高二联赛班秋季第9讲解析几何(2)

本讲的目标是熟练应对一试解析几何大题.
近三年来的命题趋势是，一试解几大题难度向高考难度趋近，一般来说是一道圆锥曲线类的综合问题，同时与不等式、向量、数列包括数论（不定方程等）相联系；
当与不等式相联系时，一般来说以均值为主；
与数论相联系时，往往会给出一些参数，在确定参数过程中可能需要用到不定方程等数论知识； 与数列相联系的问题往往给出的是一个递归定义的图形和式子，问题归结为对某个等比或递归数列求和，最后还有可能与极限相联系，这种问题实际上在高考模拟题中也多有出现；
【例1】 椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥， 则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．
【例2】 设曲线C 1:1222
=+y a
x (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x +m )在x 轴上方公有一个公共点P ． ⑴ 实数m 的取值范围（用a 表示）；
经典精讲
知识点睛
第9讲
解析几何 （2） 9.1解析几何综合
⑵ O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a <
2
1时，试求△OAP 的面积的最大值 （用a 表示）.
【例3】 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点P
刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当P 取遍圆周上所有点时， 求所有折痕所在直线上点的集合．
【例4】 如题图，P 是抛物线22210y x y -+-=上的动点，点B C ,在
直线1x =-上，圆22(1)1x y ++=内切于PBC ∆，求PBC ∆面
积的最小值．
【例5】AB为2
=-上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．
1
y x
【例6】 设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆22
11612
x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线22
1412
x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
【例7】 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12
-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明对于
任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m m y x 为抛物线12
-=kx y 与直线x y =的一个交点.
【例8】 过抛物线22y px =(p 为不等于2的素数)的焦点F,作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线
于M,N 两点,线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点,交x 轴于Q 点.
⑴ 求PQ 中点R 的轨迹L 的方程;
⑵ 证明:L 上有无穷多个整点,但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.
【例9】 在x 轴同侧的两个圆：动圆1C 和圆024442
2222=+--+b ay abx y a x a 外切 （0,,≠∈a N b a ），且动圆1C 与x 轴相切，
⑴ 求动圆1C 的圆心轨迹方程L;
⑵ 若直线069584)17(422=-++--a a b ay abx 与曲线L 有且仅有一个公共
点，求b a ,之值。

【演练1】平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5
435+=
x y 的距离中的最小值是
【演练2】在椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B. 若该椭圆的离心率是2
15-，则∠ABF=__________________.
【演练3】过椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>中心的弦AB,(,0)F c 是右焦点,求AFB ∆的最大面积
【演练4】已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且OM ON ⊥, (O 为原点),
当椭圆的离心率]32
e ∈时, 椭圆长轴长的取值范围是 .
实战演练
【演练5】设椭圆22126x y +=有一个内接PAB ∆,射线OP 与x 轴正向成3
π角,直线AP,BP 的斜率 适合条件0AP BP k k +=.
⑴ 求证:过A,B 的直线的斜率k 是定值;
⑵ 求PAB ∆面积的最大值.
【演练6】在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线：4x =相切
⑴ 求圆O 的方程
⑵ 圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，
求PA PB ⋅的取值范围。

【演练7】设中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
⑴ 若6ED DF =，求k 值；
⑵ 求四边形AEBF 面积的最大值．。