广东省新会一中高三数学二轮复习 函数导数方程不等式 理 新人教A版

（函数、导数、方程、不等式 ）
班别______学号_______姓名______________得分_______
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.） 1．函数0.5log (4
3)
y x =
-的定义域为（ ）
A.3,14⎛⎫
⎪⎝⎭
B.3,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ C.()1,+∞ D.()3,11,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
2．函数164x y =-的值域是（ ） A.[0,)+∞ B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)
3．已知()(0,1)x
f x a a a =>≠，()
g x 为()f x 的反函数.若(2)(2)0f g -⋅<，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）
A. B. C. D. 4．由表格数据，可判定函数
2)(--=x e x f x 的一个零点所在的区间为
()()Z k k k ∈+1,，则k 的一个值为（ ） A ．0 B ．1- C ．2 D ．1 5．不等式
3
02
x x -<+的解集为（ ） A ．{}23x x -<< B ．{}2x x <- C ．{}23x x x <->或 D ．{}3x x >
6．下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．2
222y x x =
++ B ．21
x y x += C ．(22)(02)y x x x =-<< x
1- 0 1 2 3
x e
0.37 1 2.72 7.39 20.09
2x + 1 2 3 4 5
D ．221
y x =
+7．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f == ， 则()()34f f -=（ ）
A.1-
B.1
C.2-
D.2
8．设M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数λ和向量M ∈a ,都有M λ∈a ,则称M 为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是（ ） A.2{(,)|}x y y x ≥ B.0(,)|0x y x y x y ⎧
-≥⎫⎧⎨⎨
⎬+≤⎩⎩⎭
C.2
2{(,)|20}x y x
y y +-≥
D.22{(,)|32120}x y x y +-<
二、填空题: （填空题（每小题5分，7小题，共35分）
9．已知命题“,|||1|2x R x a x ∃∈-++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是____ ____.
10．某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,
2,6.x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
则该
校招聘的教师最多是 名.
11．设曲线ax
y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 12．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．
13．已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为
,M m ，则M m -= ．
14．如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么
1
21
++y x 的取值范围是 ____. 15．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当
()*,p q p q p q ⨯≤∈N 且是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p
f n q
=
，例如()3124f =.关于函数()f n 有下列叙述：①()177f =，②()3248f =，③()4
287
f =，
④()9
14416
f =.其中正确的序号为 （填入所有正确的序号）．
三、解答题: (本大题共6小题，满分84分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16.(本小题满分14分) 商场现有某商品1320件，每件成本110元，如果每件售价200元，每天可销售40件。

节日期间，商场决定降价促销，根据市场信息，单价每降低3元，每天可多销售2件．
⑴每件售价多少元，商场销售这一商品每天的利润．．
最大？ ⑵如果商场决定在节日期间15天内售完，在不亏本的前提下，每件售价多少元，商场销售这一商品每天的销售额．．．最大？
17．本小题满分14分) 已知二次函数()2
f x ax bx c =++.（1）若()10f -=，试判断
函数()f x 零点个数；(2)若对12,,x x R ∀∈且12x x <，()()12f x f x ≠，试证明
()012,x x x ∃∈，使()()()0121
2f x f x f x =+⎡⎤⎣
⎦成立。

(3)是否存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足以下条件①对,(4)(2)x R f x f x ∀∈-=-，且()0f x ≥；②对x R ∀∈,都有21
0()(1)2
f x x x ≤-≤-。

