2018年四川省成都市青羊区石室中学自主招生数学试卷

2018年四川省成都市青羊区石室中学自主招生数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）石室中学正筹划建校2160周年校庆系列庆典活动，若准备搭建体积为2160的正方体“水立方”展览馆，则此展览馆的棱长在（）
A．11.5到12.5之间B．12.5到13.5之间
C．13.5到14.5之间D．14.5到15.5之间
2．（5分）将正多边形ABCDEF放入直角坐标系中，顶点B，D，E的坐标分别为（n，m），（﹣n，m），（a，b），则点A的坐标可以为（）
A．（﹣m，﹣n）B．（m，﹣n）C．（﹣a，b）D．（﹣b，﹣a）3．（5分）有的含二次根式的式子可以运用完全平方公式写成另外一个二次根式的平方，如3+2＝12+（）2+2＝（1+）2，则式子（）
A．被开方数小于0，无意义
B．有意义，化简后为﹣2
C．有意义，但这个式子不能类比题目中的例子化简
D．有意义，化简后为2﹣
4．（5分）如图，求边长AB＝2，BC＝1的矩形ABCD沿CD折叠后与圆心角为90°的扇形DCE重合部分的面积为（）
A．+B．1+C．D．+1
5．（5分）将以B为圆心，a为半径，圆心角为的扇形ABC的弧AC保持长度不变，拉直后与AB，BC构成等腰三角形ABC，则△ABC的面积与扇形ABC面积比较（）A．不发生改变，S△ABC＝πa2
B．发生改变，S△ABC＝a2
C．不发生改变，S△ABC＝πa2
D．发生改变，S△ABC＝a2
6．（5分）已知关于x，y的方程组有无数多组解，则在待定系数b，k，n，m
表示的4个数中任意取两数相乘，其乘积的最小值为（）
A．12B．16C．20D．24
7．（5分）大小完全相同的两等腰直角三角形如图放置，其中∠ABC＝∠E＝90°，AB＝BC ＝DE＝EF，DE与AC交于AC中点N，DF过点C，S△DEF＝98，BD⊥DF且BD＝6，则点D到直线BC的距离为（）
A．B．C．3D．
8．（5分）如图所示，已知关于x的二次函数y＝ax2﹣bx+c图象经过（﹣1，0），下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③4ac﹣b2＞﹣4a；④﹣＜a＜﹣；⑤c+2b＞0．
其中正确的结论有（）
A．①②④B．①②⑤C．①③④D．③④⑤
9．（5分）如图，直线y1＝ax+2与y2＝bx+4交于点N（1，a+2），将直线y1＝ax+2向下平移后得到y3＝ax﹣5，则能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为（）
A．1，2，3B．2，3C．2，3，4D．3，4，5
10．（5分）如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E 在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP 与线段BC交于点N，若∠A＝30°，NQ＝3，则DQ的长为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共7小题，每小题6分，共48分）
11．（6分）方程4x3﹣9x＝0的解为．
12．（6分）在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC边上的高BD＝4，E，F分别为线段AB，BC 中点，连接EF，则EF的长为．
13．（6分）如图，A，B，C为在同一条直线上的顺次三点，DA⊥AC于点A，EC⊥AC于点C，DB⊥BE于点B，EC+EB＝AC＝10．若BC＝x，则△ABD的周长为．
14．（6分）已知（x+y）n展开，按x降幂排列后的多项式各项系数可以如图对应，如：（x+y）3＝x3+3x2y+3xy2+y3，各项系数分别为1，3，3，1，则（x﹣）2021展开后x2018的系数
为．
