【2021】高考数学一轮复习学案：1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存
在量词
知识体系
必备知识
1.命题p∧q,p∨q,﹁p的真假判断
p q p∧q p∨q ﹁p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
2.全称量词和存在量词
量词名称常见量词符号表示
全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀
存在一个、至少有一个、有些、某些
∃
存在量词
等
3.全称命题和特称命题
名称
全称命题特称命题
形式
结构对M中任意一个x, 存在M中的一个x0,
有p(x)成立
使p(x 0)成立 简记 ∀x ∈M,p(x) ∃x 0∈M,p(x 0) 否定 ∃x 0∈M,﹁p(x 0)
∀x ∈M,﹁p(x)
1.省略量词命题的否定
对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成量词的完整形式,再写出命题的否定. 2.“或”“且”的否定
“p 或q ”的否定易误写成“﹁p 或q ”;“p 且q ”的否定易误写成“﹁p 且q ”.
基础小题
1.下列结论:①若命题p:∃x 0∈R,tan x 0=2;命题q:∀x ∈R,x 2-x+12
>0,则命题“p ∧(q)”是假命题;
②已知直线l 1:ax+3y-1=0,l 2:x+by+1=0,则l 1⊥l 2的充要条件是a
b =-3;
③“设a,b ∈R,若ab ≥2,则a 2+b 2>4”的否命题为:“设a,b ∈R,若ab<2,则a 2+b 2≤4”.其中正确结论的个数是 ( )
【解析】选C.在①中,命题p 是真命题,命题q 也是真命题,故“p ∧(q)”是假命题是正确的.
在②中,由l 1⊥l 2,得a+3b=0,所以②不正确.
在③中,“设a,b ∈R,若ab ≥2,则a 2+b 2>4”的否命题为:“设a,b ∈R,若ab<2,则a 2+b 2≤4”正确.
2.(教材改编)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是( )
∧q ∧﹁q
C.﹁p∧q
D.﹁p∧﹁q
【解析】选>0时,x+1>1,l n(x+1)>0,所以命题p是真命题,由-1>-2得(-1)2<(-2)2知命题q是假命题.可知B为真命题.
3.(教材改编)若命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0,则﹁p为( )
A.不存在x∈R,使得x3-x2+1<0
B.存在x0∈R,使得x03-x02+1<0
C.对任意的x∈R,都有x3-x2+1≥0
D.存在x0∈R,使得x03-x02+1≥0
【解析】选D.命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0的否定为﹁p:存在x0∈R,使得x03-x02+1≥0.
4.若命题“∃x0∈R,使x02+(a-1)x0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,3]
B.[1,4]
C.(1,4)
D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
【解析】选A.由题意,知“∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0”是真命题,所以
Δ=(a-1)2-4≤0,解得-1≤a≤3.
5.已知命题p:∀m∈[0,1],x+1
x
≥2m,则﹁p为( )
A.∀m∈[0,1],x+1
x
<2m
B.∃m0∈[0,1],x+1
x
≥2m0
C.∃m0∈(-∞,0)∪(1,+∞),x+1
x
≥2m0
D.∃m0∈[0,1],x+1
x
<2m0
【解析】选D.根据全称命题与特称命题的关系,可知命题p:∀m∈
[0,1],x+1
x ≥2m,则﹁p为“∃m0∈[0,1],x+1
x
<2m0”.
6.下列结论:①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;②“p ∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;③“p∧q”为真是“﹁p”为假的充分不必要条件;④“﹁p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件.正确的是______________.
【解析】①“p∧q”为真,说明p,q同为真,故能推出“p∨q”为真,而“p ∨q”为真,说明p,q中至少一个为真,故不能推出“p∧q”为真,故前者是后者的充分不必要条件,故正确;②“p∧q”为假,说明p,q中至少一个为假,故不能推出“p∨q”为真,“p∨q”为真也不能推出“p∧q”为假,故前者是后者的既不充分也不必要条件,故错误;③“p∧q”为真,说明p,q都为真,能推出“﹁p”为假,“﹁p”为假,则p为真,不能推出p ∧q为真,前者是后者的充分不必要条件,故正确;④“﹁p”为真,则p为假,可以推出“p∧q”为假,而只要满足q假,p无论真假,都有“p∧q”为假,故“p∧q”为假不能推出“﹁p”为真,故正确,综上可得①③④正确.
答案:①③④。