2013版高考数学考前3个月(上)专题复习课件专题七第一讲函数与方程思想

本 讲 栏 目 开 关
思想方法解读
第一讲 函数与方程思想
第一讲
本
讲
栏
目 开
函数与方程的思想是高中数学的一条主线，这不仅可以从高中新
关 课程内容中一直是以函数为主线贯穿这一事实体现出来，而且函数与
方程思想也是数学最本质的思想之一．
1．函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量
关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、
本 讲
当直线 AB 与 x 轴垂直时，直线 AB 的方程为 x＝0，与不过原点的条
栏 件不符，舍去． 目
开 故可设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m(m≠0)，
关
由y3＝x2＋kx4＋y2m＝，12 消去 y，
整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
①
题型与方法
则 Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，
第一讲
题型与方法
第一讲
方法提炼 (1)由于数列是一类特殊的函数，因此对于数列问题常常
借助于函数的知识来处理．
(2)数列问题通常可以转化为函数、方程、不等式等来解决．根据数
本 列的有关公式列出方程、不等式，这是常见题型，而对于数列不等
讲
栏 式问题，则通过变形、整理，需要转化为数列所对应的函数的单调
目 开
(1)求数列{an}的通项公式；
本 讲 栏
(2)设 bn＝a2nn，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求证：14≤Tn<1.
目 开
(1)解 当 n＝1 时，a1＝S1＝1.
关
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋4－[(n－1)2－4(n－1)＋4]＝
2n－5. ∵a1＝1 不适合上式，∴an＝12， n－5，
题型与方法
第一讲
故当且仅当 m＝1－ 7时，S 取到最大值． 综上，所求直线 l 的方程为 3x＋2y＋2 7－2＝0.
本 方法提炼 (1)对于已知方程形式的圆锥曲线，可以利用待定系数法
讲 栏
来求圆锥曲线的方程；
目 开
(2)解决有关直线与圆锥曲线位置关系问题，用到的多是函数与方程
关 的思想，通过列方程组，由判别式和根与系数的关系求解．
目 开
型，根据相应函数模型的图象、性质讨论得出问题的答案，例如解
关 决含有参数的方程或不等式问题，可利用二次函数的对称轴、判别
式、给定区间上的端点值等转化为二次函数的最值问题；
②构造函数模型：把方程、不等式、数列等问题，转化为相应
的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解，例如恒
成立问题，通过变形、整理，构造出一个相应的函数，再讨论函数
栏 目
例1
已知 f(t)＝log2t，t∈[ 2，8]，对于 f(t)值域内的所有实数 m，
开 不等式 x2＋mx＋4>2m＋4x 恒成立，求 x 的取值范围．
关
解 ∵t∈[ 2，8]，∴f(t)∈12，3.
原题转化为当 m∈12，3时，不等式 x2＋mx＋4>2m＋4x 恒成立，
(3)求参数的取值范围问题，往往要与目标函数联系起来，利用目标
函数的定义域、值域、单调性等知识来解决．
题型与方法
第一讲
变式训练 3 已知直线(1＋3m)x－(3－2m)y－(1＋3m)＝0 (m∈R)所
经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点，且椭圆 C 上的点到点 F 的
最大距离为 3.
本 讲 栏
本 讲 栏
∴Tn＝12(1－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1) ＝2nn＋1.
目
开 (2)①当 n 为偶数时，要使不等式 λTn<n＋8·(－1)n 恒成立，即需不等 关 式 λ<n＋8n2n＋1＝2n＋8n＋17 恒成立．
∵2n＋8n≥8，等号在 n＝2 时取得．
∴此时需满足 λ<25.
n＝1 n≥2 .
题型与方法
(2)证明
由题知 bn＝a2nn＝122，n2－n 5，
n＝1 n≥2
.
