2023-2024学年河北省保定市竞秀区八年级(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年河北省保定市竞秀区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是( )
A.
B.
C.
D.
2.下列各式中，属于分式的是( )A. x
B. 1
3x
C. 2
x
D. x +1
2
3.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a ⊥b ，c ⊥b ，则a//c ”时，首先应假设( )A. a//b
B. c//b
C. a 与b 相交
D. a 与c 相交
4.如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB =15°，则∠AOB′的度数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
5.若a <b ，则下列变形正确的是( )A. a−1>b−1
B. a 4>b
4
C. 1a >1
b
D. −3a >−3b
6.若分式x 2
x−1□x
x−1运算结果为x ，则在“□”中添加的运算符号为( )A. +
B. −
C. +或×
D. −或÷
7.淇淇在活动课上将三角形剪掉一个角后得到四边形ABCD ，则下列判断错误的是( )
A. 变成四边形后内角和增加了360°
B. 变成四边形后内角和增加了180°
C. 外角和没有发生变化
D. 若剪掉的角的度数是60°，则∠1+∠2=240°
8.如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形ABCD 中添加条件.对于嘉嘉和淇淇添加的条件
判断正确的是( )
嘉嘉：AD//BC；淇淇：AB=CD
A. 只有嘉嘉的正确
B. 只有淇淇的正确
C. 两人的都正确
D. 两人的都不正确
9.如图，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，且PD=PE，DP，EP的延长线分别交OB，OA于点C，F.下列结论错误的是( )
A. △ODP≌△OEP
B. PD=CP
C. ∠DPO=∠EPO
D. OP平分∠AOB
10.如图所示，在平面直角坐标系中，▱OMNP的顶点P坐标是(3,4)，顶点M坐标是(4,0)，则顶点N的坐标是( )
A. N(7,4)
B. N(8,4)
C. N(7,3)
D. N(8,3)
11.如图，一个容量为400cm3的杯子中装有200cm3的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为320cm3，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出.若每个小玻璃球的体积是a cm3，每个小铁块的体积是b cm3.下面四个说法：①a=20②4b<400−320；③杯子中仅放入6个小铁块，水一定不会溢出④杯子中仅放入12个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
12.如图，在△ABC 中，AB =AC ，尺规作图：(1)分别以B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点D ；(2)连接DB 、DA 、DC ，DA 交BC 于点E ，则下列结论中错误的是( )
A. AD 垂直平分BC
B. 点D 不一定在∠BAC 的角平分线上
C. S 四边形ABDC =1
2AD ⋅BC
D. 若∠BAC =60°，则BC 垂直平分AD
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13.分解因式：3x 2−18x +27=______．
14.琪琪在化简分式
x 2−4时得到的结果为x−2
x +2，则？部分的代数式应该是______．
15.已知一次函数y =kx +b(k,b 是常数，且k ≠0)，x 与y 的部分对应值如下表所示，那么不等式kx +b <0的解集是__________________．
x −2−10123y
3
2
1
−1
−2
16.如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B 在伞柄(AB)上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A ，E ，H 三点重合(即AF =EF ，EG =HG)，点B 与点M 重合，四边形CDEF 和四边形DGMN 都是平行四边形，AC =12cm ，EF =9cm ．(1)CF = ______cm ；
(2)若BC =AC ，DG =17cm ，∠BAC =60°，则EH = ______cm ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题6分)
解不等式组{
2(x−1)−3x <0
x−12
−1≤0，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解．
18.(本小题7分)
已知：A =(1−2
x +2)÷x 2−2x
x 2−4x +4；(1)化简A ；
(2)从−2，−1，0，2中选一个合适的数作为x 的值，求A 的值．19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(4,2)，C(2,1)．
(1)平移△ABC ，得到△A 1B 1C 1，已知点A 的对应点A 1的坐标为(−1,−1)，则点C 的对应点C 1的坐标为______；
(2)在图中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 关于原点O 成中心对称；
(3)△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2恰好关于点M 成中心对称，则M 点坐标为______；四边形C 2A 1C 1A 2的面积为______．
20.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，AE =CF ．(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；
(2)若BE ⊥EF ，BE =8，BF =10，直接写出BD 的长．
21.(本小题9分)
一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”．
观察：101−(1+0+1)=99=9×11；232−(2+3+2)=225=9×25；
555−(5+5+5)=540=9×60⋯
猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被______整除．
验证：
(1)若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想；
(2)设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字均为b，请你通过推理说明小红的猜想是正确的．
22.(本小题9分)
数学课上，欲证明命题：“在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”.老师仅给出了较短直角边BC，要求大家利用尺规作出以∠C为直角的Rt△ABC，并借助所作图形证明上述命题．
(1)下面是嘉琪的部分作法及作出的部分图形，请你用尺规作图的方法在图2中完成后续作图；(只保留作图痕迹，不写作法，作图要用2B铅笔，如果笔迹太细、太轻，可以描重一些)