若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由。

18.(本小题满分14分) 已知函数f (x)=1ln x
x ax
-+。

（1）若函数f (x)在[1，+∞）上为增函数，求正实数a 的取值范围；
（2）当a =1时，求f (x)在[
1
2
，2]上的最大值和最小值。

（3）求证：对于大于1的正整数n ，1ln 1n n n
>-。

19. (本小题满分14分) 已知函数()ln(1)(1),x
f x a e a x =+-+(其中0a >) ,
点1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 从左到右依次是函数()y f x =图象上三点,且
2132x x x =+.
(1) 证明: 函数()f x 在R 上是减函数；(2) 求证：⊿ABC 是钝角三角形;
(3) 试问,⊿ABC 能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC 面积的最大值;若不能,请说明理由．
20．(本小题满分14分) 规定(1)
(1),m
x A x x x m =--+其中x R ∈，m 为正整数，且
1,x A =这是排列数(,m n
A n m 是正整数，且)m n ≤的一种推广． （1）求3
15A -的值；
（2）排列数的两个性质：①1
1m m n n A nA --=， ②11m m m n n n A mA A -++=．(其中m,n 是正整数)是否都能推广到(,m
x A x R m ∈是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；
若不能，则说明理由； （3）确定函数3
x A 的单调区间．
21．(本小题满分14分) 设函数),1,()11()(R x n N n n
x f x
∈>∈+
=.
(1)当x=6时,求x
n
)11(+
的展开式中二项式系数最大的项; (2)对任意的实数x,证明2
)
2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''
(3)是否存在N a ∈,使得a n ＜
∑
-⎪⎭⎫
⎝
⎛+n
k k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.
理科数学经典（六）答案
一、 选择题：ACCD ADAB 二、 填空题：9. (,3)
(1,)-∞-+∞ 10.10 11.2 12. 1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
13.32 14.]2,32[
15.①③ 三、 解答题
16．解：⑴设每件售价x 元，每天销售利润1y 元-------------------------------1分
依题意，)]200(3
2
40[)110(1x x y -⨯+
⨯-=-------------------3分 ]5625)185([3
2
)28600370(3222+--=-+-⨯=x x x -------------5分 当185=x 时，1y 有最大值3750元---------------------------------6分 ⑵设每件售价x 元，每天销售额2y 元，依题意，)]200(3
2
40[2x x y -⨯+
⨯=，其中⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-⨯+⨯≥1320)]200(3240[15110
x x ------------8分即]16900)130([3222
+--=x y ，其中128110≤≤x ------------9分，因为2y 在区间]128 , 110[内单调增加，所以128=x 时
2y 有最大值11264元------------13分，答（略）------------14分
17．解（1）
()10,0,f a b c -=∴-+= b a c =+ …………………1分
2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=-，
当a c =时0∆=，函数()f x 有一个零点；
当a c ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点。

…………………3分 （2）令()()()()121
2g x f x f x f x =-
+⎡⎤⎣
⎦，则 ()()()()()()121112122
f x f x
g x f x f x f x -=-
+=⎡⎤⎣⎦
()()()()()()2122121
22
f x f x
g x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦，…………………5分 ()()()()()()()212121210,4g x g x f x f x f x f x ∴⋅=--<≠⎡⎤⎣
⎦()0g x ∴=在()12,x x 内必有一个实根。

即()012,x x x ∃∈，使()()()0121
2
f x f x f x =
+⎡⎤⎣⎦成立。

……………8分 （3） 假设,,a b c 存在，由①知抛物线的对称轴为x ＝－1，且min ()0f x =
∴2
41,024b ac b a a
--=-= ⇒ 222,444b a b ac a ac a c ==⇒=⇒= ………10分 由②知对x R ∀∈,都有21
0()(1)2
f x x x ≤-≤
- 令1x =得0(1)10f ≤-≤(1)10f ⇒-=(1)1f ⇒=1a b c ⇒++=
由1
2a b c b a a c
++=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
得11,42a c b ===， …………………12分
当11,42a c b ==
=时，221111
()(1)4244
f x x x x =++=+，其顶点为（－1，0）满足条件①，又21()(1)4f x x x -=-⇒对x R ∀∈,都有21
0()(1)2
f x x x ≤-≤-，满足条件②。

