泰安二模数学理科

泰安市2007学年高三第二轮复习质量检测考试
数 学（理）试 题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。

2．每小题选选出答案后，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。

3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P (A+B )=P (A )+P (B ) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 334R V π=
那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k
n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数2
1(1)
i
i +-对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知等差数列{}n a 中，610420,2a a a +==，则12a 的值是
A ．26
B ．20
C ．18
D ．28
3．已知sin ),ααβαβ=
-=-均为锐角，则sin β等于
A ．
5 B ．
2
C ．
2 D ．12
4．函数())4
f x x π
=+，给出下列三个命题 ①函数()f x 在区间5[,
]28ππ
上是减函数
②直线8
x π=
是函数()f x 的图象的一条对称轴
③函数()f x 的图象可以由函数2y x =的图象向左平移
4
π
得到，其中正确的是
A ．①③
B ．①②
C ． ②③
D ．①②③
5．集合{(,)|},{(,)|2},{(,)|0}M x y y x P x y x y S x y y =≤=+≤=≥，若T M P S =，
点(,)E x y T ∈，则3x y +的最大值是
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
6．当a 为任意实数时，直线2(1)0ax y a --+=恒过定点M ，则以M 为圆心并且与圆
222410x y x y ++-+=相外切的圆的方程是
A ．2
2
(2)(2)9x y +++= B ．22
(2)(2)9x y -++=
C ．2
2
(2)(2)16x y -+-=
D ．2
2
(2)(2)16x y -++=
7．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量(,),(2,6)p m n q ==，则向量p 与q 共线的概率为
A ．
118 B ．112 C ．19
D ．
1
6
8．正四棱锥P-ABCD 的底面边长为2，且它的五个顶点都在同一球面上，则
此球的体积为 A ．43π B ．
323π C ．92
π D ．36π
9．若函数()(01)x
x
f x ka a a a -=->≠且是奇函数，且为增函数，则函数()lo
g ()
a g x x k =+的图象大致是
10．定义：一个没有重复数字的n 位正整数(3,*)n n N ≥∈，各数位上的数字从左到右依次
成等差数列，称这个数为期望数，则由1，2，3，4，5，6，7，8，9构成四位数中期望数的个数为
A ．9
B ．12
C ．18
D ．20
11．三个数a , b , c 成等比数列，若1a b c ++=，则b 的取值范围为
A ．1
(0,]3 B ．1[1,]3
--
C ．[1,0)-
D ．1[1,0)
(0,]3
- 12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[-3，-2]上是减函数；,αβ是钝
角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是
A ．(sin )(cos )f f αβ>
B ．(cos )(cos )f f αβ<
C ．(cos )(cos )f f αβ>
D ．(sin )(cos )f f αβ<
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
1．第Ⅱ卷用钢笔和圆珠笔答在试卷中（除题目有特殊规定外）. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在题中横线上. 13．一离散型随机变量ξ的概率分布为
且 1.5,E ξ=则2a b += .
14．若抛物线2
y ax =的焦点与双曲线2
213
x y -=-的一个焦点重合，则实数a 的值为 .
15．在下面程序框图中，若0.65
0.65,0.6,log 5a b c ===，则输出的数是 .（用
字母a 、b 、c 填空）
16．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱BC 的中点，则1D B 与AM 所成的角的余弦
值是 .
步骤.
17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()AB AC BA BC k k R ∙=∙=∈. （Ⅰ）判断ABC ∆的形状；
（Ⅱ）若c =
k 的值.
18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足11711
,(*)623
n n a a a n N +=
=+∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）记2[lg(2)lg()](0)3
n
n
n n c t t
a t =+->
，若对任意的(*)n N ∈，恒有1n n c c +<成立，求
t 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB=BC=2，90ABC ∠=︒，异面直线1A B 与AC 成
60︒角，点O 、E 分别为AC 、1BB 的中点
（Ⅰ）求证：OE//平面11AB C ； （Ⅱ）求证：1A E ⊥1OC ；
（Ⅲ）求二面角11
1B AC C --的大小.
