第五章线性方程组应用例子

第五章 线性方程组应用例子
求解线性方程组是数学中最重要的问题之一，很多科学研究和工程技术应用中的数学问题，在某个阶段都会涉及求解线性方程组. 线性方程组广泛应用于商业、经济学、社会学、生态学、统计学、遗传学、电子学等多个领域. 本章主要介绍了线性方程组在交通、定位、经济、电路等方面的应用.
例1 交通流量
如图5-1所示，某城市区的交叉路口由两条单向车道组成. 图中给出了在交通高峰时段每小时进入和离开路口的车辆数. 计算在四个交叉路口间车辆的数量.
图5-1
解 在每一路口，必有进入的车辆数与离开的车辆数相等. 例如，在路口A ，进入该路口的车辆数为1450x +，离开路口的车辆数为2610x +. 因此
12450610x x +=+ （路口A ） 类似地
23520480x x +=+ （路口B ） 34390600x x +=+ （路口C ）
41640310x x +=+ （路口D ）
此方程组的增广矩阵为
110016001104000112101001
330-⎡⎤⎢⎥
--⎢
⎥⎢⎥
-⎢
⎥--⎣⎦
相应的行最简形为
450
310
610
640
1
x A D
2x 4
x 480390
520
B C
3
x 600
1001330010117000112100
001
0-⎡⎤⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
该方程组为相容的，且由于方程组中存在一个自由变量，因此有无穷多组解. 而交通示意图并没有给出足够的信息来惟一地确定123,,x x x 和4x . 如果知道在某一路口的车辆数量，则其他路口的车辆数量即可求得. 例如，假设在路口C 和D 之间的平均车辆数量为4200x =，则相应的12,x x 和3x 为
14330530x x =+=， 24170370x x =+=， 34210410x x =+=.
例2 卫星定位问题
一个货运卡车公司为卡车配备全球定位系统GPS. 这个系统由24颗高轨道卫星组成，卡车从其中三颗卫星接收信号，如图5-2所示. 接收器里的软件利用线性代数方法来确定卡车的位置，确定的误差只在几英尺范围之内，并能自动传递到调度办公室.
为什么需要三颗卫星. 当卡车和一颗卫星从卡车到卫星的距离，例如为14000球心，半径为14000个地方. 如果这辆卡车距离第二颗卫星是17000英里，则它处于以第二颗卫星为中心，半径为17000英里的球的表面上. 第三颗卫星确定的卡车位置依然是个球，这
第三个球与前两个球相交得到的圆正好相交在两点：一点在地球的表面上，另一点在地面以上几千英里处. 不难知道这两点中的哪一个是卡车的位置.
设卡车位于(,,)x y z ，卫星位于111(,,)a b c ，222(,,)a b c 和333(,,)a b c ，并且设从卡车到这些卫星的距离分别为123,,r r r . 由三维距离公式，可得
2221111()()()x a y b z c r 2-+-+-= 22222222()()()x a y b z c r -+-+-= 22223333()()()x a y b z c r -+-+-=
这些方程关于,,x y z 不是线性的，然而从第一式减去第二式，第一式减去第三式，可得
212121313131(22)(22)(22)(22)(22)(22)a a x b b y c c z A
a a x
b b y
c c z B -+-+-=⎧⎨
-+-+-=⎩ 式中，2222222212212121A r r a a b b c c =-+-+-+-；2222222
213313131B r r a a b b c c =-+-+-+-.
我们可以将这两个方程重新记为
212121313131
(22)(22)(22)(22)(22)(22)a a x b b y A c c z
a a x
b b y B
c c z -+-=--⎧⎨
-+-=--⎩ 利用消元法，用z 求出,x y . 把这些表达式代入原来任一距离方程中，就可得到
关于z 的一元二次方程. 我们求这些根并且把它们代入,x y 的表达式，每一个根给出一点，共给出两个点：一个点是卡车的位置，另一个则是远离地球的一个点. 例3 投入产出模型
里昂节夫（Wassily Leontief ）是美国经济学家，在Wassily Leontief 获得诺贝尔奖的工作中，线性代数起到重要作用。

投入产出分析是20世纪30年代由Wassily Leontief 首先提出的，它是一种进行综合平衡的经济数学模型，是研究经济系统各部门间“投入”与“产出”关系的线性模型，称之为投入产出模型. 1. 产出平衡方程
投入产出模型主要是由一个经济系统各部门的产出平衡方程和投入平衡方程组成. 我们首先介绍产出平衡方程.