15．（6分）矩形ABCD的相邻两边长AB＝7，BC＝10．在同一平面内，以顶点A为圆心，以5为半径作圆A，在AB边上取一点E，使得BE＝2，以点E为圆心，r为半径作圆E，求使⊙E与⊙A有公共点，且点B在⊙E内，点D在⊙E外的r的取值范围是．16．（6分）要研究使x，y满足x+1﹣y≥0的范围问题时，我们可以借助观察y＝x+1的图象
解决．如图，阴影部分为满足x+1﹣y≥0的区域，若x，y满足条件，令M ＝2x﹣5y，则M的取值范围为．
17．（6分）（1）如图1，Rt△ABC中，点C为直角顶点，∠CAB＝30°，BC＝3，将△ABC 沿直角边AC翻折后得到△ADC，将△ADC绕点C进行任意角度旋转得到△A′D′C（旋转后两三角形不重合），直线DD′与直线AA′交于点P，连接BP．求在旋转过程中线段BP的最大值为，最小值为．
（2）由上一题的思考，如图2，边长都为6的两正方形ABCD和正方形A′B′C′D′．在同一平面内，BC与B′C′的中点同时重合于点O，将正方形A′B′C′D′绕点O旋转任意角度，在旋转过程中直线AA′和直线C′C交于点P，在旋转过程中线段BP的最大值与最小值之和为．
三、解答题（共52分）
18．（10分）学完正弦、余弦、正切的定义后，同学们对有一个锐角为60°的三角形的边角关系进行了进一步研究．若三角形三个内角分别为a＝60°，β和γ，将a所对的边与β所对的边之比定义为Rzcβ，将a所对的边与γ所对的边之比定义为Rymβ，称Rzcβ与Rymβ互为β的“姐弟”函数，已知△ABC中，∠C＝60°．
（1）若∠A＝75°，分别求RzcA和RymA的值；
（2）若RzcA＝，求∠A的度数；
（3）若AC2+BC2＝4AB2﹣2AC•BC，探究RzcA与RymA的数量关系．
19．（10分）地震是人类一直在研究并试图战胜的自然灾害，四川是地震频发区，为更好的研究地震的破坏性，石创中学创新基地同学做了如下模拟监测实验．如图为地面（AB）以下至地震波反射面（MN）的横截面示意图，其中，O为震源，A为震中，B为观测站，OA⊥AB，AB∥MN．从O会同时发出两种震波：直达波（路径为OB）和反射波（路径为OCB），它们的传播速度相同．已知震源深度h＝14km，震中至观测站距离AB＝48km．（1）求直达波传播的距离OB；
（2）已知反射波（路径OCB）满足∠OCM＝∠BCN，地震波的传播速度为5km/s，观测站收到两种地震波的时间差为2s，求地面与反射面的距离H．
20．（10分）如图，过点A作AD∥BC交∠ABC的平分线于点D，连接AC，BD，AC⊥BD 于点O；若BC＝5，＝，在∠ABC边BC上任取异于点B的一点N，连接AN与BD 交于点M，连接MC．
（1）当N在线段BC上时，设BN＝x，S△MNC＝y，试用含x的代数式表示y；
（2）若△MNC为直角三角形，求BN的长．
21．（10分）（1）如图1，M，N分别为△ABC中AB，AC边的中点，连接BN，CM，BN⊥
CM于点O．求证：AB2+AC2＝5BC2．
（2）如图2，AB∥CD，AD与BC互相垂直平分于点G，AB＝CD＝2，分别取线段AG，BG的中点M、N，交于点O的射线CM和射线DN分别与AB交于点E、F，求OE2+OF2的值．
22．（12分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线l，顶点为M，点P为直线l上一动点．
（1）抛物线上的一点N为点C关于直线l的对称点，直线BN交y轴于点E，交直线l 于点K，试在x轴上找一点Q，使得C，E，Q，P四点围成的四边形周长最小，求出点P，Q的坐标以及这个周长的最小值；
（2）通过初中的学习，我们把点到直线上所有点的连线段中最短的垂线段的长度称为点到直线的距离．一般而言，我们通常把点到一个图形上所有点的连线段中最短的一条的长度定义为这个点到这个图形的距离．
①求顶点M到直线BN的距离h；
②请找出直线l上所有到直线BN的距离等于h的点坐标；
③动点P到此抛物线的距离为3，求出符合条件的所有点P的坐标．
2018年四川省成都市青羊区石室中学自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）石室中学正筹划建校2160周年校庆系列庆典活动，若准备搭建体积为2160的正方体“水立方”展览馆，则此展览馆的棱长在（）
