高考数学 3-2-1精品系列专题15 几何证明选讲(教师版)

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题15 几何证明选讲（教师版）
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布 2012考纲解读
考纲原文（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理（2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理（3）会证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理 考纲解读
“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型1比例问题平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.
近几年考点分布
几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.
【名师点睛】平行线分线段成比例定理一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比．
考点二、相似三角形判定与性质
例2、在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为腰AB 上一点，AD ＝DC ，且AD 2＝AB ·BD ，求证：∠A ＝36°. 【证明】 过点D 作DE ∥BC ，交AC 于E .∴∠EDC ＝∠BCD ，BD ＝CE . ∵AD 2＝AB ·BD ，AD ＝DC ，AB ＝AC ，∴AD AB ＝BD AD ＝CD AC ＝CE
AD .
又∠ECD ＝∠DCA ，∴△ECD ∽△DCA ，∴∠EDC ＝∠A .又AD ＝CD ，
∴∠A ＝∠DCE ，∴∠BCD ＝∠ACD ＝∠A ，∴∠BCA ＝∠BCD ＋∠ACD ＝2∠A .
又AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ＝2∠A .∴∠A ＋∠B ＋∠BCA ＝5∠A ＝180°，∴∠A ＝36°. 【名师点睛】运用相似三角形性质解题的关键在于求出相似比，在具体论证过程中，往往是相似三角形的判定定理和性质定理结合运用，由判定三角形相似得到角相等或对应线段成比例的过程反复运用，从而达到解决问题的目的
考点三、直角三角形射影定理
例3、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E .试证明： (1)AB ·AC ＝BC ·AD ；(2)AD 3＝BC ·CF ·BE .
【证明】 (1)Rt△ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝1
2BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .
(2)Rt△ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD 2
＝BE ·AB ，
同理CD 2
＝CF ·AC ∴BD 2
·CD 2
＝BE ·AB ·CF ·AC .又Rt△BAC 中，AD ⊥BC ，
∴AD 2
＝BD ·DC ，∴AD 4
＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD .即AD 3
＝BC ·CF ·BE .
考点五、圆的切线的性质及判定
例5、在△ABC 中，∠C ＝90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB
于D ，
⊙O 是△BDE 的外接圆．求证：AC 是⊙O 的切线 【证明】 连接OE ，因为OE ＝OB ，
所以∠OEB ＝∠OBE .
又因为BE 平分∠CBD ，
所以∠CBE ＝∠OBE ，所以∠OEB ＝∠CBE ，所以EO ∥CB .
因为∠C ＝90°，所以∠AEO ＝90°，即AC ⊥OE .因为OE 为⊙O 的半径，所以AC 是⊙O 的切线．
【名师点睛】证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连接圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点),则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径． 考点六、圆周角和弦切角
例6、如图，已知圆上的弧AC ＝BD ，过C 点的圆的切线与BA
的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC
2
＝BE ×CD .
【证明】(1)因为AC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠ABC .
又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ，所以∠ACE ＝∠BCD .
(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ，所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CD BC
，即BC 2
＝BE ×CD . 【名师点睛】(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．
(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．
【名师点睛】涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线段;也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．
【三年高考】10、11、12高考试题及其解析
12高考试题及其解析
一、填空题选择题
1 ．（2012年高考（天津文））如图,已知AB 和AC 是圆的两条
弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C
作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点
F ,3AF =,1FB =,3
2
EF =
,则线段CD 的长为____________.
【解析】如图连结BC,BE,则∠1=∠2,∠2=∠A 1A ∠=∠∴,又
∠B=∠B,CBF ∆∴∽ABC ∆,AC
CF
AB CB BC BF AB CB ==∴
,,代入数值得BC=2,AC=4,又由平行线等分线段定理得
D
FB AF CD AC =,解得CD=3
4
.
2 ．（2012年高考（陕西文））如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,
垂足为E,EF DB ⊥,垂足为F,若6AB =,1AE =,则
DF DB ⋅=______.
【解析】5BE =,2
5DE AE EB =⋅=,DE 在Rt DEB D 中,2
5DF DB DE ⋅==
4 ．（2012年高考（江西理））在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的
中点,则22
2
||||||PA PB PC +=
（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．10
【解析】特殊的等腰直角三角形,不妨令4AC BC ==,则AB =CD =
1
2AB =1
||2
PC PD CD ===PA PB ===
=所以222||||1010
10||2
PA PB PC ++==.
5 ．（2012年高考（北京理））如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,
以BD 为直径的圆与BC 交于点E,则 （ ）
A ．CE·CB=AD·D
B B ．CE·CB=AD·AB
C ．AD·AB= 2
CD
D ．CE·EB= 2
CD
【解析】由切割线定理可知
2
C E C B
C D ⋅=,在直角ABC
∆
中,90,ACB CD AB ∠=︒⊥,则由射影定理可知2
CD AD DB =⋅,所以
C E C B A
D D
⋅=⋅. 3．（2012年高考（陕西理））如图,在圆O 中,
直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF DB ⊥,
垂足为F,若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅=__________. 【解析】2
5DE AE EB =⋅=
,DE =, 在Rt DEB D 中,2
5DF DB DE ⋅==
4．（2012年高考（湖北理））(选修4-1:几何证明选讲)如图,点D 在
O 的弦AB 上移动,4AB =,连接OD ,过点D 作OD 的垂线交
O 于点C ,则CD 的最大值为__.
【解析】 (由于,CD OD ⊥因此22OD OC CD -=,线段OC 长为定值,
即需求解线段OD 长度的最小值,根据弦中点到圆心的距离最短,此
时D 为AB 的中点,点C 与点B 重合,因此2||2
1
||==
AB CD . 5．（2012年高考（广东理））(几何证明选讲)如图3,圆O 的半
径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=︒,
过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =__________. 【解析】连接OA ,则60AOC ∠=︒,90OAP ∠=︒,因为1OA =,
所以PA
二、解答题
6．（2012年高考（辽宁文））选修4-1:几何证明选讲
如图,⊙O 和⊙/
O 相交于,A B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连接
DB 并延长交⊙O 于点E .证
明
【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。