为简单起见，设一个经济系统由三个生产部门组成，用i x 表示第i 个生产部门的总产值，ij x 表示第j 个部门生产过程中所消耗的第i 个部门产品的数量，i y 表示第i 个部门的最终产品（最终加工完毕，可供社会消费和使用的产品）. 将这些数据列成如下表格，这种表格称为投入产出表.
从水平方向看，这个表有如下关系式
11121311
12222322313233
33x x x y x x x x y x x x x y x
+++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩ （1） 式（1）表明：各部门的总产品等于中间产品（尚须进一步加工的产品）与最终
产品的价值之和. 记
/(,1,2,3)ij ij j a x x i j == （2）
称ij a 为直接消耗系数，其经济意义是第j 个部门生产单位产品消耗第i 个部门产品的数量. 由式（2）得
(,1,2,3)ij ij j x a x i j == （3）
把式（3）代入式（1），得
11112213311
21122223322311322333
33a x a x a x y x a x a x a x y x a x a x a x y x
+++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩ （4） 式（4）可以写成矩阵形式
+=AX Y X （5）
其中
1111
121321
22232231
32
3333,,x y a a a a a a x y a a a x y ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A X Y .
A 称为直接消耗系数矩阵，X 称为总产品列向量. Y 称为最终产品列向量.
式（4）或式（5）称为产出平衡方程. 它是投入产出中的基本平衡关系式，是进行一系列数值计算和经济分析的基础. 式（5）可以写成
()-=E A X Y （6）
根据0(,1,2,3)ij a i j ≥=，3
1
1(1,2,3)ij i a j =<=∑，可以证明矩阵-E A 可逆. 因
此式（6）两端左乘1()--E A ，得
1()-=-X E A Y （7）
当已知最终产品列向量Y 时，利用式（7）可求出总产品列向量X . 在实际工作中，我们可以根据最终产品编制各部门的生产计划.
问题 设某企业由两个生产部门组成，其在一个生产周期内的直接消耗系数矩阵
0.10.20.30.4⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
A （1）若已知总产品列向量100200⎛⎫
= ⎪
⎝⎭X ，求最终产品列向量Y . （2）若已知最终产品列向量80150⎛⎫
= ⎪⎝⎭Y ，求总产品列向量X .
解 （1）由式（6）得
0.90.210050()0.30.620090-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Y E A X
（2）由式（7）得
1
10.90.280162.5()0.20.6150331.25---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
X E A Y
2. 投入平衡方程
这里考虑系统内各部门的总产值与新创造的价值（净产值）和内部的生产性投入之间的平衡、还假设一个经济系统由三个部门组成. 已知这个系统的直接消耗系数矩阵为33()ij a ⨯=A ，由A 可知，第j 个企业生产产值j x 需要投入自身和其它创业的产值数为
123j j j j j j a x a x a x ++
如果生产产值j x 所获得的净产值为j z ，则
123,(1,2,3)j j j j j j j j x a x a x a x z j =+++= （8）
即有
311113222133331111i i i i i i a x z a x z a x z ===⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎪⎛⎫⎪-=⎨ ⎪⎝⎭
⎪⎪⎛⎫
⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩
∑∑∑ （9） 方程（9）称为投入平衡方程 记
333
T 123123111diag ,,,(,,)i i i i i i a a a z z z ===⎛⎫
== ⎪⎝⎭
∑∑∑B Z
B 称为企业消耗矩阵，Z 称为净产值列向量. 于是式（9）可写成矩阵形式
()-=E B X Z （10）
式（10）是投入产出数学模型之二. 它提示了经济系统的生产向量X ，净产值向量Z 与企业消耗矩阵A 之间的关系.
由3
11(1,2,3)ij i a j =<=∑可知对角阵-E B 可逆，因此式（10）可写成
1()-=-X E B Z
另外，由式（4）和式（8）可得
3
3
33311111
i ij j i ij j j i i j j i x a x y a x z =====⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑ 即
333333
11
1
11
1
ij
j
i
ij
j
j
i j i j i j a x y a x z
======+=+∑∑∑∑∑∑
故
33
1
1
i j
i j y z
===∑∑
此式表明：系统外部对各企业产值的需求量总和，等于系统内部各企业净产值之和.。