A．11.5到12.5之间B．12.5到13.5之间
C．13.5到14.5之间D．14.5到15.5之间
【解答】解：此展览馆的棱长为，
∵12.53＝1953.125，13.53＝2460.375，且1953.125＜2160＜2460.375，
∴展览馆的棱长在12.5到13.5之间，
故选：B．
2．（5分）将正多边形ABCDEF放入直角坐标系中，顶点B，D，E的坐标分别为（n，m），（﹣n，m），（a，b），则点A的坐标可以为（）
A．（﹣m，﹣n）B．（m，﹣n）C．（﹣a，b）D．（﹣b，﹣a）【解答】解：∵正多边形ABCDEF中，AB∥DE，AB＝DE，
∵B，D，E的坐标分别为（n，m），（﹣n，m），（a，b），
∴B，D关于x轴对称，
∴A，E关于x轴对称，
∴A（﹣a，b），
故选：C．
3．（5分）有的含二次根式的式子可以运用完全平方公式写成另外一个二次根式的平方，如3+2＝12+（）2+2＝（1+）2，则式子（）
A．被开方数小于0，无意义
B．有意义，化简后为﹣2
C．有意义，但这个式子不能类比题目中的例子化简
D．有意义，化简后为2﹣
【解答】解：原式＝＝﹣2，
故选：B．
4．（5分）如图，求边长AB＝2，BC＝1的矩形ABCD沿CD折叠后与圆心角为90°的扇形DCE重合部分的面积为（）
A．+B．1+C．D．+1
【解答】解：连接CF，
由折叠的性质可知，B′C＝BC＝1，
在Rt△FCB′中，B′C＝1，CF＝2，
∴∠CFB′＝30°，B′F＝＝，
∴∠DCF＝30°，
则折叠后与圆心角为90°的扇形DCE重合部分的面积＝+×1×＝+，
故选：A．
5．（5分）将以B为圆心，a为半径，圆心角为的扇形ABC的弧AC保持长度不变，拉直后与AB，BC构成等腰三角形ABC，则△ABC的面积与扇形ABC面积比较（）A．不发生改变，S△ABC＝πa2
B．发生改变，S△ABC＝a2
C．不发生改变，S△ABC＝πa2
D．发生改变，S△ABC＝a2
【解答】解：扇形ABC的弧长＝＝a，
扇形ABC的面积＝＝a2，
∵圆B的半径为a，扇形ABC的弧长为a，
∴扇形ABC的弧AC保持长度不变，拉直后与AB，BC构成的△ABC是等边三角形，过点B作BD⊥AC于D，
则BD＝AB•sin A＝a，
∴△ABC的面积＝×a×a＝a2，
∴△ABC的面积与扇形ABC面积比较发生改变，△ABC的面积＝a2，
故选：D．
6．（5分）已知关于x，y的方程组有无数多组解，则在待定系数b，k，n，m
表示的4个数中任意取两数相乘，其乘积的最小值为（）
A．12B．16C．20D．24
【解答】解：∵关于x，y的方程组有无数多组解，
∴，
∴n＝﹣6，b＝﹣17，m＝﹣4，k＝﹣9
∴任意取两数相乘，其乘积的最小值＝（﹣4）×（﹣6）＝24
故选：D．
7．（5分）大小完全相同的两等腰直角三角形如图放置，其中∠ABC＝∠E＝90°，AB＝BC
＝DE＝EF，DE与AC交于AC中点N，DF过点C，S△DEF＝98，BD⊥DF且BD＝6，则点D到直线BC的距离为（）
A．B．C．3D．
【解答】解：∵∠ABC＝∠E＝90°，S△DEF＝98，
∴AB＝BC＝DE＝EF＝14，
∵BD⊥DF，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝4，
设点D到直线BC的距离为h，
∴S△BCD＝BC•h＝BD•CD，
即14h＝6×4，
解得h＝．
则点D到直线BC的距离为．
故选：B．
8．（5分）如图所示，已知关于x的二次函数y＝ax2﹣bx+c图象经过（﹣1，0），下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③4ac﹣b2＞﹣4a；④﹣＜a＜﹣；⑤c+2b＞0．
其中正确的结论有（）
A．①②④B．①②⑤C．①③④D．③④⑤
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣bx+c图象经过（﹣1，0），则a+b+c＝0，
函数的对称轴为x＝2，则b＝4a，
故a+4a+c＝0，解得：c＝﹣5a，