(2)嘉琪依据(1)中作出的Rt△ABC，写出了已知、求证和证明的过程，请你补充完整．
已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，______．
求证：______．
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
23.(本小题12分)
端午节前，惠友超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示．
水果价钱甲乙
进价(元/千克)x x+4
售价(元/千克)1823
已知用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲乙两种水果的进价；
(2)若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，如果设将所有水果卖出会获利W元，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
24.(本小题13分)
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
(1)观察猜想：
猜想①线段PM与PN的数量关系是______；
猜想②∠MPN与∠DBC、∠DCB、∠ECD之间的关系是______．
(2)探究证明：
嘉嘉把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接BD、CE、MN.发现(1)中猜想①②仍然成立.请你完成下面两个问题：
①证明：问题(1)中猜想①(线段PM与PN的数量关系)仍然成立；
②利用(1)中猜想②(∠MPN与∠DBC、∠DCB、∠ECD之间的关系)，推断线段PM与PN的位置关系.(请写出推断过程)
(3)拓展延伸：△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=22,BC=42，直接写出△PMN面积的最大值．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.D
6.D
7.A
8.C
9.B 10.A 11.C 12.B 13.3(x−3)2 14.(x−2)2 15.x >1
16.(1)3．(2)20 3．
17.解：{
2(x−1)−3x <0①
x−12
−1≤0②
，解不等式①：2(x−1)−3x <0，2x−2−3x <0，−x <2，x >−2，解不等式②：x−1
2
−1≤0，x−1−2≤0，x ≤3，
∴不等式组的解集为−2<x ≤3，
∴不等式组的整数解为：−1，0，1，2，3，
解集在数轴上表示如下：
18.解：(1)A =(1−2
x +2)÷x 2
−2x
x 2−4x +4
=x +2−2x +2÷x(x−2)
(x−2)2 =x
x +2⋅(x−2)2
x(x−2) =x−2x +2；
(2)∵x ≠0，x−2≠0，x +2≠0，∴x ≠0，x ≠±2，∴当x =−1时，原式=−1−2−1+2 =−3．
19.(1)(0,−3)．
(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求．
(3)(−1,−2)；2．
20.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB =CD ，AB//CD ，
∴∠BAF=∠DCE，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
在△BAF和△DCE中，
{AB=CD
∠BAF=∠DCE
，
AF=CE
∴△BAF≌△DCE(SAS)，
∴BF=DE，∠AFB=∠CED，
∴BF//DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)解：BD的长是273，
理由：连接BD交EF于点H，
∵BE⊥EF，BE=8，BF=10，
∴∠BEF=90°，
∴EF=BF2−BE2=102−82=6，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴EH=FH=1
EF=3，
2
∴BH=DH=BE2+EH2=82+32=73，
∴BD=2BH=273，
∴BD的长是273．
21.9
(1)979−(9+7+9)=944=9×104，故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；
(2)(100a+10b+a)−(a+b+a)=99a+9b=9(11a+b)，
∵a，b为整数，
∴9(11a+b)能被9整除，
∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除．
22.(1)解：图形如图所示：
(2)已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC．求证：∠BAC=30°．
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
∵AC⊥BD，BC=CD，
∴AB=AD，
∵AB=2BC，
∴AB=BD=AD，
∴∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=1
2
∠BAD=30°．
23.解：(1)根据题意得：1000
x =1400
x+4
，
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的解，也满足题意，
∴x+4=10+4=14，
∴甲种水果的进价为10元/千克，乙种水果的进价为14元/千克；
(2)设购进m千克甲种水果，则购进(100−m)千克乙种水果，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，
∴m≥4(100−m)，
解得m≥80，
而W =(18−10)m +(23−14)(100−m)=−m +900，
∵−1<0，
∴W 随m 增大而减小，
∴当m =80时，W 取最大值，最大值为−80+900=820(元)，
此时100−m =100−80=20，
∴购进80千克甲种水果，20千克乙种水果，才能获得最大利润，最大利润是820元． 24.(1)①PM =PN ．
②∠MPN =∠ECD +∠DCB +∠DBC ．
理由：
∵PN//BD ，PM//CE ，
∴∠PNC =∠DBC ，∠MPD =∠ECD ，
∴∠MPN =∠MPD +∠DPN =∠ECD +(∠DCB +∠PNC)=∠ECD +∠DCB +∠DBC ．
(2)①PM =PN ．
证明：∵∠BAC =∠DAE =90°，
∴∠BAD =∠CAE ，
由AB =AC ，∠BAD =∠CAE ，AD =AE ，
得：△ABD ≌△ACE(SAS)，
∴BD =CE ．
∵PN =12BD ，PM =12
CE ，
∴PM =PN ．
②∠MPN =∠ECD +∠DCB +∠DBC ，PM ⊥PN ．
证明：延长BD 交EC 于H ．
同(1)②得∠MPN =∠ECD +∠DCB +∠DBC ．
同(2)①得△ABD ≌△ACE ，∴∠ABD =∠ACE ，
∵∠AGB =∠HGC ，
∴∠GHC =∠BAC =90°，
∴∠ECD +∠DCB +∠DBC =90°，∴∠MPN =90°，
∴PM ⊥PN ．
(3)解：连AN 、AM ．
∵△PMN 始终为等腰Rt △，
故斜边MN 最大时，△PMN 面积最大．故当M 、A 、N 三点共线时，MN 最大．∴AN =12BC =2 2，AM =1
2DE = 2，∴MN =3 2，
∴PM =MN
2=3，
∴△PMN 面积最大=12×3×3=9
2．。