高三数学1月考前适应性考试试题 文含解析 试题

赣县三中2021届高三数学1月考前适应性考试试题 文〔含解析〕
一、单项选择题
()
f x =
M ，()g x =N ，那么M N =〔 〕
A. {}
2x x ≥-
B. {}
2x x <
C. {}
22x x -<<
D.
{}22x x -<
【答案】D 【解析】 【分析】
先计算{}
2M x x =<，{}
2N x x =-，再计算交集得到答案.
【详解】因为{}
2M x x =<；{}2N x x =-，所以{}
22M N x x ⋂=-<. 应选D.
【点睛】此题考察了函数的定义域和交集的计算，意在考察学生的计算才能. 2.在复平面内,复数23i
z i
+=对应的点的坐标为 A. ()3,2
B. ()2,3
C. ()–2,3
D.
()3,2-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数除法运算求得z ，根据复数几何意义可得结果.
【详解】
()2232332i i
i z i i i
++=
==- z ∴对应的点的坐标为：()3,2- 此题正确选项：D
【点睛】此题考察复数的几何意义、复数的运算，属于根底题.
ABC ∆中，::1:1:4A B C =，那么::a b c 等于〔 〕
A. B. 2:2: C. 1:1:2
D. 1:1:4
【答案】A 【解析】
ABC ∆中，∵::1:1:4A B C =，故三个内角分别为30,30,120︒︒︒ ，
那么3030120a b c sin sin sin =︒︒︒=：：：： 应选A ．
4.0.8
22,log 5,sin1cos1a b c ===-，那么,,a b c 的大小关系是〔 〕
A. a b c >>
B. b a c >>
C. c b a >>
D.
b c a >>
【答案】B 【解析】
【分析】
分别与特殊值1，2比拟大小.
【详解】∵0.8122<<，2log 52>，0sin1cos11<-<，∴c a b <<. 应选B.
【点睛】此题考察比拟实数的大小，对于不同类型的数比大小时要借助于中间值，如0，1，2等，与中间比拟大小后得出它们的大小，一样类型的数可借助相应函数的单调性比拟大小. 5.随机调查某50名学生在的午餐费，结果如表：
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )
A. 2
B. 7.2
C. 2
D. 7元，
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用平均数公式与方差公式求解即可. 【详解】先计算这50个学生午餐费的平均值是()1
6107208207.250
x =⨯⨯+⨯+⨯=， 所以方差是()()()222
2
11067.22077.22087.20.5650S ⎡⎤=
⨯⨯-+⨯-+⨯-=⎣
⎦,应选A ．
【点睛】此题主要考察平均数公式与方差公式的应用，属于根底题. 样本数据的算术平均数公式：12n 1(++...+)x x x x n
=
；样本方差公式：2222
121[()()...()]n s x x x x x x n =-+-++-.
6.假设命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<〞是假命题，那么实数a 的取值范围是〔 〕
A. a <<
B. a ≤a ≥
C. a ≤≤
D. a <a >
【答案】C 【解析】 【分析】
问题转化为“,x R ∀∈使得23210x ax ++≥〞是真命题，根据二次函数的性质求出a 的范围即可．
【详解】解：命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<〞是假命题，
即“,x R ∀∈使得23210x ax ++≥〞是真命题， 故24120a ∆=-≤
，解得a ≤≤ 应选C ．
【点睛】此题考察了特称命题，考察二次函数的性质，是一道根底题．
{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，那么3a =〔 〕
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．
【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，那么23111142
11115,
34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2
a q =⎧⎨=⎩，2
314a a q ∴==，应选C ．
【点睛】此题利用方程思想求解数列的根本量，纯熟应用公式是解题的关键．
ABC ∆中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，ABC ∆的面积为2，那么AM AN ⋅的
最小值为〔 〕.
A.
3
B.
5
C.
1615
D.