证明：（1）由AC 与O 相切于A ，得=C A B A D B ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠，所以ACB DAB ∆∆。

从而=AC AB
AD BD
，即=AC BD AD AB ……4分 （2）由AD 与O 相切于A ，得=A E D B A D ∠∠，又=A D E B D A ∠∠，得E A D A B D ∆∆
从而=AE AD AB BD
，即=AE BD AD AB ，综合（1）的结论，=AC AE ……10分
7．（2012年高考（新课标理））选修4-1:几何证明选讲
如图,,D E 分别为ABC ∆边,AB AC 的中点,直线DE 交
ABC ∆的外接圆于,F G 两点,若//CF AB ,证
明:(1)CD BC =;(2)BCD GBD ∆∆ 【解析
】
(1)
//CF AB ,
//////DF BC CF BD AD CD BF ⇒⇒=
//CF AB AF BC BC CD ⇒=⇔= (2)//BC GF BG FC BD ⇒==
//BC GF GDE BGD DBC BDC ⇒∠=∠=∠=∠⇒BCD
GBD ∆∆
8．（2012年高考（辽宁理））选修4-1:几何
证明选讲 如图,⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连接DB 并延长交⊙O 于点E .
证明
F
G
【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。

证明：（1）由AC 与O 相切于A ，得=C A B A D B ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠，所以ACB DAB ∆∆。

从而
=AC AB
AD BD
，即=AC BD AD AB ……4分 （2）由AD 与O 相切于A ，得=A E D B A D ∠∠，又=A D E B D A ∠∠，得E
A D A
B D ∆∆
从而=AE AD AB BD
，即=AE BD AD AB ，综合（1）的结论，=AC AE ……10分 【点评】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小.
11年高考试题及解析
一、选择题
（2011北京理5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②
AF·AG=AD·AE
③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③ 【答案】A
二、填空题
1.（天津理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E
是AB 延长线上一点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________.
【答案】
2
5.（广东理15）（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外
一点p分别作
圆的切线和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点
使得BC=5，∠BAC=∠APB, 则AB= 。

6.（辽宁理22）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与
BC的延长线交于E点，且EC=ED．（I）证明：CD//AB；（II）延长CD 到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
证明：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A，B，C，D
四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB.……5分
（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC.
连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，
又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.故A，B，G，F四点共圆…………10分
x 2=12.故 AD=2，AB=12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.
由于∠A=900，故GH ∥AB ，HF ∥AC. HF=AG=5，DF= 2
1
(12-2)=5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆
的半径为2010年高考试题及解析 一、填空题
1.（2010北京理）如图，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A 。

