北京师范大学附属实验中学九年级数学下册第二单元《相似》检测(答案解析)

一、选择题
1．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AC ＝4，AD ＝2，∠DAB ＝∠C ．如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为（ ）
A ．15
B ．10
C ．152
D ．5
2．在ABC 中，D ，E 分别为,BC AC 上的点，且2AC EC =，连结,AD BE ，交于点F ，设:,:x CD BD y AF FD ==，则（ ）
A ．1y x =+
B ．1x y x +=
C ．413y x =+
D ．21x y x -=- 3．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是（ ）
A ．∠BAC ＝∠ADC
B ．∠B ＝∠ACD
C ．AC 2＝A
D •BC D ．DC AB AC BC = 4．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点
E ，连接EN 并延长交CD 于点
F ，则DF ：FC 等于（ ）．
A ．1：2
B ．1：3
C ．2：3
D ．1：4
5．如图，矩形ABCD 中，AD m =，AB n =，要使BC 边上至少存在一点P ，使ABP △、APD △、CDP 两两相似，则m 、n 间的关系式一定满足（ ）
A ．12m n ≥
B ．m n ≥
C ．32m ≥
D ．2m n ≥ 6．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩
短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3OA OD =，3OB OC =），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段I 的两个端点上．若12AB cm =，则CD 的长是（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm
7．如图，已知////AB CD EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果:3:1AD DF =，10BE =，那么CE 等于（ ）
A ．103
B ．203
C ．52
D ．152
8．下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 9．如图，直线l 1//l 2//l 3，分别交直线m 、n 于点A 、B 、C 、D 、
E 、
F ．若AB ∶BC ＝5∶3，DE ＝15，则EF 的长为（ ）
A ．6
B ．9
C ．10
D ．25
10．已知四个数2，3，m ，3成比例的线段，那么m 的值是（ ）
A ．3
B ．233
C ．2
D ．23
11．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ，若1OF =，则BD 的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
12．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，25
AD AB =，DE ＝3，则BC 的长为（ ）
A ．7.5
B ．4.5
C ．8
D ．6
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD 中，6,AD AE BD =⊥，垂足为,3E ED BE =，动点,P Q 分别在,BD AD 上，则AE 的值为__________，AP PQ +的最小值为_____________．
14．如图，点О是正方形ABCD 的中心，DE 与О相切于点E ，连接,BE 若10,DE =102BE =О的面积是________________．
15．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝
123，MN ∥AB ，则MN ＝
__________
16．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点
P Q 、在DC 边上，且14
PQ DC =．若8,10AB BC ＝＝，则图中阴影部分的面积是_____________
17．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,AC AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE ．下列结论：
①OE OD OB OC =；②12
DE BC =；③12DOE BOC S S ∆∆=；④13DOE DBE S S ∆∆=． 其中，正确的有__________．
18．若2a c e b d f
===，且4b d f ++=，则a c e ++=_______． 19．如图，BC 为半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，且BF:FC=5:1，若AB=8，AE=2，则AD 的长为__________．
20．若233a b c ==，且233a b c ++=，则a b c -+=__________． 三、解答题
21．在如图所示的12个小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点都在小正方形的顶点上．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中找格点D ，作直线BD ，使直线BD 与AC 的交点P 是AC 的中点． （2）在图2网格中找格点E ，作直线BE 交AC 于点Q ，使得CQ CB =．
22．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C ，D 不重
合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG ．线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且AB a ，BC b =，CE ka =，(),0CG kb a b k =≠>，第（1）题①中得到C 的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；
（3）在第（2）题图5中，连接DG 、BE ，且3a =，2b =，12k =
，求22BE DG +的值．
23．如图，在等边ABC ∆中，点D 是边AC 上一动点（不与点,A C 重合），连接BD ，作AH BD ⊥于点H ，将线段AH 绕点A 逆时针旋转60︒至线段AE ，连接CE （1）①补全图形；
②判断线段BH 与线段CE 的数量关系，并证明；