169
【答案】D 【解析】 【分析】 设点
M
为斜边
BC
上靠近点B 的三等分点,那么
创作；朱本晓
2022年元月元日
2133
AM AB AC =
+,
1233
AN AB AC =+,那么可得
22252
999
AM AN AB AB AC AC ⋅=
+⋅+,由直角ABC 可得AB AC ⊥,再由
1
22
ABC
S
AB AC =
⋅=可得4AB AC ⋅=,进而利用均值定理求解即可. 【详解】由题,设点M 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点, 那么121
333
AM AB BM AB BC AB AC =+=+
=+, 112
333
AN AC CN AC BC AB AC =+=-=+,
所以2221122
5233339
99AM AN AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
因为直角ABC ,
所以AB AC ⊥,那么0AB AC ⋅=, 因为1
22
ABC
S
AB AC =
⋅=,那么4AB AC ⋅=, 所以2
2
28AB AC AB AC +≥⋅=,当且仅当2AB AC ==时等号成立, 所以216899
AM AN ⋅≥
⨯=, 应选:D
【点睛】此题考察向量的数量积,考察平面向量分解定理的应用,考察利用均值定理求最值. 9.我国古代数学名著?数书九章?中有“天池盆测雨〞题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸.假设盆中积水深9寸，那么平均降雨量是〔注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆
口面积；②1尺等于10寸；③台体的体积(1
3
V s s =
++下上h 〕〔 〕
A. 3寸
B. 4寸
C. 5寸
D. 6寸
【答案】A 【解析】 【分析】
作出圆台的轴截面,根据条件,利用圆台体积公式可求得盆中积水体积,再求出盆口面积,根据平均降水量的定义可求得结果. 【详解】作出圆台的轴截面如下图:
由题意知,14BF =寸,6OC =寸,18OF =寸,9OG =寸, 即G 是OF 的中点,
GE ∴为梯形OCBF 的中位线, 146
102
GE +∴=
=寸,即积水的上底面半径为10寸, ∴盆中积水的体积为()1
1003610695883
ππ⨯++⨯⨯=〔立方寸〕,
又盆口的面积为214196ππ=〔平方寸〕,
∴平均降雨量是
5883196π
π
=寸,即平均降雨量是3寸, 应选:A
【点睛】此题考察圆台体积的有关计算,关键是可以根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高,考察运算才能.
2()4,f x x =-()g x 是定义在(),0(0,)-∞⋃+∞上的奇函数，当0x >时，2()log ,g x x =那
么函数()()y f x g x =⋅的大致图象为
A. B. C.
D.
【答案】D 【解析】
【详解】试题分析：因为函数2
()4,f x x =-，是定义在R 上偶函数，g 〔x 〕是定义在〔-∞，0〕∪〔0，+∞〕上的奇函数，故函数y=f 〔x 〕•g〔x 〕为奇函数，其图象关于原点对称，故A ，C 不正确，又因为函数2()4,f x x =-，当x ＞0时，g 〔x 〕=log 2x ，故当0＜x ＜1时，y=f 〔x 〕•g〔x 〕＞0；当1＜x ＜2时，y=f 〔x 〕•g〔x 〕＜0；当x ＞2时，y=f 〔x 〕•g〔x 〕＞0；故B 不正确，应选B
考点：函数的图像；函数的奇偶性．
点评：在判断函数的图象时，分析函数的定义域、单调性、奇偶性、特殊点或者者特殊值是最常用的方法．
()220x py p =>的准线方程为1y =-，ABC ∆的顶点A 在抛物线上，B 、C 两点在直线
25y x =-上，假设45BC =ABC ∆面积的最小值为〔 〕
A. 10
B. 8
C. 1
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据抛物线的准线方程可求得抛物线的方程,设出A 点坐标,利用点到直线间隔 公式表示出
A 到直线25y x =-的间隔 ,求出间隔 的最小值即可得ABC ∆面积的最小值.
【详解】因为抛物线()2
20x py p =>的准线方程为1y =-
所以12
p
-
=-,解得2p = 即抛物线方程为2
4x y =
因为A 在抛物线上,设2
,
4t A t ⎛⎫
⎪⎝⎭
,直线25y x =-化为250x y --= 那么点A 到直线250x y --=的间隔
d ==
所以当
4t =时
, min d
=
= 那么由BC =ABC ∆面积的最小值为
min 11222S d BC =⨯⨯==
应选:D
【点睛】此题考察了抛物线HY 方程及其性质的简单应用,点到直线间隔 公式的用法,属于根底题.
R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有1
(2)()
+=
f t f t ，且(0,4]x ∈时，
()
'()f x f x x
>
，那么6(2017)f ，3(2018)f ，2(2019)f 的大小关系是〔 〕 A. 6(2017)3(2018)2(2019)f f f <<
B.
3(2018)6(2017)2(2019)f f f <<
C. 2(2019)3(2018)6(2017)f f f <<
D.
