高中二年级数学 第二章 章末测试题(B)

第二章章末测试题(B)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等差数列－2，0，2，…的第15项为()
A．112B．122
C．13 2 D．142
答案C
解析∵a1＝－2，d＝2，
∴a n＝－2＋(n－1)×2＝2n－2 2.
∴a15＝152－22＝13 2.
2．若在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a2n－1(n∈N*)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()
A．－1 B．1
C．0 D．2
答案A
解析由递推关系式，得a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1.
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.
3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()
A．33个B．65个
C．66个D．129个
答案B
解析设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n}．
则⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，
即a n ＋1－1a n －1＝2.
∴a n －1＝1·2n －1，∴a n ＝2n －1＋1，∴a 7＝65.
4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( )
A.1
4 B.94 C.134 D.174
答案 C
解析 由题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧
8a 1＋8×(8－1)d 2＝30，
4a 1＋4×(4－1)d 2＝7，解得⎩⎨⎧
a 1＝14，
d ＝1.
故a 4＝a 1＋3＝134.
5．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝1
2，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )
A ．[1
2，2) B ．[1
2，2] C ．[1
2，1) D ．[1
2，1] 答案 C
解析 依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝1
2a n ，所以数
列{a n }是以12为首项，1
2为公比的等比数列，所以S n
＝12(1－12n )1－12＝1－1
2n ，
所以S n ∈[1
2，1)．
6．小正方形按照如图所示的规律排列：
每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．①
答案 C
解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝3；当n ＝3时，a 3＝6；当n ＝4时，a 4＝10，…，观察图中规律，有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 5＝15.故①④正确．
7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －3
3a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( )
A ．0
B ．－3 C. 3 D.32
答案 B
解析 由a 1＝0，a n ＋1＝a n －3
3a n ＋1
(n ∈N *)，
得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…，由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3，∴a 20＝a 2＝－ 3.
8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ
3n }为等差数列的实数λ＝( )
A ．2
B ．5
C ．－12 D.1
2
答案 C
解析 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ
3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－1
2.
9．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )
A ．S 17
B ．S 18
C ．S 19
D ．S 20 答案 C
解析 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，∴a 11＋a 10>0. S 20＝
20(a 1＋a 20)
2
＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝19(a 1＋a 19)2
＝192·2a 10<0. 10．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )
A ．34 950
B ．35 000
C ．35 010
D ．35 050
答案 A
解析 在“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列．因前99组数的个数共有(1＋99)×992
＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950
. 11．(2019·新课标)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )
A ．7
B ．5
C ．－5
D ．－7
答案 D
解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝－2，
a 7＝4.
当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4a 7＝－2时，q 3＝－12，故a 1＋a 10＝a 4
q 3＋a 7q 3＝－7； 当⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝－2a 7＝4
时，q 3＝－2，同理，有a 1＋a 10＝－7. 12．(2019·全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1
a n a n ＋1
}的前100项和为( )
A.100101
B.99
101 C.99100 D.101100
答案 A
解析 S 5＝5(a 1＋a 5)2
＝5(a 1＋5)
2＝15，∴a 1＝1.
∴d ＝a 5－a 15－1＝5－15－1＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .
∴
1a n a n ＋1＝1n (n ＋1).设{1a n a n ＋1
}的前n 项和为T n ， 则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101
＝1－12＋12－13＋…＋1100－1
101 ＝1－1101＝100101.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9
＝________.
答案 24
14．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________. 答案 n (n ＋1)2＋1
解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，
a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2. 将以上各式的两边分别相加，得
a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1 ＝n (n ＋1)2＋1.
15．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3
2a n －3，则数列{a n }的通项公式是________．
答案 a n ＝2·3n
解析 n ≥2时，S n ＝3
2a n －3，① S n －1＝3
2a n －1－3，②
①－②知a n ＝32a n －32a n －1，即12a n ＝3
2a n －1. ∴
a n a n －1
＝3，由S n ＝32a n －3，得S 1＝a 1＝3
2a 1－3. 故a 1＝6，∴a n ＝2·3n .
16．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2，第二层价格为a 元/m 2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a
100 元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________．
答案 1
23(a 1＋a 2＋23.1a ) 元/m 2
解析 设第二层数列到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a
100，共21项，所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ，故平均价格为123
(a 1＋a 2＋23.1a ) 元/m 2
. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列．求数列{a n }前20项的和S 20.
解析 设公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝10，a 26＝a 3·a 10，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋3d ＝10，(a 1＋5d )2
＝(a 1＋2d )·(a 1＋9d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，d ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝7，d ＝1.
∴S 20＝200或S 20＝330.
18．(12分)(2019·新课标全国Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．
(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 解析 (1)设{a n }的公差为d .
由题意，a 2
11＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．
于是d (2a 1＋25d )＝0.
又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.
(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.
由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n
2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n . 19．(12分)已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3){－4，
－3，－2,0，1,2,3,4}．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)当b n ＝1－(－1)n 2a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1
<16
3. 解析 (1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数．
又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}， ∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝1
2.
∴a n ＝a 1q
n －1
＝82n .
(2)由已知得b n ＝8[1－(－1)n ]
2n ＋1
，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n .
即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
0，(n ＝2k ，k ∈N *)，
a n ，(n ＝2k －1，k ∈N *
).
∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1 ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1
＝4[1－(14)n
]
1－14
＝163[1－(14)n ]<16
3.
20．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .
解析 (1)由a n ＋S n ＝1，得a n ＋1＋S n ＋1＝1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0. ∴2a n ＋1＝a n ，即a n ＋1＝12a n .
又n ＝1时，a 1＋S 1＝1，∴a 1＝12.又a n ＋1a n ＝1
2，
∴数列{a n }是首项为12，公比为1
2的等比数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝12·(12)n －1＝(1
2)n .
(2)b n ＝3＋log 4(12)n ＝3－n 2＝6－n
2. 当n ≤6时，b n ≥0， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (11－n )
4
； 当n >6时，b n <0，
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b 6－(b 7＋b 8＋…＋b n ) ＝6×54－[(n －6)(－12)＋(n －6)(n －7)2·(－12)] ＝n 2－11n ＋604
. 综上，T n
＝⎩⎨⎧
n (11－n )
4
(n ≤6)，n 2
－11n ＋60
4 (n ≥7).
21．(12分)(2019·湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.
(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；
(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
n .若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．
解析 (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，此时a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；
当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为3
4的等比数列，又a 6
＝70，所以a n ＝70×(34)n －6
.
因此第n 年初，M 的价值a n 的表达式为
a n ＝⎩⎨⎧ 130－10n ，n ≤6，
70×(34)n －6，n ≥7.
(2)证明 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式，得
当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；
当n ≥7时，由于S 6＝570，故
S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )
＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]
＝780－210×(34)n －6.
A n ＝780－210×(34)n －6n
. 易知{A n }是递减数列．
又A 8＝780－210×(34)28＝824764>80，
A 9＝780－210×(34)39
＝767996<80， 所以需在第9年初对M 更新．
22．(12分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n
＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．
解析 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.
因此a 2＋a 4＝20，即有⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎨⎧ q ＝12
，a 1＝32.
又数列{a n }单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝2，a 1＝2.故a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n ·log 12
2n ＝－n ·2n ，
∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.② ①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2
n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.
∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立．
∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立．
∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．。