（2）已知4AB =，点M 在边AB 上，且1BM
=，作直线HE ． ①是否存在一个定点P ，使得对于任意的点D ，点P 总在直线HE 上，若存在，请指出
点P 的位置，若不存在，请说明理由；
②直接写出点M 到直线HE 的距离的最大值．
24．如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD ＞AB ），将纸片折叠一次，使点A 与C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，交AC 于点O ，分别连接AF 和CE ．
（1）求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）过E 点作AD 的垂线EP 交AC 于点P ，求证：2AE 2＝AC •AP ；
（3）若AE ＝10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长．
25．如图，在ABC 和ADE 中，BAD CAE ∠=∠，ABC ADE ∠=∠．
求证：ABD ACE ．
26．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
（1）在互补四边形ABCD 中，A ∠与C ∠是一组对角，若::2:3:4,B C D ∠∠∠=则A ∠= °
（2）如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB BC 上，且,BE BC AB BD ⋅=⋅求证：四边形ADEC 是互补四边形．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
首先证明△ABD ∽△CBA ，由相似三角形的性质可得：△ABD 的面积：△ACB 的面积为1：4，因为△ACD 的面积为15，进而求出△ABD 的面积．
【详解】
∵∠DAB ＝∠C ，∠B ＝∠B ，
∴△ABD ∽△CBA ，
∵AC ＝4，AD ＝2，
∴△ABD 的面积：△ACB 的面积＝（
AD AC
）2＝1：4， ∴△ABD 的面积：△ACD 的面积＝1：3，
∵△ACD 的面积为15，
∴△ABD 的面积＝5．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．
2．A
解析：A
【分析】
过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，可得△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF ，根据相似三角形的性质可得x 与y 的数量关系.
【详解】
解：如图，过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，
∴△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF ， ∴BD DG BC CE =，DG DF AE AF =， ∵AC ＝2EC ，
∴AE ＝CE ，
则
BD DF BC AF = ∴
BD DF BD CD AF =+， ∴BD CD AF BD DF
+=， ∵x ＝CD ：BD ，y ＝AF ：FD ，
∴1+x ＝y ，
∴y ＝x +1，
故选：A ．
．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和应用，恰当作辅助线构建相似三角形是解题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
利用相似三角形的判定定理，在AD ∥BC ，得∠DAC ＝∠BCA 的前提下，需添加一角或夹这
角的两边对应成比例进行排查即可．
【详解】
解：
A ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当∠BAC ＝∠ADC 时，则△ABC ∽△DCA ；
B ．∵AD ∥B
C ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当∠B ＝∠AC
D 时，则△ABC ∽△DCA ；
C ．∵A
D ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，由AC 2＝AD •BC 变形为
AC AD BC AC =，则△ABC ∽△DCA ； D ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当
DC AB AC BC
=时，不能判断△ABC ∽△DCA ． 故选择：D ．
【第讲】
本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键． 4．B
解析：B
【分析】
由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．
【详解】
解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC
∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，
∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，
又∵AB=DC ，
∴DF ：AB=1：4，
∴DF ：FC=1：3
故选：B ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用． 5．D
解析：D
【分析】
由于△MNP 和△DCP 相似，可得出关于MN 、PC 、NP 、CD 的比例关系式．设PC=x ，那么NP=m-x ，根据比例关系式可得出关于x 的一元二次方程，由于NC 边上至少有一点符合条件的P 点，因此方程的△≥0，由此可求出m 、n 的大小关系．
【详解】
解：若设PC=x ，则NP=m-x ，
∵△ABP ∽△PCD ，
AB BP PC CD ∴=即,n m x x n
-=
即x 2-mx+n 2=0方程有解的条件是：
m 2-4n 2≥0，
∴（m+2n ）（m-2n ）≥0，则m-2n≥0，
∴m≥2n ．
故选：D ．
【点睛】
本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决． 6．B
解析：B
【分析】
首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解.
【详解】
∵OA =3OD ，OB =3OC ， ∴3OA OB OD OC
==， ∵AD 与BC 相交于点O ，
∴∠AOB =∠DOC ，
∴△AOB ∽△DOC ， ∴3AB OA DC OD
==， ∵12AB cm =
∴CD=
12433
AB ==cm, 故选B.
【点睛】 本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.
