中考数学复习 难题突破题型(二)“k”字型相似研究课件浙教级数学课件

图 Z2-4
类型2 “K”字型相似基本图形2
【应用】
1.如图 Z2-4,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是梯形,CB∥OA,OC=BA,OA=7,BC=1,AB=5,点 P 为 x 轴上
的一个动点,点 P 不与点 O,A 重合.连结 CP,过点 P 作 PD 交 AB 于点 D.
(2)当点 P 在线段 OA 上运动时,使得∠CPD=∠OAB,且 BD∶AD=3∶2,求点 P 的坐标.
2 +
22
3
= 3,
= 6,
解得 1
(舍去) 2
∴B(6,2),∴AB=5.
1 = 6,
2 = 2,
,
∵∠BAE=∠BED,∠ABE+∠BAE=∠DEO+∠BED,∴∠ABE=∠DEO.




∵∠BAE=∠EOD,∴△ABE∽△OED.设 OE=a,则 AE=3 5-a(0<a<3 5).由△ABE∽△OED 得 =
2.如图 Z2-7,在矩形 ABCD 中,把矩形沿 AF 对折,使得点 D 与 CB 边上的点 E 重合,若 AD=10,AB=8,则
EF=
5
.
图 Z2-6
图 Z2-7
类型17·攀枝花] 如图 Z2-8,D 是等边三角形 ABC 边 AB 上的点,AD=2,BD=4.现将△ABC 折叠,使得点 C 与
∵∠CPA=∠OCP+∠COP,即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP,




而∠CPD=∠OAB=∠COP,∴∠OCP=∠APD,∴△OCP∽△APD,∴ = .

∵

3
图 Z2-4
= ,∴AD=2.
2
设 OP=x,OC=AB=5,AP=7-x,∴
5
7-

= ,
2
解得 x=2 或 x=5,∴点 P 的坐标为(2,0)或(5,0).
类型2 “K”字型相似基本图形2
【分层分析】
(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系?
(2)如何证明∠E=∠CDF?
类型2 “K”字型相似基本图形2
【应用】
1.如图 Z2-4,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是梯形,CB∥OA,OC=BA,OA=7,BC=1,AB=5,点 P 为 x 轴上
(2)先求出线段AB的长,由已知条件∠BAE=∠BED=∠AOD,可得到“K”字型相似的基本图形2,故可得
到△ABE∽△OED,设OE=a,则由对应边的比例关系可以得到关于a的一元二次方程,然后根据根的判别式
可以分别得到a的值分别为1个,2个时m的取值范围.
【方法点析】
“K”字型相似基本图形2,根据三个角相等,联想到“K”字型基本图形1,便于快速找到相似三角形,
图 Z2-11.
数的性质求出最小值即可.
类型2 “K”字型相似基本图形2
7.如图 Z2-12,在四边形 ABCD 中,已知 AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在线段 BC 上任取一点 E,连结
DE,作 EF⊥DE,交直线 AB 于点 F.
(1)若点 F 与 B 重合,求 CE 的长;
点 F,使得∠DEF=120°.
(1)当点 E 是 AB 的中点时,线段 DF 的长度是
(2)若射线 EF 经过点 C,则 AE 的长是
;
.
图 Z2-10
类型2 “K”字型相似基本图形2
[答案] (1)6
(2)2 或 5
[解析] (1)过点 E 作 EG⊥DF,由 E 是 AB 的中点,得出 DG=3,从而得出∠DEG=60°,由∠DEF=120°,得∠
分别交△CAB 的两腰 CA,CB 于 M,N 两点.若 CA=5,AB=6,AD∶
型相似可得△AMD 和△BDN 相似,根据
AB=1∶3,则 MD+
12
·
的最小值为__________
c
相似三角形对应边成比例可得