2(2019)6(2017)3(2018)f f f <<
【答案】A 【解析】 【分析】
函数f 〔x 〕满足f 〔t+2〕=
()
1f t ，可得f 〔x 〕是周期为4的函数．6f 〔2021〕=6f 〔1〕，
3f 〔2021〕
=3f 〔2〕，2f 〔2021〕=2f 〔3〕．令g 〔x 〕=
()f x x
，x ∈〔0，4]，那么g′〔x 〕=
()()
2
'xf x f x x -＞0，利
用其单调性即可得出．
【详解】函数f 〔x 〕满足f 〔t+2〕=()1
f t ，可得f 〔t+4〕=()
1
2f t +=f 〔t 〕，∴f 〔x 〕
是周期为4的函数．
6f 〔2021〕=6f 〔1〕，3f 〔2021〕=3f 〔2〕，2f 〔2021〕=2f 〔3〕．
令g 〔x 〕=
()f x x
，x ∈〔0，4]，那么g′〔x 〕=
()()
2
'xf x f x x
-，
∵x ∈〔0，4]时，()()'f x f x x
＞
，
∴g′〔x 〕＞0，g 〔x 〕在〔0，4]递增，
∴f 〔1〕＜
()22
f ＜
()33
f ，
可得：6f 〔1〕＜3f 〔2〕＜2f 〔3〕，即6f 〔2021〕＜3f 〔2021〕＜2f 〔2021〕． 故答案为：A
【点睛】此题考察了函数的周期性单调性、利用导数研究函数的单调性、构造法，考察了推理能
力与计算才能，属于难题．(2)解答此题的关键有两点，其一是求出函数的周期是4，其二
是构造函数g 〔x 〕=
()f x x
，x ∈〔0，4]，并求出函数的单调性.
二、填空题
2222:1y x C a b -=C 的渐近线方程为____. 【答案】2y x =± 【解析】 【分析】
由题意，得2
c e a =
=，又由222
c a b
=+，求得12b a =，进而的奥双曲线的渐近线的方程．
【详解】由题意，双曲线2222:1y x C a b -=c e a ==，
又由222
c a b =+，所以2
22222
514c a b b a a a +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭
， 解得
12b a =，所以双曲线的渐近线的方程为2a
y x x b
=±=±，即2y x =± 【点睛】此题主要考察了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，同时注意双曲线的焦点的位置是解答的一个易错点，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．
{}n a 满足11
1
1
1,111n n
a a
a +=-
=++，那么10a =__________. 【答案】1719
-
【解析】 【分析】
数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
为以12 为首项，1为公差的等差数列．
【详解】因为11,a =所以
111
12
a =+ 又
111
111n n
a a +-=++ 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为以1
2 为首项，1为公差的等差数列．
所以11
=12
n n a -+ 所以
1010111917
=10==12219
a a -⇒-+ 故填17
19
-
【点睛】此题考察等差数列，属于根底题．
C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，那么由点(),a b 向圆所作的
切线长的最小值为______． 【答案】4 【解析】
因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,又圆的半径为2, 当点(a,b )与圆心的间隔 最小时,切线长获得最小值,又点(a,b )与圆心的间隔 为
()()
22
12a b ++-=()2
221832a -+≥,所以切线长的最小值为
()
2
2
(32)2-
=4.
故答案为4
点睛：此题主要考察直线与圆的位置关系,考察了转化思想.利用勾股关系，切线长获得最小值时即为当点(a,b )与圆心的间隔 最小时.
16.如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===
，点E 在线段PB 上，那么CE OE +的最小值为________.
26
+【解析】 【分析】 首先求出2PB PC =
=，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点一共线时，值最
小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解． 【详解】在POB 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=
，同理2PC =PB PC BC ==，
在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '， 使之与平面ABP 一共面，如下图，
当O ，E ，C '一共线时，CE OE +获得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='， 所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点，
从而2626
OC OE EC +''=+=
= 亦即CE OE +26
+ 故答案为
26
2
. 【点睛】此题主要考察了空间中线段和最小值问题，考察了空间想象才能、推理论证才能，考察了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题． 三、解答题
()322sin cos (0)3f x x x x πωωωω⎛
⎫=--> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π．
〔1〕求()f x 的单调递增区间； 〔2〕当,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求方程1()2f x =的解集．
【答案】〔1〕5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k ∈Z ；〔2〕,124ππ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭. 【解析】
【分析】
〔1〕将函数()f x 化简整理为()cos 26f x x πω⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，利用周期求出ω，然后令222,6
k x k k Z π
πππ-+≤-
≤∈，求出x 的范围即为单调增区间；
〔2〕通过,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，求出26x π-的范围，进而可求出方程1()2f x =的解.