20．（本小题满分12分）
某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科
技工业园，已知AB ⊥BC ，OA//BC ，且AB=BC=2AO=4 km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB 、BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积。

21．（本小题满分12分）
如图所示，ABC ∆为直角三角形，90C ∠=︒，若(0,4)OA =-，M 在y 轴上，且
1
()2
AM AB AC =+，点C 在x 轴上移动.
（Ⅰ）求点B 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）过点1(0,)2
F 的直线l 与曲线E 交于P 、Q 两点，设(0,)(0),N a a <NP 与NQ 的
夹角为θ，若2
πθ≤
恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）设以点N 为半径的圆于曲线E 在第一象限的交点为H ，若圆在点
H 处的切线与曲线E 在点H 处的切线互相垂直，求a 的值.
22．（本小题满分14分）
已知函数3
2
()11f x x ax bx =++-，且()f x 在(,1),(2,)-∞-+∞上单调递增，在（-1，2）上单调递减，又函数2
()45g x x x =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求证当x>4时，()()f x g x >；
（III ）若函数'()
()(1)ln()3(2)
f x h x m x m x =-++-，求()h x 的单调区间.
参 考 答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分. 13．1.2
14．18
± 15．a 16
三、解答题：本题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）
cos ,cos ..........1cos cos sin cos sin cos ..........3sin cos sin cos 0sin()0..........5.......AB AC cb A BA BC ca B AB AC BA BC cb A ca B
B A A B A B B A A B A B A B
ABC ππ===∴=∴=-=∴-=<-<∴=∴∆分又分即分-为等腰三角形...7分
（Ⅱ）由（I ）知a=b
2222
cos (1022)
21..........12b c a c AB AC cb A bc bc c k +-∴====∴=分
分
18．（本小题满分12分）
解：(I)
111111
23212
()
323
227211
33632221121
(),32232n n n n n n n n n a a a a a a a a ++-=
+∴-=-∴---∴-==+数列{}是以==为首项，以为公比的等比数列 ............3分
即 ..........5分
(II)
121
[lg(2)lg()][lg(2)lg ]lg 32
lg (1)lg lg 01(*)*1lg 01
(2
n n n n n n n n n t t a t t nt t
nt t n t t t n N n N t t n N +=+-=+=<⇔<+><∈∴∈∴><≥∈n n n+1C 由C C .......7分n 1.当t>1时，由，可得t>n+1
n
n+1
n t>对一切都成立
n+1
此时.......9分
n 2.当0<t<1时，由，可得n>(n+1)t,t<
n+1
n n+1*)*1
02
*1
012
n N t n N t t t ∴∈∴<<∈<<<>n n+1n
0<t<对一切都成立
n+1
此时.......11分
由1.2可得，对一切都有C C 的的取值范围为
或.......12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明： 取1C C 的中点F ，连结EF 、OF ，则OF//1AC ，EF//11B C
∴OF//面11AB C
，EF//面11AB C ，
EF
OF=F ，1
AC 1BC =1C
∴平面OEF//平面11AB C ……………..2分
又
OE ⊂ 平面OEF
∴OE//平面11AB C …………….3分
（II ）证明：取AB 的中点G ，连结1B G ， 11A C //AC
又异面直线1A B 与AC 成60︒角，
∴ 11BA C ∠= 60︒ 在直三棱柱111ABC A B C -中，AB=BC=2， ∴90ABC ∠=︒
∴1A B =1BC ，11A C
= ∴1AA =2 ∴四边形11ABA B 为正方形……………..5分
又 E 、G 分别为1BB 、AB 的中点
∴1A E ⊥1B G 又11B C ⊥平面11ABB A ∴11B C ⊥1A E
OG//BC ，BC//11B C
∴OG//11B C ∴ O 、G 、1B 、1C 四点共面 ∴
1A E ⊥平面G 11B C
∴1A E ⊥1OC …………….8分
（III ）取11A C 的中点H ，则
111111