本
当 n＝1 时，T1＝12，
讲 栏 目 开 关
当 n≥2 时，Tn＝12＋－221＋213＋…＋2n2－n 5， 12Tn＝212＋－231＋214＋…＋2n2－n 7＋22nn－＋15，
即 m(x－2)＋(x－2)2>0 恒成立．
令 g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈12，3，
题型与方法
第一讲
问题转化为 g(m)在 m∈12，3上恒大于 0，
则g12>0，
即12x－2＋x－22>0，
g3>0，
本
3x－2＋x－22>0.
由152≤931＋＋4kk22≤178，得 1≤k2≤3，
解得－ 3≤k≤－1 或 1≤k≤ 3， 所以直线 l 的斜率的取值范围为[－ 3，－1]∪[1， 3]．
小题冲关
第一讲
本 讲 栏
1．(2012·福建)设函数 D(x)＝10，，xx为为有无理理数数，， 则下列结论错误的是
x1＋x2＝－3＋8km4k2， x1x2＝43m＋2－4k122.
本 讲 栏 目 开
所以线段 AB 的中点为 M－3＋4km4k2，3＋3m4k2. 因为 M 在直线 OP：y＝12x 上，
关
所以3＋3m4k2＝3－＋24kmk2，
得 m＝0(舍去)或 k＝－32.
此时方程①为 3x2－3mx＋m2－3＝0，
②当 n 为奇数时，要使不等式 λTn<n＋8·(－1)n 恒成立，
题型与方法
第一讲
即需不等式 λ<n－8n2n＋1＝2n－n8－15 恒成立． ∵2n－8n随着 n 的增大而增大，∴n＝1 时，2n－8n取得最小值－6. 本 ∴此时需满足 λ<－21.
讲
栏 综合①、②可得，λ 的取值范围是(－∞，－21)．
题型与方法
则ac＝＋1c＝，3， a2＝b2＋c2，
解得 a＝2，b＝ 3，c＝1.
本
从而椭圆 C 的标准方程为x42＋y32＝1.
讲
栏 (2)设过点 F 的直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，
目
开 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
关
y＝kx－1，
由x42＋y32＝1
目 开 关
题型与方法
题型三 利用函数与方程思想解决几何问题
例 3 (2012·浙江)如图，椭圆 C：ax22＋by22＝
1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点 P(2,1)
本 的距离为 10，不．过．原．点．O 的直线 l 与 C 相
讲 栏
交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平
目 开
分．
关 (1)求椭圆 C 的方程；
(2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程．
解 (1)设椭圆左焦点为 F(－c,0)，则由题意得 2＋c2＋1＝ 10， ac＝12，
第一讲
题型与方法
第一讲
得 ca＝＝12，. 所以椭圆方程为x42＋y32＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M.
讲 解得 x>2 或 x<－1.
栏
目 开
方法提炼 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是
关 构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个
含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函
数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待
求范围的量为参数．
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
第一讲
题型与方法
第一讲
因点 F 在椭圆内，即必有 Δ>0，
本
有xx11＋x2＝x24＝3k＋23－＋84kk14222k，2，
讲 栏
所以|FA|·|FB|＝(1＋k2)|(x1－1)(x2－1)|
目 开 关
＝(1＋k2)|x1x2－(x1＋x2)＋1|＝931＋＋4kk22.