=


,
求出 MA·DN=4MD,再将所求代数式整
理得出完全平方的形式,然后根据非负
破口.
类型1 “K”字型相似基本图形1
例 1 条件:如图 Z2-1,B,C,E 三点共线,∠B=∠ACD=∠E=90°.
图 Z2-1
结论:△ABC∽△CED.
证明: 证明过程略.
【分层分析】
(1)证明两个三角形相似有哪些方法?
(2)除了∠B=∠E=∠ACD之外,图中还可以找出哪些角相等?
类型1 “K”字型相似基本图形1
的一个动点,点 P 不与点 O,A 重合.连结 CP,过点 P 作 PD 交 AB 于点 D.
(1)直接写出点 B 的坐标:
;
过点 B 作 BQ⊥x 轴于点 Q.
∵AB=OC,
∴AQ=(7-1)÷2=3.
在 Rt△BQA 中,BA=5,
由勾股定理,得 BQ= 2 -2 =4,∴点 B 的坐标为(4,4).
【应用】
[答案] (2,0)
如图 Z2-2,已知点 A(0,4),B(4,1),BC⊥x 轴于点 C,点 P 为线段 OC
[解析] ∵PA⊥PB,∴∠APO+∠BPC=90°.
上一点,且 PA⊥PB,则点 P 的坐标为
∵AO⊥x 轴,∴∠APO+∠PAO=90°,∴∠
.
PAO=∠BPC.又∵BC⊥x 轴,AO⊥x 轴,∴
类型2 “K”字型相似基本图形2
【分层分析】
(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q,依题意可得OQ=4,AQ=3,已知AB=5,根据勾股定理求出QB即可解答.
(2)根据“K”字型相似,图中可以找到哪两个三角形相似?根据相似三角形又可以得到怎样的比例式?
类型2 “K”字型相似基本图形2
4
22
27
3
2.如图 Z2-5,已知直线 y=kx 与抛物线 y=- x2+ 交于点 A(3,6).
类型2 “K”字型相似基本图形2
4
22
27
3
2.如图 Z2-5,已知直线 y=kx 与抛物线 y=- x2+ 交于点 A(3,6).
(1)求直线 y=kx 的函数表达式和线段 OA 的长度.
把点 A(3,6)的坐标代入 y=kx,得 6=3k,
∴k=2,∴y=2x,OA= 32 + 62 =3 5.
如图,延长 AB 交 x 轴于点 F,过点 F 作 FC⊥OA 于点 C,过点 A 作 AR⊥x 轴于点 R.
1
3
2
2
∵∠AOD=∠BAE,∴AF=OF,∴OC=AC= OA=
5.


3 5


3
∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,∴△AOR∽△FOC,∴ = =
OF=
3
2
15
图 Z2-5
(1)求直线 y=kx 的函数表达式和线段 OA 的长度.
(2)若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点,点 E 在线段 OA 上(与点 O,A 不重合),点 D(m,0)是 x 轴正半轴上的动
点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.探究:m 在什么范围内时,符合条件的点 E 分别有 1 个,2 个?
例 2 条件:如图 Z2-3,B,D,C 三点共线,∠B=∠EDF=∠C=∠α.
图 Z2-3
结论:△BDE∽△CFD.
证明: ∵∠B=∠EDF=∠C=∠α,
由外角性质可知∠EDC=∠B+∠E=∠α+∠E.
又∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠α+∠FDC,
∴∠E=∠FDC.
又∵∠B=∠C, ∴△BDE∽△CFD.
3 5-
,即
5

= ,∴

a2-3 5a+5m=0.
9
9
4
4
依题意得 m>0,∴当 Δ=0,即(-3 5)2-20m=0,m= 时,符合条件的点 E 有 1 个;当 Δ>0,即(-3 5)2-20m>0,0<m<
时,符合条件的点 E 有 2 个.
类型2 “K”字型相似基本图形2
【分层分析】
(1)利用待定系数法求出直线y=kx的函数表达式,根据A点坐标用勾股定理可求出线段OA的长度.
三角形的对应边成比例即可得出关于 x 的方程,求出 x 的值即可.
类型2 “K”字型相似基本图形2
6. [2017·绵阳] 将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图
[答案] 2 3
Z2-11 放置,点 D 在 AB 边上,△DEF 绕点 D 旋转,腰 DF 和底边 DE
[解析] 先求出 AD=2,BD=4,由“K”字
的一个动点,点 P 不与点 O,A 重合.连结 CP,过点 P 作 PD 交 AB 于点 D.
图 Z2-4
(1)直接写出点 B 的坐标:
;
(2)当点 P 在线段 OA 上运动时,使得∠CPD=∠OAB,且 BD∶AD=3∶2,求点 P 的坐标.
类型2 “K”字型相似基本图形2
【应用】
1.如图 Z2-4,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是梯形,CB∥OA,OC=BA,OA=7,BC=1,AB=5,点 P 为 x 轴上
(2)若点 F 在线段 AB 上,且 AF=CE,求 CE 的长.
图 Z2-12
类型2 “K”字型相似基本图形2
7.如图 Z2-12,在四边形 ABCD 中,已知 AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在线段 BC 上任取一点 E,连结
从而利用相似的有关性质解决问题.
类型2 “K”字型相似基本图形2
针对训练
1.[2017·常州] 如图 Z2-6,已知矩形 ABCD 的顶点 A,D 分别落在 x 轴、y 轴上,OD=2OA=6,AD∶AB=3∶1,
则点 C 的坐标是 ( A )
A.(2,7)
B.(3,7)
C.(3,8)
D.(4,8)