①函数对称轴在y轴的右侧，则a（﹣b）＜0，c＞0，故abc＞0，故①正确，符合题意；
②当x＝﹣3时，y＝ax2﹣bx+c＝9a+3b+c＜0，故②正确，符合题意；
③抛物线与x轴有两个交点，则（﹣b）2﹣4ac＞0，而a＜0，故4a＜0，
故4ac﹣b2＞﹣4a错误，不符合题意；
④c＝﹣5a，而1＜c＜2，故﹣＜a＜﹣，故④正确，符合题意；
⑤c+2b＝﹣5a+8a＝3a＜0，故⑤错误，不符合题意；
故选：A．
9．（5分）如图，直线y1＝ax+2与y2＝bx+4交于点N（1，a+2），将直线y1＝ax+2向下平移后得到y3＝ax﹣5，则能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为（）
A．1，2，3B．2，3C．2，3，4D．3，4，5
【解答】解：把N（1，a+2）代入y2＝bx+4得b+4＝a+2，b＝a﹣2，
解不等式ax﹣5＜bx+4，即ax﹣5＜（a﹣2）x+4得x＜，
因为当x＞1时，y2＜y1，
所以满足y3＜y2＜y1的x的范围为1＜x＜，
所以能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为2、3、4．
故选：C．
10．（5分）如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E 在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP 与线段BC交于点N，若∠A＝30°，NQ＝3，则DQ的长为（）
A．B．C．D．
【解答】解：连接OP，OQ，AB，如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∴AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB．
∵点P为BE中点，点Q为AD中点，
∴OP是△BEA的中位线，OQ是△ABD的中位线．
∴OP∥AC，OP＝AE，，OQ∥BC，OQ＝BD．
∵AC⊥BC，
∴OP⊥OQ．
∵BD＝AE，
∴OP＝OQ．
∴△OPQ为等腰直角三角形．
∴∠OPQ＝∠OQP＝45°．
∵∠CAD＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CDA＝60°．
∴∠BDA＝120°．
∵OQ∥BD，
∴∠OQA＝∠BDA＝120°．
∴∠NQD＝180°﹣∠OQA﹣∠OQP＝180°﹣120°﹣45°＝15°．
∵∠ADC＝∠DNQ+∠DQN，
∴∠DNQ＝∠CDA﹣∠NQD＝45°．
过点Q作QM⊥CD于点M，则△QMN为等腰直角三角形，
∴MQ＝NQ＝．
在Rt△QDM中，
∵sin∠MDQ＝，
∴DQ＝＝×＝．
故选：C．
二、填空题（本题共7小题，每小题6分，共48分）
11．（6分）方程4x3﹣9x＝0的解为x1＝0，x2＝﹣，x3＝．
【解答】解：4x3﹣9x＝0，
x（4x2﹣9）＝0，
x（2x+3）（2x﹣3）＝0．
∴x＝0或2x+3＝0或2x﹣3＝0．
所以原方程的解为：x1＝0，x2＝﹣，x3＝．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣，x3＝．
12．（6分）在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC边上的高BD＝4，E，F分别为线段AB，BC 中点，连接EF，则EF的长为2+或2﹣．
【解答】解：在直角△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝8，BD＝4，则AD＝＝＝4．
在直角△BCD中，∠BDC＝90°，BC＝6，BD＝4，则CD＝＝＝
2．
如图1，AC＝AD+CD＝4+2．
∵E，F分别为线段AB，BC中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC＝×（4+2）＝2+．
如图2，AC＝AD﹣CD＝4﹣2．