若BD AE ，AB ＝4, BC ＝2, AD ＝3,则DE ＝ ；CE ＝ 。

【答案】5
2.（2010天津文）（11）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。

若PB=1，PD=3，则BC AD
的值为 。

【答案】
13
【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。

因为A,B,C,D 四点共圆，所以,DAB PCB CDA PBC ∠=∠∠=∠,因为P ∠为公共角，所以
⊿PBC ∽⊿PAB,所以
=BC PB AD PD =1
3
【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。

3.（2010天津理）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若
P B 1P C 1
=,=P A 2P D 3
,
则
BC
AD
的值为 。

4.（2010广东理）（几何证明选讲选做题）如图3，AB ，CD 是半径
为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD=23
a
，∠OAP=30°，则CP ＝______.
【答案】98
a 因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知， OP AB ⊥.
在Rt OPA ∆中，3
cos30BP AP a ===
.由相交线定理知，
BP AP CP DP ⋅=⋅
，即
2
223
a a CP a
⋅=⋅，所以
9
8
CP a
=．
二、简答题
6.（2010江苏卷）21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题
．．．．．．．，并在相应
．．．．
的答题区域内作答
．．．．．．．．。

若多做，则按作答的前两题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A．选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O
的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：
AB=2BC。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。

（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。

因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。

又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。

3.（2012年丰台二模理11）如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，
AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______．
7。

4.（2012年昌平二模理12）如图，AB是⊙O的直径，CD
切⊙O于点D，CA切⊙O于点A，CD交AB的延长线
于点E.若3
AC=，2
ED=，则
P
B
A
E
A
BE =________;AO =________.
答案：1，2
3。

5.（2012年东城二模理12） 如图，直线PC
与O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CE = ．
6.（2012年海淀二模理12）如图， 圆O 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7
, 5, 15
CP PD AP =
==，则=∠DCB ______. 答案：45°。

7、【广东省肇庆市2012届高三第一次模拟理】15．（几何证明选讲选做题）如图2，点P 是
⊙O 外一点，PD 为⊙O 的一切线,D 是切点，割线经过圆心O ，若0
30=∠EFD ，32=PD ，
则=PE ▲
8、【广东省肇庆市2012届高三上学期期末理】14.（几何证明选讲选做题）如图3,PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,2AC =，则BD 等于
B
9、【广东省镇江一中2012高三10月模拟理】（14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点于C ，AD CE ⊥于D ，若AD ＝1，30ABC ∠=︒，则圆
O 的面积是＿＿＿＿．
【答案】4π
10、【广东省肇庆市2012届高三第二次模拟理】15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 的
延长线上任取一点C ，过C 作圆的切线CD ，切点为D ，ACD ∠的平分线交AD 于E ,则
CED ∠= ▲ .
【答案】45°.
【解析】连接BD ，BD 与EC 相交于点F ，设1CED ∠=∠，2DFE ∠=∠
1A ACE ∠=∠+∠,2CD B ECD ∠=∠+∠，CD B A ∠=∠， ECD ACE ∠=∠，12∴∠=∠，而90ADB ∠=，CED ∴∠=45°. 11【广东省云浮中学2012届高三第一次模拟理】15．（几何证明选讲选做题）如图，点M 为
O 的弦AB 上的一点，连接MO .MN OM ⊥，MN 交圆于N ，若2MA =，
4MB =，则MN = .
O
N
M
B
A
【答案】12【广东省镇江二中2012高三第三次月考理】15．（几何证明选讲）如图，圆O 的直径8=AB ，
C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线A
D ，D 为垂足，
AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 ．
14【广东省粤西北九校2012届高三联考理】14．（几何证明选讲选做题）
如图，已知：ABC △内接于O 圆，点D 在OC 的延长线上，AD 是⊙O 的切线，若30B ∠=︒， 2=AC ，则OD 的长为 。

【答案】4
15【广东省深圳市松岗中学2012届高三理科模拟（4）】14．（《几何证明选讲》选做题）
如图，在△ABC 中，60A ∠=，70ACB ∠=，CF 是△ABC 的边AB 上的高，
FP BC ⊥于点P ，FQ AC ⊥于点Q ，则 CQP ∠的大小为 ．
17【广东省深圳高级中学2012届高三上学期期末理】15．（几何证明选讲选做题）如图，
AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于D ，若AD =1，30ABC ∠=，
则圆O 的面积是_________。

【答案】4π 【解析】，因为直线CE 和圆O 相切于点C ，连接OC ，则DE OC ⊥,又AD CE ⊥，所以OC//AD,又30ABC ∠=，在直角三角形ACB 中，0
60=∠AOC ,三角形AOC 为正三角形，所以
060=∠=∠ACD ACO ,所以030=∠ACD ,所以2==R AC ,所以圆的面积为π4。