【详解】解：
()22sin cos 3f x x x x πωωω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
()2cos
sin 2sin )sin 233
f x x x x π
π
ωωω∴=+-
3
2sin 2sin 222x x x ωωω=
+-
1
2sin 22
x x ωω=
+ cos 26x πω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
由
22π
πω
=，得1ω= 故()cos 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
〔1〕令222,6
k x k k Z π
πππ-+≤-
≤∈，解得：5,1212
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈， ()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈； 〔2〕
,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，
75
2666
x πππ∴-≤-≤，
1()2f x =，
26
3
x π
π
∴-
=-
或者26
3
x π
π
-
=
，
即12
x π
=-
或者4
x π
=
，
所以方程1()2f x =
的解集为,124ππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
【点睛】此题考察cos()y A x ωϕ=+的性质及三角方程，考核学生计算才能，是根底题. 18.某高考HY 施行方案指出:该高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业程度等级性考试科目一共同构成.该教育厅为理解正就读高中的学生家长对高考HY 方案所持的赞成态度,随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进展调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见.下面是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.
(1)根据条件与等高条形图完成下面的2×2列联表,并判断我们能否有95％的把握认为“赞成高考HY 方案与城乡户口有关〞?
〔2)利用分层抽样从持“不赞成〞意见家长中抽取5名参加交流活动，从中选派2名家长发言，求恰好有1名城镇居民的概率.
【答案】〔1〕没有把握；〔2〕3
5
. 【解析】 【分析】
(1)根据所给数据以及等高条形图可完成22⨯列联表,利用公式求出2 3.03K ≈，与临界值比拟即可得结论； (2)利用列举法，确定根本领件的个数以及符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式可求出恰好有1名城镇居民的概率. 【详解】(1)完成22⨯列联表,如下:
代入公式,得2K 观测值:
22
()100(300675) 3.03 3.841()()()()45557525n ad bc k a b c d a c b d -⨯-==≈<++++⨯⨯⨯
∴我们没有95%的把握认为〞赞成高考HY 方案与城乡户口有关〞.
(2)
城乡户口与农村户口比为3:2，∴抽取5人中城镇户口的有3人，
设为,,A B C ，农村户口的有2人，设为,a b ，
5人选2人一共有,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab ，10种选法， 其中恰有1名城镇户口的有,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb ，6种， 所以恰有1名城镇居民的概率为63
105
P =
=. 【点睛】此题主要考察HY 性检验以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概
型概率公式求概率时，找准根本领件个数是解题的关键，根本亊件的探求方法有 (1)枚举法：合适给定的根本领件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：合适于较为复杂的问题中的根本亊件的探求.在找根本领件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ….
1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才
能防止多写、漏写现象的发生 19.如图，直三棱柱中，AC BC ⊥,1AC BC ==,12CC =,点M 是11A B 的
中点.
〔1〕求证：1B C //平面1AC M ； 〔2〕求三棱锥11A AMC -的体积. 【答案】(1)证明见解析；〔2〕1
6
. 【解析】 【分析】
〔1〕连接1A C 交1AC 与N ，那么N 为1A C 的中点，利用三角形中位线定理可得1//MN B C ，再由线面平行的断定定理可得结果；〔2〕由等积变换可得11A AMC V -11A A C M V -=，再利用棱锥的体积公式可得结果.
【详解】
〔1〕连接1A C 交1AC 与N ，那么N 为1A C 的中点， 又
M 为11A B 的中点，
1//MN B C ∴，
又因为MN ⊂平面1AC M ，
1B C ⊄平面1AC M ， 1//B C ∴平面1AC M ；
〔2〕因为，直三棱柱111A B C ABC -中，
AC BC ⊥,1AC BC ==,12CC =，
且点M 是11A B 的中点 所以11A AMC V -11A A C M V -=
11113A C M S AA ∆=⨯111111
32A C B S AA ∆=⨯⨯ 11111123226
=⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】此题主要考察线面平行的断定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的断定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平
行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为
2
，点在C 上 〔1〕求C 的方程
〔2〕直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.
【答案】〔1〕22184x y += 〔2〕12OM k k ⋅=-
【解析】
试题分析：
2242,1,2a b
=+=求得22
8,4a b ==,由此可得C 的方程.