∵E，F分别为线段AB，BC中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC＝×（4﹣2）＝2﹣．
综上所述，EF的长度是2+或2﹣．
故答案是：2+或2﹣．
13．（6分）如图，A，B，C为在同一条直线上的顺次三点，DA⊥AC于点A，EC⊥AC于点C，DB⊥BE于点B，EC+EB＝AC＝10．若BC＝x，则△ABD的周长为20．
【解答】解：∵DA⊥AC于点A，EC⊥AC于点C，DB⊥BE于点B，
∴∠A＝∠C＝90°，∠D+∠DBA＝90°，∠DBA+∠EBC＝90°，
∴∠D＝∠EBC，
∴△DAB∽△BCE，
∴，
由题AB＝10﹣x，
∵EC＝EB＝AC，
∴EB＝10﹣EC，
∴，
∴，，
在Rt△BEC中，BC2+CE2＝BE2，
∴EC2+x2＝（10﹣EC）2，
∴，
∴C△ABD＝DA+DB+AB
＝
＝，
∴△ABD的周长为20，
故答案为：20．
14．（6分）已知（x+y）n展开，按x降幂排列后的多项式各项系数可以如图对应，如：（x+y）3＝x3+3x2y+3xy2+y3，各项系数分别为1，3，3，1，则（x﹣）2021展开后x2018的系数
为﹣6063．
【解答】解：∵（x﹣）2021展开后的第二项x的指数为2018，
∴（x﹣）2021展开后的第二项为2021x2020×（﹣）＝﹣6063，
故答案为：﹣6063．
15．（6分）矩形ABCD的相邻两边长AB＝7，BC＝10．在同一平面内，以顶点A为圆心，以5为半径作圆A，在AB边上取一点E，使得BE＝2，以点E为圆心，r为半径作圆E，求使⊙E与⊙A有公共点，且点B在⊙E内，点D在⊙E外的r的取值范围是2＜r≤10．【解答】解：如图，
∵点B在⊙E内，
∴r＞2，
∵⊙E与⊙A有公共点，
∴r≤5×2＝10，
∴点D在⊙E外的r的取值范围是2＜r≤10．
故答案为：2＜r≤10．
16．（6分）要研究使x，y满足x+1﹣y≥0的范围问题时，我们可以借助观察y＝x+1的图象解决．如图，阴影部分为满足x+1﹣y≥0的区域，若x，y满足条件，令M ＝2x﹣5y，则M的取值范围为﹣3≤M≤4．
【解答】解：由题意得，下图阴影部分（△OAB所在的区域）为x，y满足题设条件的区域，
联立，解得，即点B（1，1），
对于x+y﹣2＝0，令y＝0，则x＝2，故点A（2，0），
由M＝2x﹣5y得：y＝x﹣M，
则M为直线y＝x﹣M与y轴交点的纵坐标，
如图，当直线：y＝x﹣M过点A时，此时﹣M最小，即M最大，
将点A坐标代入上式得：0＝×2﹣M，解得：M＝4，
同理当直线：y＝x﹣M过点B时，此时﹣M最大，即M最小，
即1＝×1﹣M，解得：M＝﹣3，
故﹣3≤M≤4．
故答案为：﹣3≤M≤4．
17．（6分）（1）如图1，Rt△ABC中，点C为直角顶点，∠CAB＝30°，BC＝3，将△ABC 沿直角边AC翻折后得到△ADC，将△ADC绕点C进行任意角度旋转得到△A′D′C（旋转后两三角形不重合），直线DD′与直线AA′交于点P，连接BP．求在旋转过程中线段BP的最大值为3+3，最小值为3﹣3．
（2）由上一题的思考，如图2，边长都为6的两正方形ABCD和正方形A′B′C′D′．在同一平面内，BC与B′C′的中点同时重合于点O，将正方形A′B′C′D′绕点O旋
转任意角度，在旋转过程中直线AA′和直线C′C交于点P，在旋转过程中线段BP的最大值与最小值之和为9．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝30°，BC＝3，∠ACB＝90°，
∴AB＝6，AC＝BC＝3，
∵将△ABC沿直角边AC翻折后得到△ADC，
∴AD＝AB＝6，CD＝BC＝3，
∴AD＝AB＝BD＝6，
∴△ABD是等边三角形，
如图，设A'C与PD'交于点N，
∵将△ADC绕点C进行任意角度旋转得到△A′D′C′，
∴CD＝CD'，AC＝A'C，∠ACA'＝∠DCD'，
∴∠AA'C＝∠CAA'＝∠CDD'＝CD'D，
∵∠CD'N+∠CND'＝90°，
∴∠AA'C+∠CND'＝∠AA'C+∠ANP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，