∴存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足条件①、②。

…………………14分
18．（1）f ′(x)=
21(0)
ax a ax -> 依题2
1
ax ax -≥0在[1，+∞）上恒成立 即a ≥
1
x
在[1，+∞）上恒成立，∴a ≥1 ……4分 （2）当a=1时，f ′(x)=21x x
-，其中x ∈[12,2]， 而x ∈[1
2,1)时，f ′(x)<0；x
∈(1,12]时，f ′(x)>0， ∴x=1是f (x)在[12
，2]上唯一的极小值点，∴ [f (x)]min =f
(1)=0
……
又f (12)-f (2)=32-2ln2=34ln ln 22e ->0，∴f (12)>f (2)， ∴[f (x)]max =f (12)=1-ln2
综上，a=1时，f (x)在[1
2
，2]上的最大值和最小值分别为1-ln2和0 ……9分
（3）若a=1时，由（1）知f (x)=1ln x
x x
-+在[1，+∞）上为增函数， 当n>1时，令x=
1
n
n -，则x>1，故f (x)>f (1)=0， 即f (1n n -)=
111
n
n n n -
--+ln 1n n -=-1n +ln 1n n ->0，∴ln 1n n ->1n ……14分
19．解：(1)
()ln(1)(1),x f x a e a x =+-+ .10≤<r
(1)()(1)011x x
x x
ae a e f x a e e -+-'∴=-+=<++恒成立,
所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调减函数. …………………………4分 (2) 证明:据题意1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 且x 1<x 2<x 3,
由(1)知f (x 1)>f (x 2)>f (x 3), x 2=
2
3
1x x +…………………………6分 12123232(,()()),(,()()BA x x f x f x BC x x f x f x ∴=--=--
12321232()()[()()][()()]BA BC x x x x f x f x f x f x ∴⋅=--+--…………………8分
123212320,0,()()0,()()0x x x x f x f x f x f x -<->->-<
0,(,)2
BA BC B π
π∴⋅<∴∠∈
即⊿ABC 是钝角三角形……………………………………..9分
(3) 假设⊿ABC 为等腰三角形，则只能是BA BC =
即2132()()()f x f x f x =+
3212132ln(1)2(1)[ln(1)(1)(1)()x x x a e a x a e e a x x ⇔+-+=++-++ 321222ln(1)2(1)[ln(1)(1)2(1)x x x a e a x a e e a x ⇔+-+=++-+
3212ln(1)ln(1)(1)
x x x e e e ⇔+=++31332122122(1)(1)(1)2x x x x x x x x x e e e e e e e e +⇔+=++⇔+=++
3212x x x e e e ⇔=+ ① …………………………………………..12分
而事实上
, 3122x
x x e e e +≥= ②
由于31x
x
e e <,故(2)式等号不成立.这与(1)式矛盾.
所以⊿ABC 不可能为等腰三角形. ……………………………….14分
20．解：（1）
3
15
A -()()()1516174080=---=-； ……2分
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是： ①
1
1
m m x x A xA --=， ②
()
11,m m m
x x x A mA A x R m N -+++=∈∈ ……4分
事实上，在①中，当1m =时,左边1x A x ==， 右边
1x xA x -==，等式成立； 当2m ≥时，左边
()()
()121x x x x m =---+
()()
()()()12111x x x x m ⎡⎤=-----+⎣⎦
1
1
m x xA --=， 因此,①
1
1
m m x x A xA --=成立； ……6分
在②中，当1m =时,左边101
11x x x A A x A +=+=+==
右边，等式成立；
当2m ≥时， 左边
()()
()121x x x x m =---+()()()122mx x x x m +---+
2222
12123232()[()()]()[()()]x x f x f x x x f x f x -+-=-+-即：2221321232[()()][()()]x x x x f x f x f x f x -=-∴-=-
()()
()()1221x x x x m x m m =---+-++⎡⎤⎣⎦
()()()
()11211x x x x x m =+--+-+⎡⎤⎣⎦1m
x A +==右边，
因此 ②
()
11,m m m
x x x A mA A x R m N -+++=∈∈成立。

……8分
（3）先求导数，得
()/
32362
x A x x =-+.
令2632+-x x >0,解得x<
333-或 x>3
3
3+. 因此，当⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-∞-∈333,
x 时,函数为增函数,
……11分
当⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞+∈,333x 时,函数也为增函数。

令2632+-x x <0,解得
333-<x<3
3
3+. 因此,当⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-∈333,333x 时,函数为减函数.
……13分
所以，函数3
x A
的增区间为
3,3⎛-∞ ⎝⎭，
3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
函数3
x A
的减区间为
3333⎛+ ⎝⎭
……14分
21．解（1）：展开式中二项式系数最大的项是第4项，第4项是4T =3
363
120C n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）证法一：因()()22
112211x f x f n n ⎛⎫⎛⎫
+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≥11211x
n n ⎛⎫
⎛⎫=+⋅+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭121x
n ⎛⎫
>+ ⎪⎝⎭
1121ln 12x
n ⎛⎫⎛⎫>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1121ln 12x
f x n n ⎛⎫⎛⎫
'≥++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
证法二：
因()()22112211x f x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭≥11211x
n n ⎛⎫
⎛⎫
=+⋅+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
而()11221ln 1x
f x n n ⎛⎫⎛⎫
'=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故只需对11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和1ln 1n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行比较。

令()()ln 1g x x x x =-≥，有()11
1x g x x x
-'=-=
由
1
0x x
-=，得1x =,因为当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x <<+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以在1x =处()g x 有极小值1,故当1x >时，
()()11g x g >=，从而有ln 1x x ->，亦即ln 1ln x x x >+>,故有111ln 1n n ⎛⎫⎛⎫
+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
恒
成立。

所以()()()222f x f f x '+≥，原不等式成立。

（3）对m N ∈，且1m >
有2
012111111m k
m
k m m m m m
m
C C C C C m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++
++
+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()()
()()
2
111121111112!!
!
k m
m m m m m k m m m k m m m ---+-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++
+
+
+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
-++
---+
+
-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
11
1122!3!
!
!
k m <+
+++
++
()
()
111
1
22132
11k k m m <+
+++
+
+
⨯⨯--
1111
11
12122311k k m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+
+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
33m
=-
<, 又因()102,3,4,,k
k m C k m m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故1213m
m ⎛
⎫<+< ⎪⎝⎭
∵11213m
m ⎛⎫=≤+< ⎪⎝⎭又当m 时，有，从而有11213k
n
k n n k =⎛⎫
<+< ⎪⎝
⎭∑()1,>∈n N n 成立，
11 即存在2a =，使得11213k
n k n n k =⎛⎫<+< ⎪⎝
⎭∑恒成立。