7．C
解析：C
【分析】 根据平行线分线段成比例得到
BC AD CE DF =，代入已知解答即可． 【详解】
解：∵////AB CD EF ， ∴BC AD CE DF
=， ∵:3:1AD DF =，10BE =，
∴1031
CE CE -=， 解得：CE=
52
， 故选：C ．
【点睛】 本题考查平行线分线段成比例、比例的性质，掌握平行线分线段成比例是解答的关键，注意对应线段的顺序．
8．D
解析：D
【分析】
根据位似变换的概念判断即可．
【详解】
解：D 中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，
A 、
B 、
C 中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
9．B
解析：B
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】
解：∵l 1∥l 2∥l 3，DE=15， ∴
53DE AB EF BC ==，即1553
EF =， 解得，EF=9，
故选：B ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 10．B
解析：B
【分析】
利用比例线段的定义得到23m =：m 即可．
【详解】
根据题意得23m =：
所以3m =，
所以3
m =． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a ：b=c ：d （即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
11．B
解析：B
【分析】
根据平行四边形的性质知AD=2BE ，BC ∥AD ，BO=OD ，设BF=a ，得DF=a+2，由BC ∥AD 知△BEF ∽△DAF ，据此得
=BF DF 12
=BE DA ,得出BF 的长，从而得出BD 的长． 【详解】
解：∵点E 是BC 中点，
∴BC=2BE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD ，BC ∥AD ，BO=OD ，
∴AD=2BE ，
设BF=a ，
∵OF=1，
∴BO=DO=a+1，
则DF=a+2，
∵BC ∥AD
∴△BEF ∽△DAF ， 12∴
==BF BE DF DA ∴1,22
=+a a 解得a=2，
经检验a=2是原方程的解
∴BF=2，
∴BO=DO=3，
∴BD=6
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．
12．A
解析：A
【分析】
先判断△ADE ∽△ABC ，然后利用相似比求BC 的长．
【详解】
解：∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ， ∴25
DE AD BC AB ==， ∴5515.3222
BC DE =
=⨯=． 故选：A ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了等腰三角形的性质．
二、填空题
13．3【分析】在Rt △ABE 中利用三角形相似可求得AEDE 的长设A 点关于BD 的对称点A′连接A′D 可证明△ADA′为等边三角形当PQ ⊥AD 时则PQ 最小所以当A′Q ⊥AD 时AP ＋PQ 最小从而可求得AP ＋P
解析：3
【分析】
在Rt △ABE 中，利用三角形相似可求得AE 、DE 的长，设A 点关于BD 的对称点A′，连接A′D ，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ ⊥AD 时，则PQ 最小，所以当A′Q ⊥AD 时AP ＋PQ 最小，从而可求得AP ＋PQ 的最小值等于DE 的长．
【详解】
设BE x =，则3DE x =，
∵四边形ABCD 为矩形，且AE BD ⊥， 90BAE ABE ︒∴∠+∠=，90BAE DAE ︒∠+∠=，
ABE DAE ∴∠=∠，
又AEB DEA ∠=∠，
ABE DAE ∴∽，
2AE BE DE ∴=⋅，即223AE x =，
AE ∴=，
在Rt ADE △中，由勾股定理可得222AD AE DE =+，
即2226)(3)x =+，解得：x =
3,33AE DE ∴==，
如图，设A 点关于BD 的对称点为A '，连接,
A D PA ''， 则26,6A A AE AD AD A D ''=====，
AA D '∴是等边三角形，
PA PA '=,
∴当A '、P Q 、三点在一条线上时，A P PQ '+最小，
由垂线段最短可知当PQ AD ⊥时，A P PQ '+最小，
33AP PQ A P PQ A Q DE ''∴+=+===．
故答案是：3；33．
【点睛】
本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A 的对称点，从而确定出AP ＋PQ 的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA 是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．
14．25【分析】连接EO 可知EO ⊥ED 延长DE 到点F 作BF ⊥DF 根据题意可知△DEO ∽△DFB 在△EFB 中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO 可知EO ⊥ED
解析：25π
【分析】
连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，根据题意可知△DEO ∽△DFB ，在△EFB 中，222EB EF FB =+，根据勾股定理求解得出半径的长，然后再根据圆的面积公式求解即可；
【详解】
如图：连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，
∵∠FDB=∠EDO ，∠DEO=∠DFB ，
∴△DEO ∽△DFB ，
∵EO=r ，ED=10，EB=2
∵DO=OB ，
∴12DO EO DE DB FB DF