取AD中点O，连接BO，
∵△ABD是等边三角形，AO＝DO＝3，
∴BO⊥AD，∠ABO＝30°，
∴BO＝3，
当点P在线段BO上时，BP最小值为3﹣3，
当点P在线段BO的延长线上时，BP最大值为3+3，
故答案为：3+3，3﹣3，
（2）如图2中，连接AC，BD，OA，OA′
由旋转的性质可知，∠AOA′＝∠COC′，OA＝OA′，OC＝OC′，
∴∠OAA′＝∠OCC′，
∵∠OCC′+∠OCP＝180°，
∴∠OAA′+∠OCP＝180°，
∴∠AOC+∠APC＝180°，
∵∠AOC是定值，
∴∠APC是定值，
∴点P在△AOC的外接圆⊙J上运动，点J在对角线BD上，
过点J作JH⊥OC于H，连接JO，则OH＝HC＝，BH＝JH＝，JP＝JO＝＝，
∴BJ＝BH＝，
∵BJ﹣PJ≤PB≤JB+JP，
∴﹣≤BP≤+，
∴PB的最小值为﹣，最大值为+，
∴线段BP的最大值与最小值之和为9，
故答案为：9．
三、解答题（共52分）
18．（10分）学完正弦、余弦、正切的定义后，同学们对有一个锐角为60°的三角形的边角关系进行了进一步研究．若三角形三个内角分别为a＝60°，β和γ，将a所对的边与β所对的边之比定义为Rzcβ，将a所对的边与γ所对的边之比定义为Rymβ，称Rzcβ与Rymβ互为β的“姐弟”函数，已知△ABC中，∠C＝60°．
（1）若∠A＝75°，分别求RzcA和RymA的值；
（2）若RzcA＝，求∠A的度数；
（3）若AC2+BC2＝4AB2﹣2AC•BC，探究RzcA与RymA的数量关系．
【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，
设CD＝x，
Rt△ADC中，∠C＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2x，AD＝x，
∵∠BAC＝75°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴AD＝BD＝x，
∴AB＝BD＝x，
∴RzcA＝＝＝，
RymA＝＝＝；
（2）如图2，过B作BD⊥AC于D，
设CD＝x，
Rt△BDC中，∠C＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝2x，BD＝x，
∵RzcA＝＝，AB＝2x，
∴AB＝2BD，
由（1）同理得∠A＝30°；
（3）＝2，
理由是：∵AC2+BC2＝4AB2﹣2AC•BC，
AC2+BC2+2AC•BC＝4AB2，
（AC+BC）2＝4AB2，
AC+BC＝2AB，
∵RzcA＝，RymA＝，
∴＝＝＝＝2．
19．（10分）地震是人类一直在研究并试图战胜的自然灾害，四川是地震频发区，为更好的研究地震的破坏性，石创中学创新基地同学做了如下模拟监测实验．如图为地面（AB）以下至地震波反射面（MN）的横截面示意图，其中，O为震源，A为震中，B为观测站，OA⊥AB，AB∥MN．从O会同时发出两种震波：直达波（路径为OB）和反射波（路径为OCB），它们的传播速度相同．已知震源深度h＝14km，震中至观测站距离AB＝48km．（1）求直达波传播的距离OB；
（2）已知反射波（路径OCB）满足∠OCM＝∠BCN，地震波的传播速度为5km/s，观测站收到两种地震波的时间差为2s，求地面与反射面的距离H．
【解答】解：（1）∵OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
又∵OA＝h＝14km，AB＝48km，
∴OB＝＝＝50（km）；
（2）延长AO交MN于P，延长BC交AO的延长线于Q，
∵直达波和反射波传播速度相同，地震波速度＝5km/s，观测站收到两种地震波的时间差为2s，
∴﹣＝2，
∵OB＝50km，
∴OC+BC＝60km，
∵∠OCM＝∠BCN，∠BCN＝∠PCQ，
∴∠OCM＝∠PCQ，
又∵CP⊥OQ，
∴OC＝QC，
∴OP＝PQ，
∴QB＝QC+CB＝OC+CB＝60km，
在Rt△AQB中，AQ2+AB2＝QB2，
