湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 分层作业 第1章 平面向量及其应用 平面向量的应用举例
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分别为 E,F,由向量加法的平行四边形法则,知 + =0,O 是 EF 的中点;同
理,设 AD,BC 的中点分别为 M,N,则 O 是 MN 的中点,所以 O 是 EF,MN 的交
点.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6.一个物体在大小为 10 N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 50 m,且
为 10 2 N.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3.河水的流速为 2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,
则小船在静水中的速度大小为( B )
A.10 m/s
B.2 26 m/s
C.4 6 m/s
D.12 m/s
解析 由题意知|v 水|=2 m/s,|v 船|=10 m/s,作出示意图如图.∴|v|= 102 + 22 =
3602 + 3602 + 3602 =360 3≈624(N),
∴mg≈624,∴m≈62.故选 B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5.(多选题)已知 O 是四边形 ABCD 内一点,若 + + + =0,则下列
结论错误的是( ABC )
A.四边形 ABCD 为正方形,点 O 是正方形 ABCD 的中心
)=( − )·( + )=0,则 O 为△ABC 的( B )
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
解析 因为( − )·( + )=0,
则( − )·( + )=0,所以||2-| |2=0,
所以||=| |.
同理可得||=| |,即||=||=| |,所以 O 为△ABC 的外心.
解析 设水的阻力为 f,绳的拉力为 F,绳 AB 与水平方向夹角为
|F|cos
||
θ=|f|,∴|F|=cos.
∵θ 增大,cos θ 减小,∴|F|增大.
∵|F|sin θ 增大,∴船的浮力减小.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
π
θ(0<θ< ),则
2
11.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大
小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是( AC )
A.绳子的拉力不断增大
B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小
D.船的浮力保持不变
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
证明 设=a, =b,=e,=c, =d,
则 a=e+c,b=e+d,
所以 a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.
由已知可得 a2-b2=c2-d2,
所以 c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,
所以 e·(c-d)=0.因为 = + =d-c,
A级
必备知识基础练
1.在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D 为 AC 中点,则 cos∠
BDC=( B )Biblioteka 7A.-257
B.25
C.0
1
D.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析 如图建立平面直角坐标系,
则 B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),
B.四边形 ABCD 为一般四边形,点 O 是四边形 ABCD 的对角线交点
C.四边形 ABCD 为一般四边形,点 O 是四边形 ABCD 的外接圆的圆心
D.四边形 ABCD 为一般四边形,点 O 是四边形 ABCD 对边中点连线的交点
解析 由 + + + =0 知, + =-( + ).设 AB,CD 的中点
其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小
和方向.
解 设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速
为v,那么此人以v1速度行驶时所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.
如图,令 =-v1, =-2v1,实际风速为 v.
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所以
1
·=- (3+4)·(
5
1
− )=- (3 ·+42 -32 -4 ·
5
1
)=-5.
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9.O 是平面 ABC 内的一定点,P 是平面 ABC 内的一动点.若( − )·( +
104=2 26(m/s).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
4.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处
于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为 60°,每只胳膊的拉力大小均
为 360 N,则该学生的体重 m(单位:kg)约为( B )(参考数据:g 取重力加速度
2 3 km/h.
岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是________
解析如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航
行速度.
由图知,||=4,||=8,
则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan 60°=2 3.
即河水的流速是 2 3 km/h.
则 D(1,0), =(2,-2).
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设 =λ ,则 = + =(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由题设
⊥ ,所以 ·=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,
则当它们的夹角为 120°时,合力的大小为( B )
A.40 N
B.10 2 N
C.20 2 N
D. 10 N
解析 对于两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们的夹角为 90°,合力的大小为
20 N 时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是 10 2 N;当它们的夹角为
120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小
∴=(-3,-4),=(3,-4).
又∠BDC 为, 的夹角,
·
∴cos∠BDC=
||||
=
-9+16
5×5
=
7
.
25
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2.两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们的夹角为 90°时,合力的大小为 20 N,
π
4
力 F 所做的功 W=250 2 J,则 F 与 s 的夹角等于________.
解析 设 F 与 s 的夹角为 θ,由 W=F·s,得 250 2=10×50×cos θ,∴cos
π
θ∈[0,π],∴θ= .
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2
θ= 2 .又
7.某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当
所以
2
λ= .所以
3
=
4 2
,
3 3
所以 = − =
所以
·
cos∠ADB=
||||
.