111111111111111111111.............102tan 6060............12B H A C B H CC A H HM A C B M B M A C B MH B A C C Rt A C C Rt A MH A H C C A C B H HM B H B MH HM
B MH B A
C C ⊥∴⊥⊥⊥∴∠--∆∆=
==∴=
=∠===∴∠=︒
∴--︒平面过作，连结，则，为二面角的平面角分
在和中，，又二面角的大小为分
20．（本小题满分12分）
22,124,.2x py C p p =∴=∴=2且（2，4），
2
故曲线段OC 的方程为2
y x =(02)x ≤≤…………….3分
设 2(,)(02)P x x x ≤<是曲线段OC 上的任一点，
则2||2,||
4PQ x PN x =+=-……………5分
工业区面积
2322122||||(2)(4)824.....6'344,'0,2,23
202, (73)
2[0,)'0,3
2(,2)'0, (93)
2832||2,||4,339
S PQ PN x x x x x S x x S x x x x x S S x S S x S PQ x PN x ==+-=--+∴=--+===-≤<∴=∈>∈<∴==+==-=分
令得：分当时，是x 的增函数；当时，是x 的减函数；分时，取到最大值，此时28322569.5() (113927)
S km =⨯=≈分 答：把工业园区规划成长为329km ，宽为83
km 的矩形时工业园的面积最大，最大面积是29.5km …….12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
1()202...........3AM AB AC M BC CA y =+∴∠︒∴⊥=∴=2是的中点y 设B （x,y ），则M(0,),C(-x,0)2
CB=(2x,y),CA=(x,-4)...........分C=90OB CA CB (2x,y)(x,-4)=0 x 分
（Ⅱ）
1122112221212112221212121121,(,),(,),(,),(,)2
1210
222, 1............50(,)(,)0
()0
1,2l y kx P x y Q x y NP x y a NQ x y a y kx kx x y x x k x x NP NQ x y a x y a x x y y a y y a y kx y =+=-=-⎧=+⎪--=⎨⎪=⎩
∴+==-≥--≥+-++≥=+2设直线方程为由知x 分
由知又222121222212
1(1)()()02
34.........72340021. (92)
kx x x k k ak x x a a a a k a
a a a a
a =+∴++-+-+≥--∴≥--∴≤<∴≤-恒成立分，又分
（Ⅲ） 222,.2,2210 (111)
110 (1222)
NH a a K a a a a a a --==∴=+==--===-<∴=-000200x=x 0000
2000000由题意知，NH 是曲线C 的切线，设H （x ,y ）
y y 1则y'=(x )'|x x 2x x 又因x （y -a ）x y 消去x ,y 得分
解得或分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
231,2623
3611 (52)
a b b x x ∴∞∞∴⎧=⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩∴---3223223f(x)=x +ax +bx-11
f'(x)=3x +2ax+b............1分
又函数f(x)=x +ax +bx-11在(-,-1),(2,+)上单调增，在(-1,2)上单调减-1,2是方程3x +2ax+b 的两个根........3分
2-a=-3从而解得f(x)=x 分
（Ⅱ） 3225()()()2162
'()352(31)(2)
4'()0()4H x f x g x x x x H x x x x x x H x H x x =-=---∴=--=+->∴>∞∴>令从而函数在（4，+）上单调增.........7分又H （4）=0当时f(x)>g(x).........8分
（III ） 2'()336
()1(1)ln()(2)
11'()1........10'()0()2'()0()2f x x x h x x m x m x m x m x h x x m x m
h x h x h x h x =--∴=+-++>-≠+-∴=-
=++≤-≥∞>∞≤≥∞>∞且分（1）当m 2时，-m 2,定义域：(-m,+)恒成立，在(-m,+)上单增；
（2）当-2<m -1时，2>-m 1,定义域：(-m,)(2,+)
恒成立，在(-m,)(2,+)上2'()01,'()01
()()2h x x h x x h x h x ><∞>><<∞≤∞≤∞>∞单增；
（3）当m -1时，-m 1,定义域：(-m,)(2,+)
得由得故在（1，2），（2，+）上单增；在（-m,1）上单减.....13分
所以当m 2时，在(-m,+)上单增；
当-2<m -1时，在(-m,)(2,+)上单增；
当m -1时，在（1，2），（2，+）上单增；在（-m,1）上单减......14分。