===， ∴EF=10，FB=2r ， 在△EFB 中，222EB EF FB =+，
()22102=1004r +， ∴ r=5，
∴ 圆的面积为225r ππ=，
故答案为：25π
【点睛】
本题考查了圆的面积公式、相似三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握这些公式是解题的关键；
15．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM ：CD=2：3由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心∴AD=BD=CM ：CD=2：3∵MN
解析：3【分析】
根据三角形重心的性质可得AD=BD=
1632
AB =CM ：CD=2：3，由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB ，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵点M 是△ABC 的重心， ∴AD=BD=
1632
AB =CM ：CD=2：3， ∵MN ∥AB ，
∴△CMN ∽△CDB ， ∴23
MN CM DB CD ==， 23
63=，解得43MN =．
故答案为：43．
【点睛】
本题考查了三角形的重心和相似三角形的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 16．【分析】连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F 先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积
【详解】解：如图连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F ∵四边形ABC 解析：23
【分析】
连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，先证明OMN PQO ，得到相似比是4:1，然后求出OMN 和PQO 的面积，用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积．
【详解】
解：如图，连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴//AD BC ，AD BC =，
∵M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，
∴DM CN =，
∴四边形MNCD 是平行四边形，
∴//MN CD ，
∴OMN PQO ，
相似比是:4:1MN PQ =，
∴:4:1OE OF =，
∵152
EF BC ==， ∴4OE =，1OF =， ∴184162MNO S =⨯⨯=，12112PQO
S =⨯⨯=，8540MNCD S =⨯=， ∴4016123S =--=阴影．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．
17．②④【分析】由点DE 分别是边ACAB 的中点知DE 是△ABC 的中位线据此知DE ∥BC 且从而得△ODE ∽△OBC 根据相似三角形的性质逐一判断可得【详解】解：∵点DE 分别是边ACAB 的中点∴DE 是△ABC
解析：②④
【分析】
由点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点知DE 是△ABC 的中位线，据此知DE ∥BC 且1=2ED BC ，从而得△ODE ∽△OBC ，根据相似三角形的性质逐一判断可得．
【详解】
解：∵点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥BC 且1=2
ED BC ，②正确； ∴∠ODE ＝∠OBC 、∠OED ＝∠OCB ，
∴△ODE ∽△OBC ， ∴1=2
OE OD ED OC OB BC ==，①错误； 214
DOE BOC S DE S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，③错误； ∵112122DOE
BOE
OD h S OD S OB OB h ∆∆===， ∴13
DOE
BDE S S ∆∆=，④正确； 故答案为：②④
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的判定与性质．
18．8【分析】根据等比性质可得答案【详解】由等比性质得所以故答案为：8
【点睛】本题考查了比例的性质利用了等比性质
解析：8
【分析】
根据等比性质，可得答案．
【详解】
2a c e b d f
===，
由等比性质，得24
a c e a c e
b d f ++++==++， 所以8a
c e ++=．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用了等比性质．
19．【分析】连接BEDE 则BE ⊥AC 由勾股定理可求得BE 再证明△EBF ∽△CBE 列比例式可求得CF 的长即BC 的长由勾股定理求得CE 的长进而可求得AC 的长再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE ∽△
解析：12
【分析】
连接BE ，DE ，则BE ⊥AC ，由勾股定理可求得BE ，再证明△EBF ∽△CBE ，列比例式可求得CF 的长，即BC 的长，由勾股定理求得CE 的长，进而可求得AC 的长，再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE ∽△ACB ，则有
AD AE AC AB =， 即可求得AD 的长． 【详解】
解：连接BE ，
∵BC 为半圆O 的直径，
∴BE ⊥AC ，即∠AEB=∠BEC=90°，
在Rt △ABE 中，AB=8，AE=2，
由勾股定理得：=
∵EF ⊥BC ，
∴∠EFB=∠BEC=90°，又∠EBF=∠EBC ，
∴△EBF ∽△CBE ， ∴
BE BF BC BE
=， ∵BF:FC=5:1， ∴BF=5FC ，BC=6CF ，