点 D 重合,折痕为 EF,且点 E,F 分别在边 AC 和 BC 上,则 =

图 Z2-8


.
类型2 “K”字型相似基本图形2
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4.如图 Z2-9,在直角梯形 ABCF 中,CB=14,CF=4,AB=6,CF∥AB,在
[答案] 2 或 12 或
边 CB 上找一点 E,使以 E,A,B 为顶点的三角形和以 E,C,F 为顶点
[解析] 两个三角形相似,可能是△EFC
的三角形相似,则 CE=
∽△EAB,也可能是△EFC∽△AEB,所以应
.
5
c
分两种情况讨论,进而求
CE 的值即可.
图 Z2-9
类型2 “K”字型相似基本图形2
5.如图 Z2-10,在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=120°,AD= 3,AB=6.在底边 AB 上取点 E,在射线 DC 上取
c
∠BCP=∠POA=90°,∴△BCP∽△POA,∴


图 Z2-2

= .∵点 A(0,4),B(4,1),∴AO=4,BC=1,

OC=4.设 P(x,0),则 OP=x,PC=4-x,∴
4
4-

= ,解得 x=2,∴点 P 的坐标为(2,0).
1
类型1 “K”字型相似基本图形1
【分层分析】
TYPE 2
难题突破题型(二) “K”字型相似研究
题型解读
相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外,还有一个“K”
字型相似,也常用于各种相似图形中.“K”字型相似由特殊到一般,题型往
往丰富多彩,也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形.了解一个基
本图形,有助于我们在复杂图形中参透其中的奥秘,从而找到解决问题的突
图 Z2-5
类型2 “K”字型相似基本图形2
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3
2.如图 Z2-5,已知直线 y=kx 与抛物线 y=- x2+ 交于点 A(3,6).
(2)若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点,点 E 在线段 OA 上(与点 O,A 不重合),点 D(m,0)是 x 轴正半轴上的动
点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.探究:m 在什么范围内时,符合条件的点 E 分别有 1 个,2 个?
(1)根据“K”字型相似,图中可以找到哪两个三角形相似?根据相似三角形又可以得到怎样的比例式?
(2)设P(x,0),则根据比例式列出方程即可求得x的值,从而得到点P的坐标.
【方法点析】
“K”字型相似基本图形1,在于寻找三个直角相等,熟记基本图形有利于快速找到相似三角形,从而通
过建立方程解决问题.
类型2 “K”字型相似基本图形2

FEG=60°,由 tan∠FEG= ,即可求出 GF 的长,进而得出 DF 的长.

(2)过点 B 作 BH⊥DC,延长 AB,过点 C 作 CM⊥AB 于点 M,则 BH=AD= 3,再由锐角三角函数的定义求出
CH 及 BC 的长,设 AE=x,则 BE=6-x,利用勾股定理用 x 表示出 DE 及 EC 的长,再判断出△EDC∽△BCE,由相似
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2
2
5× 5= ,∴点 F 的坐标为
,0 .
设直线 AF 的函数表达式为 y=ax+b(a≠0),把点 A(3,6),F
4
4
3
3
a=- ,b=10,∴y=- x+10.
= 5,∴
15
2
,0 的坐标代入,解得
图 Z2-5
类型2 “K”字型相似基本图形2
4
由
= - + 10,
=-
3
4
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