1 2
,
3 3
=
.又=(1,0),
5
·
,cos∠FDC=
5
||||
又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.
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=
5
,
5
13.已知 e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点 P 从 P0(-1,2)开始,沿着与向量 e1+e2 相同
的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点 Q 从 Q0(-2,-1)开始,沿着与向
量 3e1+2e2 相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设 P,Q 在 t=0 s 时分
所以 · =e·(d-c)=0,
所以 ⊥ ,即 AD⊥BC.
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解得 t=2.即当 ⊥ 0 0 时所需的时间为 2 s.
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P0(-1,2),Q0(-2,-1),
C级
学科素养创新练
14.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6
D.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析 因为 3+4+5 =0,
所以 3+4=-5 ,所以 92 +24 ·+162 =25 2 .
因为 A,B,C 在圆上,所以||=||=| |=1.代入原式得 ·=0,
别在 P0,Q0 处,当 ⊥ 0 0 时所需的时间 t 为多少秒?
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解 e1+e2=(1,1),|e1+e2|= 2,其单位向量为
2 2
,
2 2
;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|= 13,其单位向量为
3
2
,
13 13
|v|=20 2 km/h.∴实际风速的大小是 20 2 km/h,为东南风.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
B级
关键能力提升练
8.已知△ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 3+4+5 =0,则 ·
的值为( A )
1
A.-5
1
B.5
6
C.-5
.
依题意知,|0 |= 2t,|0 |= 13t,
∴0 =|0 |
2 2
,
2 2
=(t,t),0 =|0 |(
3
2
, )=(3t,2t),由
13 13
得 P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴0 0 =(-1,-3), =(2t-1,t-3),
∵ ⊥ 0 0 ,∴0 0 ·=0,即 2t-1+3t-9=0,
∵ + = ,
∴=v-v1.
这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.
∵ + = ,
∴=v-2v1.
这就是当车的速度为 40 km/h 时,骑车人感觉到的风速.
由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,
∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC= 2BC.∴
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12.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足
为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
证明 如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
设 A(0,2),C(2,0),
大小 10 m/s2, 3≈1.732)
A.64
B.62
C.76
D.60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析 设两只胳膊的拉力分别为 F1,F2,且|F1|=|F2|=360 N,<F1,F2>=60°,
∴|F1+F2|= (1 + 2 )2 =
12 + 22 + 21 ·2 =
理,设 AD,BC 的中点分别为 M,N,则 O 是 MN 的中点,所以 O 是 EF,MN 的交
点.
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6.一个物体在大小为 10 N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 50 m,且
为 10 2 N.
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3.河水的流速为 2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,
则小船在静水中的速度大小为( B )
A.10 m/s
B.2 26 m/s
C.4 6 m/s
D.12 m/s
解析 由题意知|v 水|=2 m/s,|v 船|=10 m/s,作出示意图如图.∴|v|= 102 + 22 =
3602 + 3602 + 3602 =360 3≈624(N),
∴mg≈624,∴m≈62.故选 B.
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5.(多选题)已知 O 是四边形 ABCD 内一点,若 + + + =0,则下列
结论错误的是( ABC )
A.四边形 ABCD 为正方形,点 O 是正方形 ABCD 的中心
)=( − )·( + )=0,则 O 为△ABC 的( B )
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
解析 因为( − )·( + )=0,
则( − )·( + )=0,所以||2-| |2=0,
所以||=| |.
同理可得||=| |,即||=||=| |,所以 O 为△ABC 的外心.
解析 设水的阻力为 f,绳的拉力为 F,绳 AB 与水平方向夹角为
|F|cos
||
θ=|f|,∴|F|=cos.
∵θ 增大,cos θ 减小,∴|F|增大.
∵|F|sin θ 增大,∴船的浮力减小.
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π
θ(0<θ< ),则
2
11.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对
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10.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大
小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是( AC )
A.绳子的拉力不断增大
B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小
D.船的浮力保持不变
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证明 设=a, =b,=e,=c, =d,
则 a=e+c,b=e+d,
所以 a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.
由已知可得 a2-b2=c2-d2,
所以 c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,
所以 e·(c-d)=0.因为 = + =d-c,
A级
必备知识基础练
1.在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D 为 AC 中点,则 cos∠
BDC=( B )Biblioteka 7A.-257
B.25
C.0
1
D.2
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解析 如图建立平面直角坐标系,
则 B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),
B.四边形 ABCD 为一般四边形,点 O 是四边形 ABCD 的对角线交点
C.四边形 ABCD 为一般四边形,点 O 是四边形 ABCD 的外接圆的圆心
D.四边形 ABCD 为一般四边形,点 O 是四边形 ABCD 对边中点连线的交点
解析 由 + + + =0 知, + =-( + ).设 AB,CD 的中点
其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小
和方向.