20【广东省茂名市2012年第二次高考模拟理】15. （几何证明选做题）如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为
切点，割线PEF 经过圆心O ，若12PF =，PD = 则⊙O 的半径长为 ． 【答案】4
21【广东省梅州中学2012届高三第二次月考试理】15．（几何证明
选讲选做题）
如图，已知：ABC △内接于O ，点D 在OC 的延长线上，AD
是
O 的切线，
若30B ∠=︒，1AC =，则AD 的长为 ．
22【广东省韶关市2012届高三模拟理】14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则
AD
AC
= ;
24【广东省江门市2012届高三调研测试（理）】⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，72=CD ，
3==BC AB ，则=AC ．
【答案】
2
7
3 25【广东省惠州市2012届高三一模（四调）考试（理数）】15．（几何证明选讲选做题）如图，已知直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，4BC =，3AC =，以AC 为直径作圆O 交
AB 于D ，则CD =_______________．
第15题图
【答案】
5
12 【解析】ADC ∠为直径AC 所对的圆周角，则90ADC ∠=，在R t A CB ∆
中，CD AB ⊥，由等面积法有AB CD CA CB ⋅=⋅，故得12
5
CD =
． 26【广东省佛山一中2012届高三上学期期中理】15.如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，
如果∠E ＝460，∠DCF ＝320
，则∠A 的大小为 ． 【答案】
99
28【广东省佛山市2012届高三第二次模拟理科二】15.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,
且
DF CF ==:::4:2:1AF FB BE ,若CE
与圆相切,则线段CE 的长为 ．
29【2012届广东韶关市高三第一次调研考试理】15．（几何证明选讲选做题）
已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为
22，3AB =，则切线AD 的长为____________.
（第15小题）
30【2012广东高三第二学期两校联考理】15．（几何证明选做题）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，025MAB ∠=，则=∠D .
【答案】1150
32【2012广州一模理】14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦
AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且
1
3
CP CD =，则CD 的长为 cm ．
【答案】33【广东省执信中学2012届高三上学期期末理】14、（几何证明选讲选做题）如图， PA 与
N
图3
圆O 相切点A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=
，PA =1PC =，则PB = ▲ ；圆O 的半径等于 ▲ ．
34【广东省执信中学2012届高三3月测试理】15、如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB
的延长线于点D ，3CD AB BC ===，则AC 的长为 ．
35【2012年广东罗定市罗定中学高三下学期第二次模拟理】22．（本小题满分10分）选修4
—1：几何证明选讲
已知AD 是△AB C 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC .（1）求证：FB =FC ；（2）若AB 是△ABC 外接圆的直径， ∠EAC =120
°，BC
=6，求AD 的长.
36、（2012河南豫南九校2012届高三第四次联考试题）
已知∆ABC 中，AB=AC, D 是 ∆ABC 外接圆劣弧AC 弧上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。

37、（陕西省高新一中2012届高三第十一次大练习题）
(几何证明选讲选做题) 如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，弧AC AE 弧=，DE 交AB 于F ，且42==BP AB ，则=PF _______3
38、（东北三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2012届高三下学期第二次模拟）
如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N,过N 点的切线交CA 的延长线于P 。