∴
6CF =，
解得：，
∴在Rt △BEC 中，
==
∴
∵∠DAE=∠CAB ，∠ADE=∠ACB ，
∴△ADE ∽△ACB,
∴AD AE AC AB =， 即28
223=+， 解得：AD=2(223)1382
⨯++=， 故答案为：
132+．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形外角性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
20．66【分析】设a=2kb=3kc=3k 代入求出k 值进而求得abc 然后代入所求代数式中求解即可【详解】解：由可设a=2kb=3kc=3k 代入得：4k+3k+3k=33解得：k=33∴a=66b=c=9
解析：6.6
【分析】
设a=2k ，b=3k ，c=3k ，代入233a b c ++=，求出k 值，进而求得a 、b 、c ，然后代入所求代数式中求解即可．
【详解】
解：由
233
a b c ==可设a=2k ，b=3k ，c=3k ， 代入233a b c ++=得：4k+3k+3k=33，
解得：k=3.3，
∴a=6.6，b=c=9.9， ∴a b c -+=a =6.6，
故答案为：6.6．
【点睛】
本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解答的关键．
三、解答题
21．（1）画图见解析;（2）画图见解析．
【分析】
（1）根据题意画图即可；
（2）由平行线性质得到MAQ NCQ ∠=∠，继而可证明AMQ CNQ ∽
△△，再根据相似三角形的性质解得35
CQ AC =
，最后根据勾股定理解题即可． 【详解】
（1）如图1所示，取格点D ，连接AD ，CD ，
则四边形ABCD 为矩形，连接BD 交AC 于点P ， 由于矩形对垂线互相平分，则点P 为AC 中点， 故图1中直线BD ，格点D 即为所求．
（2）如图2所示，找格点M ，N ，
使得2AM =，3CN =，连接MN 与AC 交于点Q ， 连接BQ 并延长交格点于点E ，
则格点E 即为所求．
∵//AM CN ，
MAQ NCQ ∴∠=∠，
又AQM CQN ∠=∠（对顶角相等）
AMQ CNQ ∴∽△△，
23
AM AQ CN CQ ∴==， 即35CQ AC =，
由勾股定理得：222AC AB BC =+，
又4AB =，3BC =， 2243
5AC ∴=+=
335355
CQ AC CB ∴==⨯==， 故CQ CB =，
∴格点E 即为所求．
【点睛】
本题考查网格作图，涉及相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．（1）①BG DE =，BG DE ⊥．②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．详见解析；（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立，详见解析；（3）
654． 【分析】
（1）①利用正方形的性质，证明BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，再证明：∠EDC+∠DGO=90°，从而可得结论；②同①，先证明：BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG DE =，CBG CDE ∠=∠，再证明：90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；
（2）利用矩形的性质，证明BCG DCE △∽△，可得：CBG CDE ∠=∠，再证明90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；
（3）连接,,BD GE 利用BG DE ⊥，结合勾股定理证明：2222BE DG BD GE +=+，再把3a =，2b =，12
k =
代入，即可得到答案． 【详解】
解：（1）①BG DE =，BG DE ⊥．理由如下：如图1，
延长BG 交DE 于O ，
∵四边形ABCD 、CGFE 是正方形，
∴BC=CD=AB ，CG=CE ，∠BCD=∠ECD=90°，
∵在BCG 和DCE 中
BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，
∵∠CBG+∠BGC=90°，
又∵∠DGO=∠BGC ，
∴∠EDC+∠DGO=90°，
∴∠DOG=1809090︒-︒=︒，
∴BG ⊥DE ，
即BG=DE ，BG ⊥DE ；
②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．
如图2，∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是正方形，
∴BC CD =，CG CE =，90BCD ECG ∠=∠=︒，
∴BCG DCE ∠=∠，
∵在BCG 与DCE 中，
,BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BCG DCE ≌△△，
∴BG DE =，CBG CDE ∠=∠，
又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，
∴90CDE DHO ∠+∠=︒，
∴90DOH ∠=︒，
∴BG DE ⊥．
（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立．
如图5，∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，
且AB CD a ==，BC b =，CG kb =，(),0CE ka a b k =≠>， ∴BC CG b DC CE a
==，90BCD ECG ∠=∠=︒，
∴BCG DCE △∽△，
∴CBG CDE ∠=∠，
又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，
∴90CDE DHO ∠+∠=︒，
∴90DOH ∠=︒，
∴BG DE ⊥．
显然：.BG DE ≠