解 设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速
为v,那么此人以v1速度行驶时所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.
如图,令 =-v1, =-2v1,实际风速为 v.
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所以
1
·=- (3+4)·(
5
1
− )=- (3 ·+42 -32 -4 ·
5
1
)=-5.
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9.O 是平面 ABC 内的一定点,P 是平面 ABC 内的一动点.若( − )·( +
104=2 26(m/s).
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4.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处
于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为 60°,每只胳膊的拉力大小均
为 360 N,则该学生的体重 m(单位:kg)约为( B )(参考数据:g 取重力加速度
2 3 km/h.
岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是________
解析如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航
行速度.
由图知,||=4,||=8,
则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan 60°=2 3.
即河水的流速是 2 3 km/h.
则 D(1,0), =(2,-2).
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设 =λ ,则 = + =(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由题设
⊥ ,所以 ·=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,
则当它们的夹角为 120°时,合力的大小为( B )
A.40 N
B.10 2 N
C.20 2 N
D. 10 N
解析 对于两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们的夹角为 90°,合力的大小为
20 N 时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是 10 2 N;当它们的夹角为
120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小
∴=(-3,-4),=(3,-4).
又∠BDC 为, 的夹角,
·
∴cos∠BDC=
||||
=
-9+16
5×5
=
7
.
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2.两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们的夹角为 90°时,合力的大小为 20 N,
π
4
力 F 所做的功 W=250 2 J,则 F 与 s 的夹角等于________.
解析 设 F 与 s 的夹角为 θ,由 W=F·s,得 250 2=10×50×cos θ,∴cos
π
θ∈[0,π],∴θ= .
4
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2
θ= 2 .又
7.某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当
所以
2
λ= .所以
3
=
4 2
,
3 3
所以 = − =
所以
·
cos∠ADB=
||||
.
1 2
,
3 3
=
.又=(1,0),
5
·
,cos∠FDC=
5
||||
又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.
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=
5
,
5
13.已知 e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点 P 从 P0(-1,2)开始,沿着与向量 e1+e2 相同
的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点 Q 从 Q0(-2,-1)开始,沿着与向
量 3e1+2e2 相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设 P,Q 在 t=0 s 时分
所以 · =e·(d-c)=0,
所以 ⊥ ,即 AD⊥BC.
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解得 t=2.即当 ⊥ 0 0 时所需的时间为 2 s.
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P0(-1,2),Q0(-2,-1),
C级
学科素养创新练
14.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6
D.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析 因为 3+4+5 =0,
所以 3+4=-5 ,所以 92 +24 ·+162 =25 2 .
因为 A,B,C 在圆上,所以||=||=| |=1.代入原式得 ·=0,
别在 P0,Q0 处,当 ⊥ 0 0 时所需的时间 t 为多少秒?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解 e1+e2=(1,1),|e1+e2|= 2,其单位向量为
2 2
,
2 2
;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|= 13,其单位向量为
3
2
,
13 13
|v|=20 2 km/h.∴实际风速的大小是 20 2 km/h,为东南风.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
B级
关键能力提升练
8.已知△ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 3+4+5 =0,则 ·
的值为( A )
1
A.-5
1
B.5
6
C.-5
.
依题意知,|0 |= 2t,|0 |= 13t,
∴0 =|0 |
2 2
,
2 2
=(t,t),0 =|0 |(
3
2
, )=(3t,2t),由
13 13
得 P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴0 0 =(-1,-3), =(2t-1,t-3),
∵ ⊥ 0 0 ,∴0 0 ·=0,即 2t-1+3t-9=0,
∵ + = ,
∴=v-v1.
这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.
∵ + = ,
∴=v-2v1.
这就是当车的速度为 40 km/h 时,骑车人感觉到的风速.
由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,
∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC= 2BC.∴
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12.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足
为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
证明 如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
设 A(0,2),C(2,0),
大小 10 m/s2, 3≈1.732)
A.64
B.62
C.76
D.60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析 设两只胳膊的拉力分别为 F1,F2,且|F1|=|F2|=360 N,<F1,F2>=60°,
∴|F1+F2|= (1 + 2 )2 =
12 + 22 + 21 ·2 =