 .
5.二次函数的平移
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
例4．已知二次函数图象过点A（-2，0），B（4，0），C（0，4） （1）求二次函数的解析式； （2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M， 使得∠BMC=90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说 明理由．
类型之四 二次函数与方程的关系
例5．(1)若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个 交点，则k的取值范围是_____．
增减性
在对称轴的左侧,y随x的 增大而减小. 在对称轴的 右侧, y随x的增大而增大.
y
x b
2a
O
x
y=ax2+bx+c(a<0)
向下
直线x b 2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
在对称轴的左侧,y随x的 增大而增大. 在对称轴的 右侧, y随x的增大而减小.
最值
当x b 时,最小值为 4ac b2 当x b 时,最大值为 4ac b2
C．y=2x2
D．y=2x2 +4
(2)．将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1
个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A.y=(x-4)2-6
B.y=(x-1)2-3
C.y=(x-2)2-2
D.y=(x-4)2-2
类型之三 二次函数的解析式
例3 已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，-1）且过原点 （0，0），求该函数解析式.
x1 x2
x
O
对称轴：直线x x1 x2 2
4.+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0 开口____向__上_______________ a＜0 开口____向__下_______________ b=0 对称轴与__y_轴__重合
平移规律
平左 移右
y = a( x - h )2 + k
平上 移下
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = ax2 + k
上下 平移
y = ax2
y = a(x - h )2 左右平移，
括号内左加右减.
左右 平移
二次项系数a不变.
6.二次函数y
y
ax2
bx
c与一y元二次方程的关系
b2 4ac
2
2
（2）当x取何值时，y随着x的增大而减小?(3)若抛物线与x轴的两个
交点为A,B,与y轴的交点为C，求S ABC
.
类型之二 二次函数的图象的平移
例1．(1)将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y=2(x-6)2
B．y=2(x-6)2+4
2a
4a
2a
4a
3.二次函数的三种形式：
1.一般形式：
y=ax2+bx+c (a ≠ 0)
对称轴：直线 x=- b 顶点坐标 : (- b ，4ac-b2 )
2a
2a 4a
2.顶点式：
y=a(x-h)2+k (a ≠ 0)
对称轴：直线x=h 顶点坐标 : (h,k)
3.交点式(两根式）： y=a(x-x1)(x-x2) .
类型之六 从二次函数的图象中获取信息
例7 如图，已知抛物线y=ax2 bx c的对称轴为直线x 1.
给出下列结论：①ac 0; ②b2 4ac 0;③2a b 0;
④a b c 0.其中，正确的结论有
（）
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
y
x O1 3
【预测变形1】
二次函数y=ax2 bx c的图象如图所示，有如下结论：①abc 0;
二次函数的图象与性质复习
1.二次函数的概念
定义：形如y= ax2+bx+c
二次函数.
注意：二次项系数a≠0.
(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做
2.二次函数的图 象及性质
y
x b 2a
O
x
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)
开口方向 对称轴
向上
直线x b 2a
顶点坐标
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
y
O
xO
xO
x
关系：二次函数的图象与x轴交点的横坐标是一元 二次方程的实数根
类别：当Δ=b2-4ac>0时 ,抛物线与x轴有两个交点， 当Δ=b2-4ac=0时，顶点在x轴上，抛物线与x轴 只有一个交点， 当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
类型之一 二次函数的图象与性质
例1 已知抛物线y 1 x2 x 5 .(1)用配方法求抛物线的顶点坐标：
②2a b 0;③3b 2c 0;④am2 bm a b (m为实数），其中，
正确的结论有
（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
y
x 1 23
类型之七 二次函数的综合
例8．已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象与轴交于A,B(1,0) 两点，与y轴交于点C(0,-3)， （1）求二次函数的表达式及点A坐标；
左同 a、b同号 对称轴在y轴的_左___侧 右异 a、b异号 对称轴在y轴的_右___侧
c＞0 与y轴交于__正___半轴 c＜0 与y轴交于__负___半轴 c=0 抛物线过 原点 .
5.二次函数的平移
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
例4．已知二次函数图象过点A（-2，0），B（4，0），C（0，4） （1）求二次函数的解析式； （2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M， 使得∠BMC=90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说 明理由．
类型之四 二次函数与方程的关系
例5．(1)若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个 交点，则k的取值范围是_____．
增减性
在对称轴的左侧,y随x的 增大而减小. 在对称轴的 右侧, y随x的增大而增大.
y
x b
2a
O
x
y=ax2+bx+c(a<0)
向下
直线x b 2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
在对称轴的左侧,y随x的 增大而增大. 在对称轴的 右侧, y随x的增大而减小.
最值
当x b 时,最小值为 4ac b2 当x b 时,最大值为 4ac b2
C．y=2x2
D．y=2x2 +4
(2)．将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1
个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A.y=(x-4)2-6
B.y=(x-1)2-3
C.y=(x-2)2-2
D.y=(x-4)2-2
类型之三 二次函数的解析式
例3 已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，-1）且过原点 （0，0），求该函数解析式.