转化问题，从而使问题获得解决．
思想方法解读
第一讲
2．方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方
程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程
的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
3．函数与方程思想解决的相关问题
本
(1)应用函数思想解决的问题主要有以下类型：
讲
栏
①根据问题的已知条件，列出函数关系式，转化为某种函数模
性问题解决．
关
题型与方法
第一讲
变式训练 2 已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列，公差为 d， Sn 为其前 n 项和，且满足 a2n＝S2n－1，n∈N*.数列{bn}满足 bn＝an·a1n＋1，
Tn 为数列{bn}的前 n 项和．
本 (1)求 a1，d 和 Tn；
讲 栏
(2)若对任意的 n∈N*，不等式 λTn<n＋8·(－1)n 恒成立，求实数 λ 的
的性质即可．
思想方法解读
第一讲
(2)应用方程思想主要解决以下类型的问题：
①根据已知条件，如题中的条件等式、某一个公式，列出方程
或不等式，解之即可；这是一类常见的问题，各知识点中都有此类
本 型的题目；
讲 栏
②直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程的综合性问题，需要转
目 开
化为方程(组)，讨论方程(组)的解，或结合图形求解等；
①－②得：12Tn＝12－222＋2213＋…＋21n－22nn－＋15
＝121－2n1－2－22nn－＋15，
∴Tn＝1－2n2－n 1 (n≥2)，当 n＝1 时也适合上式．
第一讲
① ②
题型与方法
故 Tn＝1－2n2－n 1 (n∈N*)． ∵2n2－n 1>0 (n∈N*)，∴Tn<1.
题型与方法
第一讲
变式训练 1 如果方程 cos2x－sin x＋a＝0 在(0，π2]上有解，求 a 的 取值范围．
解 把方程变形为 a＝－cos2x＋sin x.
本 讲 栏
设 f(x)＝－cos2x＋sin x(x∈(0，π2])．
目 开
显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时，a＝f(x)有解．
关方
程或不等式问题加以解决；
④立体几何问题，可以通过空间向量的运算解决问题，其中主
要用到方程思想求解有关的量，例如求平面的法向量，求线段的长
度、确定点的位置，一般都是列方程(组)求解．
题型与方法
第一讲
本 讲
题型一
利用函数与方程思想解决方程、不等式问题
(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，若152≤|FA|·|FB|≤178，求
目 开
直线 l 的斜率的取值范围．
关 解 (1)由(1＋3m)x－(3－2m)y－(1＋3m)＝0，
得(x－3y－1)＋m(3x＋2y－3)＝0，
由x3－x＋3y2－y－1＝3＝0，0， 解得 F(1,0)． 设椭圆 C 的标准方程为ax22＋by22＝1 (a>b>0)，
3 6·
m－4212－m2，
其中 m∈(－2 3，0)∪(0,2 3)．
令 u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2 3，2 3]， u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)
＝－4(m－4)(m－1－ 7)(m－1＋ 7)．
所以当且仅当 m＝1－ 7时，u(m)取到最大值．
第一讲
本
当 n≥2 时，Tn＋1－Tn＝1－22nn＋＋11－1－2n2－n 1
讲 栏 目
＝22nn－＋13>0，∴Tn<Tn＋1 (n≥2)．
开 关
∵T1＝12，T2＝1－34＝14，∴T2<T1.
故 Tn≥T2，即 Tn≥14 (n∈N*)．
综上，14≤Tn<1 (n∈N*)．
x1＋x2＝m， 则 Δ＝3(12－m2)>0，x1x2＝m23－3.
第一讲
题型与方法
所以|AB|＝
1＋k2·|x1－x2|＝
39 6·
12－m2，
设点 P 到直线 AB 的距离为 d，
本
则 d＝ |83－2＋2m2|2＝2|m1－34|.
讲 栏
设△ABP 的面积为 S，
目 开 关
则
S＝12|AB|·d＝
关 ∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝(sin x＋12)2－54.
且由 x∈(0，π2]知 sin x∈(0,1]．
易求得 f(x)的值域为(－1,1]．
故 a 的取值范围是(－1,1]．
题型与方法
第一讲
题型二 利用函数与方程思想解决数列问题
例 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝n2－4n＋4.
目 开
取值范围．
关 解 (1)在 a2n＝S2n－1 中，令 n＝1，n＝2，
得aa2212＝ ＝SS13， ，
即aa21＝ 1＋ad1， 2＝3a1＋3d，
解得 a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.
题型与方法
第一讲
∵bn＝an·a1n＋1＝2n－112n＋1
＝122n1－1－2n1＋1，