〔II 〕把直线方程与椭圆方程联立得(
)
2
22
214280.k x kbx b +++-=,所以
12222,,22121M M M x x kb b
x y kx b k k +-=
==+=++于是
1
,2M OM M y k x k =
=-12
OM k k ⇒⋅=-. 试题解析：
解：
〔Ⅰ〕由题意有2242,1,2a a b
=+=解得22
8,4a b ==,所以椭圆C 的方程为
22
22
184x y +=. 〔Ⅱ〕设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠,()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把y kx b
=+代入2222184
x y +=得()222
214280.k x kbx b +++-=
故12222,,22121
M M M x x kb b x y kx b k k +-=
==+=++于是直线OM 的斜率1,2M OM M y k x k =
=-即1
2
OM k k ⋅=-
,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.
考点：此题主要考察椭圆方程、直线与椭圆及计算才能、逻辑推理才能.
()32f x x x b =-++，()ln g x a x =.
〔1〕假设()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
上的最大值为38，务实数b 的值； 〔2〕假设对任意[]
1,x e ∈，都有()()2
2g x x a x ≥-++恒成立，务实数a 的取值范围.
【答案】〔1〕0b =.〔2〕1a ≤- 【解析】
试题分析：(1) 求出函数()f x 的导函数，解出函数的单调区间，通过研究函数的极值和边界值得到函数的最大值，求出实数b 的值；
(2)把()()2
2g x x a x ≥-++ 整理，别离出参数a,得到22x x
a x lnx
-≤-，把右边构造一个函
数()t x ，求出()t x 的最小值，问题可解. 试题解析：
〔1〕由()3
2
f x x x b =-++，得()2
32f x x x '=-+ ()32x x =--，
令()0f x '=，得0x =或者23
x =. 函数()f x '，()f x 在1,12⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
上的变化情况如下表：
1328f b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，24327f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1223f f ⎛⎫⎛⎫∴-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即最大值为13328
8f b ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，0b =. 〔2〕由()()22g x x a x ≥-++，得()22x lnx a x x -≤-.
[]1,x e ∈，1lnx x ≤≤，且等号不能同时获得，lnx x ∴<，即0x lnx ->.
22x x a x lnx -∴≤-恒成立，即22min
x x a x lnx ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭. 令()22x x t x x lnx
-=-，[]1,x e ∈，那么()()()()2122x x lnx t x x lnx -+--'=. 当[]
1,x e ∈时，10x -≥，1lnx ≤，220x lnx +->，从而()0t x '≥. ()t x ∴在区间[]1,e 上为增函数，()()11min t x t ∴==-
，1a ≤-.
22.
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是：2(x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
是参数，m 是常数〕．以
O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=． 〔1〕求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
〔2〕假设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且||2PQ =，务实数m 的值．
【答案】(1)0x y m --=，22(3)9x y -+=；(2)1m =-或者7m =．
【解析】
【分析】
〔1〕直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进展转换． 〔2〕利用点到直线的间隔 公式求出结果．
【详解】〔1〕因为直线l
的参数方程是：2(x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
是参数〕，
所以直线l 的普通方程为0x y m --=．
因为曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，
故26cos ρρθ=，
所以226x y x +=
所以曲线C 的直角坐标方程是22(3)9x y -+=
〔2〕设圆心到直线l 的间隔 为d ，
那么d ==
又d ==， 所以|3|4m -=，
即1m =-或者7m =．
【点睛】此题考察的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线间的间隔 公式的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型． ()21(0)f x x x m m =+-->.
(1)当2m =时，求不等式()1f x ≤的解集；
(2)令()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，假设三角形ABC 的面积为12，求m 得值.
【答案】〔1〕{153x x ⎫-≤≤⎬⎭
〔2〕3m = 【解析】
【分析】
(1)当2m =时，不等式()1f x ≤可化为2121x x +--≤，分类讨论，即可求解不等式的解集；
(2)由题意，得到函数()g x 的解析式，得到()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别，根据面积列出方程，即可求解.
【详解】(1)当2m =时，不等式()1f x ≤可化为2121x x +--≤，
①当1x <-时，不等式化为50x +≥，解得：51x -≤<-；
②当12x -≤≤时，不等式化为31x ≤，解得：113
x -≤≤
； ③当2x >时，不等式化为30x +≤，解集为φ， 综上，不等式的解集为{153x x ⎫-≤≤⎬⎭
. (2)由题设得41()31x m x g x x m
x m x m x m ---<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪+>⎩
， 所以()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别为(4,0)A m --，(0,)B m -，(,0)3m C ， 于是三角形ABC 的面积为2(3)123
S m m =+=， 得3m =，或者6m =-〔舍去〕，故3m =.
【点睛】此题主要考察了含绝对值不等式的求解，以及分段函数的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，纯熟求得函数的图象与两坐标轴的交点是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
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不勤于始，将悔于终。

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不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

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