（1）求证：PM 2
=PA ·PC
（2）若⊙O
的半径为
求：MN 的长
解：(Ⅰ) 连结ON ，则PN ON ⊥，且OBN ∆为等腰三角形，则
ONB OBN ∠=∠，OBN OMB PMN ∠-=∠=∠ 90，ONB PNM ∠-=∠ 90
P N M P M N ∠=∠∴，PN PM =∴．……3分
由条件，根据切割线定理，有 PC PA PN ⋅=2，所以PC PA PM ⋅=2
．……5分
(Ⅱ)2=OM ，在BOM Rt ∆中，422=+=OM OB BM ．
延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN ．由条件易知
A
BOM ∆∽BND ∆，于是
BD
BM
BN BO =， 即
3
44
32=
BN ，得 6=BN ． ……8分 所以246=-=-=BM BN MN . ……10分
2011模拟试题及答案
1、(2011朝阳二模理13)如图，PA 与圆O 相切点A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=
，PA =1PC =，则
PB = 12 ；圆O 的 半径等于 7 ．
2、（2011昌平二模理12）、如图，⊙O 中的弦CD 与直径
AB 相交于
点E ，M 为AB 延长线上一点，MD 为⊙O 的切线，D 为切点，若2AE =，4DE =，3CE =，4DM =，则
=OB ____4____,
MB = 424- ．
4、（2011丰台二模理10）．如图所示，DB ，DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知 ∠D =46°，则∠A = 67° ．
D
A
D
C
5、（2011海淀二模理12）如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，
若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为
.
6、（2011顺义二模理11）.如图，AB,CD 是半径a 的圆O 它们相交于AB 的中点P ，a CP 8
9
=
，︒=∠60AOP ,则=PD _____
a 3
2
___________.
7、（2011西城二模理11）．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB
的延长线上，
PD 切圆O 于点C .已知圆O 2OP =，则
PC =_1_____；ACD ∠的大小为__75____.
8、（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研理科）（几何证明选讲） 如图，割线PBC 经过圆心O ，1PB OB ==，PB 绕点O 逆时针旋120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ， 则PE =
.
【解析】在POD ∆中，
2222cos120PD PO OD PO OD ︒=+-⋅=又因为
PB PC PE PD ⋅=⋅
，所以PE =
=
9．（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）（几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于 A B ，的点，CD AB ⊥，
垂足为D ，已知2AD =
，CB =
则CD = ．
15.
222(2)6,12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯=
10、(广东省江门市2011年高考一模文科)（几何证明选讲选做题）如
图3，PT 是圆O 的切线，PAB 是圆O 的割线，若
2=PT ，1=PA ，o 60=∠P ，
则圆O 的半径=r ． 3
13．(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考理科)（几何证明选讲）如图所示，AC 和
AB 分别是圆O 的切线，B 、C 为切点,且OC = 3，AB = 4，
延长OA 到
D 点，则△ABD 的面积是___________．
5
48 14. (广东省东莞市2011年高三一模理科)（几何证明选讲选做题）已知从圆O 外一点A 作
直线交圆O 于,B C 两点，且60AB AC ⋅=,8OA =,则此圆的半径为 2 .
15．(广东省东莞市2011年高三一模文科)（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的割线PBA 过
圆心O ，弦CD 交PA 于点F ，且COF ∆∽PDF ∆,
2PB OA ==，则PF = 3 .
16．（广东省揭阳一中2011年高三一模理科）（几何证明选做题）
如右图所示，AC 和AB 分别是圆O 的切线，且OC=3，AB=4， 延长AO 到D 点，则△ABD 的面积是 。

