2018高中数学 每日一题之快乐暑假 第08天 正弦定理在解三角形中的应用 文 新人教A版

第08天 正弦定理在解三角形中的应用
高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆
典例在线
（1）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =15，b =10，A =60°，则cos B 的值为
A ．3-
B ．
3
C ．3
-
D ．
3
（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，c =3
C π
=
，则A = A ．
π6 B ．
π4 C ．π3
D ．
5π6
（3）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4c
o s 5A =
，5cos 13
C =，1a =，则b =__________． 【参考答案】（1）
D ；（2）A ；（3）
21
13
．
（3）因为45cos ,cos 513A C =
=，且,A C 为三角形的内角，所以312
sin ,sin 513
A C ==， 故63sin sin()sin cos cos sin 65
B A
C A C A C =+=+=
，又sin sin a b A B =，所以sin 21
sin 13
a B
b A =
=．
2
【解题必备】（1）正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的边和角；②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
（2）已知三角形的两角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边．
（3）已知两边和其中一边的对角解三角形时，先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则
能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边． 学霸推荐
1．在锐角三角形ABC 中，角,A B 所对的边长分别为,a b ．若2sin a B =，则A =
A ．
π
12 B ．
π6
C ．π4
D ．
π
3
2．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
)cos cos c A a C -=，则cos A = A
．-
B C
． D
1．【答案】D
【解析】由2cos a B =可得sin b B =sin 2
A =
， 因为ABC △是锐角三角形，所以3
A π
=
．故选D ．
3
3．【答案】B
【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，又2A B =，所以sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin a A B B B B b B B B
====，因为A B C ++=π，所以3πB C +=，即=π3C B -，因为C 为锐角，所以ππ
<<63
B ，
又π0<2<
2A B =，所以ππ<<64B ，
cos B <<
2cos B < 故
a
b
的取值范围是．故选B ．
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