（3）如图5，连接,,BD GE
∵BG DE ⊥，
∴222OB OD BD +=，222OE OG GE +=，222OB OE BE +=，222OG OD DG += ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+，
又∵3a =，2b =，12
k =，CE ka =，CG kb =， 2222222211323321222BD GE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，， ∴2
2222236523124BD GE ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭， ∴22654
BE DG +=
． 【点睛】 本题考查的是勾股定理的应用，正方形，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
23．（1）①见解析；②BH CE =，证明见解析；（2）①存在，点P 是边BC 的中点；3【分析】
（1）①按要求画出图形即可；
②根据全等三角形对应边相等来回答；
（2）①点P 为直线HE 与BC 的交点；
②通过△BPM ∽△BAP 问题可解；
【详解】
（1）①如图
；
②BH CE =
证明ABH ACE ∆≅∆即可
（2）①存在
点P 是边BC 的中点，
理由：设直线HE 与边BC 交于点P
可由60ACB AEP ︒∠=∠=
得点,,,A E C P 共圆，
因为90AEC ︒∠=，
所以90APC ︒∠=，
即P 是BC 的中点．
②如图， 当MP ⊥HE 时，MP 最大，
理由：4,2,1AB BP BM ===， BM BP BP AB ∴=， B B ∠∠=，
∴△BPM ∽△BAP ，
∴∠BMP=∠BPA=90︒ ，
2222213BP BP BP ∴=-=-=
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理和圆的有关知识知识，综合性较强．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）24cm
【分析】
（1）求出∠AOE=∠COF=90°，OA=OC ，∠EAO=∠FCO ，证△AOE ≌△COF ，推出OE=OF 即
可；
（2）证△AOE ∽△AEP ，得出比例式，即可得出答案；
（3）设AB=xcm ，BF=ycm ，根据菱形的性质得出AF=AE=10cm ，根据勾股定理求出x 2+y 2=100，推出（x+y ）2-2xy=100①，根据三角形的面积公式求出
12
xy=24．即xy=48 ②．即可求出x+y=14的值，代入x+y+AF 求出即可．
【详解】
解：（1）证明：当顶点A 与C 重合时，折痕EF 垂直平分AC ，
∴OA=OC ，∠AOE=∠COF=90°，
∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴∠EAO=∠FCO ，
在△AOE 和△COF 中， AOE COF OA OC
EAO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AOE ≌△COF （ASA ），
∴OE=OF ，
∵OA=OC ，
∴四边形AFCE 是平行四边形，
∵EF ⊥AC ，
∴平行四边形AFCE 是菱形．
（2）证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP ，
∴△AOE ∽△AEP ， ∴
AE AO AP AE
=， 即AE 2=AO•AP ， ∵AO=
12AC ， ∴AE 2=12
AC•AP ， ∴2AE 2=AC•AP ．
（3）设AB=xcm ，BF=ycm ．
∵由（1）四边形AFCE 是菱形，
∴AF=AE=10cm ．
∵∠B=90°，
∴x 2+y 2=100．
∴（x+y ）2-2xy=100①
∵△ABF 的面积为24cm 2，
∴12
xy=24，即xy=48 ②， 由①、②得（x+y ）2=196．
∴x+y=14或x+y=-14（不合题意，舍去）．
∴△ABF 的周长为：x+y+AF=14+10=24（cm ）．
【点睛】
本题综合考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．
25．证明见解析
【分析】
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，
∴∠BAD +∠DAC ＝∠CAE +∠DAC ，
即∠BAC ＝∠DAE ，
又∵∠ABC ＝∠ADE ，
∴△ABC ∽△ADE ， ∴AB AC AD AE
=． 又∵∠BAD ＝∠CAE ，
∴△ABD ∽△ACE ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 26．（1）90；（2）见解析
【分析】
（1）根据互补四边形的定义得到180A C ∠+∠=︒，由四边形内角和得
180B D ∠+∠=︒，根据三个角的比例，列式求出各个角的度数；
（2）根据两组对应边成比例且夹角相等，证明BDE BCA ，得到BED A ∠=∠，可以证明180A CED ∠+∠=︒，就可以证明四边形ADEC 是互补四边形．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是互补四边形，且A ∠与C ∠是一组对角，
∴180A C ∠+∠=︒，
∵四边形内角和是360︒，
∴180B D ∠+∠=︒，
∵::2:3:4B C D ∠∠∠=，
∴设2B x ∠=，3C x ∠=，4D x ∠=，
24180x x +=︒，解得30x =︒，
∴390C x ∠==︒，则1809090A ∠=-=︒︒︒，
故答案是：90；
（2）∵BE BC AB BD ⋅=⋅， ∴BE BD AB BC
=， ∵B B ∠=∠，
∴
BDE BCA ，
∴BED A ∠=∠，
∴180A CED BED CED ∠+∠=∠+∠=︒， ∴四边形ADEC 是互补四边形．
【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．。