485
17. (广东执信中学2011年2月高三考试文科)（几何证明选做题）如图,已知:△ABC 内接于圆O ，
点D 在OC 的延长线上，AD 是圆O 的切线，若o
30=∠B ,
2=AC ,则OD 的长为 4 .
18．(广东省遂溪县2011年高考第一次模拟数学文科)（几何证明选讲选做题）一个等腰三角形ABC 的底边AC 的长为6，△ABC 的外接圆的半径长为5，则△ABC 的面积是 __________3或
27
20 (湖南省怀化市2011年高三第一次模拟理科)如图，PA 切于点A ，割线PBC 经过O,
OB=PB=1, 0A 绕着点0逆时针旋转600到0D ，
PD 交于点E 则PE 的长为
____________.
7
A
21、（黑龙江省哈三中等四校2011年高三第一次高考模拟联考文科）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O
交直线OB 于E ，D ，连接CD EC ,．（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若,2
1
tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长．
22、（辽宁省锦州市2011年1月高三考试理科）（本小题10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点,
AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC PD =，求证： （I ）l 是⊙O 的切线；（II ）PB 平分∠ABD ． 证明：（Ⅰ）连结OP ，因为AC ⊥l ，BD ⊥l ， 所以AC//BD ． 又OA=OB ，PC=PD ，
所以OP//BD ，从而OP ⊥l ．因为P 在⊙O 上， 所以l 是⊙O 的切线…5分
（Ⅱ）连结AP ，因为l 是⊙O 的切线，所以∠BPD=∠BAP ．
又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD ，即PB 平分∠ABD ．…10分 （第二问的证明也可：连结OP ，角OPB 等于角DBP ；而等腰三角形OPB 中，角OPB 等于角OBP ；故PB 平分角ABD ）
23、(辽宁省沈阳市2011年高三第二次模拟理科)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图6，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A 、B ，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ．
求证：（Ⅰ）CAG BAC ∠=∠； （Ⅱ）AF AE AC ⋅=2． 证明：（Ⅰ）连结BC ， AB 是直径，
【一年原创】
1、如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点，已知PA=2，点P 到⊙O 的切线长PT=4，则弦AB 的长为 ．
【答案】6
2、如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则
EF FG BC AD
+的值为__________.
【解析】由已知得
EF FG AF CF AF CF 1.BC AD AC AC AC
++=+==答案:1 3、.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,D 为垂足，若CD=6 cm ，AD ∶DB=1∶2，则AD
的值是________.
【解析】设AD=x cm,DB=2x cm,∴36=2x 2
,∴x 2
=18,x=∴AD=
答案:
6、如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长是_________.
【解析】由图知DE ·DF=BD ·CD=1，同理EG ·FG=1.又DG=
1
2
AB=1，∴DE(1+FG)=1，FG(1+DE)=1，
∴DE FG ==
答案
7、如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若
PF=12,PD=则∠EFD=_________.
9、如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠AED，且与BC、AD 分别相交于F、G，若∠AED=40°，∠CFG=80°，则∠A=_______.
【解析】∵EG平分∠AED，∴∠FEC=20°，∠FCE=∠CFG-∠FEC=60°.
∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A=∠FCE=60°.答案:60°
10、如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB1
PA2
=，
PC1
PD3
=，
则BC
AD
的值为_________.
11、已知，如图，AE⊥EC，CE平分∠ACB，DE∥BC，BC=10，AC=6，则DE=________.
【解析】∵AE⊥EC，CE平分∠ACB，∴AC=CF,AE=EF,又∵DE∥BC，
1 DE BF
2
，
∴DE=1
2
(BC-AC)=
1
2
×(10-6)=2.答案:2
12、四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E,已知∠BCD∶∠ECD=3∶2，那么∠BOD 等于________.
【解析】由圆内接四边形性质知∠A=∠DCE，而∠BCD∶∠ECD=3∶2，且∠BCD+∠ECD=180°∴∠BAD=72°，∴∠BOD=2∠BAD=144°.答案:144°
13、如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=AC=6，圆O的半径
为3，则圆心O到AC的距离为_________.
【解析】∵AC 为⊙O 的切线，∴∠B=∠EAC,∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD=∠DCB ∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF ＝∠AFD.
又∵BE 为⊙O 的直径，∴∠DAE ＝90°,∴∠ADF ＝1
2
(180°-
∠DAE)＝45°.答案:45°
16、如图所示，PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PBC 是过
点O 的割线,10=PA ,5=PB ,BAC ∠的平分 线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E . （I ）求证：
AB PA
AC PC
=；（II ）求AE AD ⋅的值.
【考点预测】 2013高考预测
选考内容是高考考查的重点内容之一，各省根据情况自行选定模块内容，2013高考对几何证明选讲内容的试题要么以圆为载体，要么隐含圆的相关知识，总之，试题均涉及圆的有关平面几何知识.特别地，圆周角定理和圆心角定理的考查频率极高
复习建议
圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.
与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.
【母题特供】
母题二：
金题引路：如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE ⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
解：连接OD，则OD⊥DC．在Rt△OED中，OE=1
2
OB=
1
2
OD，
∴∠ODE=30°．……3分在Rt△ODC中，∠DCO=30°，……5分
由DC=2，则OB=OD=DC tan30°
，
cos30
CD
OC==
︒
……9分
所以BC=OC－OB
．………10分
母题四：
金题引路：如图，锐角△ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点. （Ⅰ）求证：四点Ａ，Ｉ，Ｈ，Ｅ共圆；（Ⅱ）若∠C= 50，求∠IEH 的度数.
【答案】证明：（Ⅰ）由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ; …………２分 结合IH ⊥AH ,得90.AEI AHI ∠=∠=所以，四点A ,I ,H ,E 共圆.…５分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知四点A ,I ,H ,E 共圆，得，IEH HAI ∠=∠;…………７分
在HIA ∆中,111
()222
HIA ABI BAI B A B A ∠=∠+∠=
∠+∠=∠+∠ 11
(180)90.22C C =
-∠=-∠结合IH ⊥AH ,得1902
HAI HIA C ∠=-∠=∠； 所以1
2IEH C ∠=∠.由50C ∠=得25.IEH ∠= …………10分
母题五、
金题引路：已知AD 为圆O 的直径，直线ＢＡ与圆Ｏ相切与点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M ，连接DC ，AB=10，AC=12。

（Ⅰ）求证：BA ·DC=GC ·AD ；（Ⅱ）求BM 。

B。