∵AB＝48km，QB＝60km，
解得：AQ＝36（km），
∴OQ＝AQ﹣OA＝22（km），
∴OP＝11km，
∴H＝AP＝AO+OP＝14+11＝25（km）．
20．（10分）如图，过点A作AD∥BC交∠ABC的平分线于点D，连接AC，BD，AC⊥BD 于点O；若BC＝5，＝，在∠ABC边BC上任取异于点B的一点N，连接AN与BD 交于点M，连接MC．
（1）当N在线段BC上时，设BN＝x，S△MNC＝y，试用含x的代数式表示y；
（2）若△MNC为直角三角形，求BN的长．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
又∵AC⊥BD于O，
∴BO＝OD，
在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴OC＝OA，BC＝AD，
∵＝，
∴＝，
又∵BC＝5，∠BOC＝90°，
∴OC＝，OB＝2，
∵AD∥BC，
∴△BNM∽△DAM，
∴＝，
∴＝，
又∵BM+DM＝4，
∴BM＝，
如图，过点M作MH⊥BC于H，
∵∠MBH＝∠OBC，∠MHB＝∠BOC＝90°，∴△BMH∽△BCO，
∴＝＝，
∴MH＝，
∴S△MNC＝×NC×MH，
∴y＝（5﹣x）•，
∴y＝；
（2）①若∠MNC＝90°，
则△BNM∽△BOC，
∴＝＝＝2，
∴NM＝x，
∴BM＝x，
∴＝x，
∴x＝BN＝3．
②若∠NMC＝90°，
则∠AMC＝90°，
由（1）知△ANC为等腰三角形，AB＝BC，
又∵AC⊥BO，
∴MA＝MC，
∴△AMC为等腰直角三角形，
∵AO＝，
∴MO＝，
∵BO＝2，
∴BM＝，
∴＝，
∴x＝，
综上所述，BN＝3或x＝．
21．（10分）（1）如图1，M，N分别为△ABC中AB，AC边的中点，连接BN，CM，BN⊥CM于点O．求证：AB2+AC2＝5BC2．
（2）如图2，AB∥CD，AD与BC互相垂直平分于点G，AB＝CD＝2，分别取线段AG，BG的中点M、N，交于点O的射线CM和射线DN分别与AB交于点E、F，求OE2+OF2的值．
【解答】解：（1）∵M，N分别为△ABC中AB，AC边的中点，
∴MN∥BC且MN＝BC，BM＝AB，CN＝AC，
∴△MON∽△COB，
∴＝＝＝，
∴OC2＝4OM2，BO2＝4NO2，
∵BN⊥CM，
∴Rt△NOC和Rt△BOM中，根据勾股定理，得
OC2+ON2＝NC2，BO2+OM2＝BM2，
∴4OM2+ON2＝AC2①，
4NO2+OM2＝BA2②，
在Rt△BOC中，BO2+OC2＝BC2，
∴4NO2+4OM2＝BC2③，
①×4得，16OM2+4ON2＝AC2，
②×4得，16ON2+4OM2＝BA2，
③×5得，20ON2+20OM2＝5BC2，
∴AB2+AC2＝5BC2；
（2）如图2，连接MN，
∵AB∥CD，AB＝CD，
又由（1）MN∥CD，且MN＝CD，∴MN∥AB，且MN＝AB，
由（1）知，OC2+OD2＝5CD2，
∵EF∥CD，
∴△OEF∽△OCD，
∴＝＝，
∵OC2+OD2＝5CD2，
∴OE2+OF2＝5EF2，
∵AD与BC互相垂直平分于点G，
∴AG＝DG，BG＝CG，
∵M、N为线段AG，BG的中点，
∴AM＝MG，BN＝NG，
∴＝＝，
∵EF∥MN，
∴△AEM∽△DMC，△BFN∽△CDN，∴＝，＝，
∴＝，＝，
∵CD＝2，
∴AE＝BF＝，
∴EF＝2﹣﹣＝，
∴OE2+OF2＝5EF2＝5×（）2＝．
22．（12分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线l，顶点为M，点P为直线l上一动点．
（1）抛物线上的一点N为点C关于直线l的对称点，直线BN交y轴于点E，交直线l 于点K，试在x轴上找一点Q，使得C，E，Q，P四点围成的四边形周长最小，求出点P，Q的坐标以及这个周长的最小值；
（2）通过初中的学习，我们把点到直线上所有点的连线段中最短的垂线段的长度称为点到直线的距离．一般而言，我们通常把点到一个图形上所有点的连线段中最短的一条的长度定义为这个点到这个图形的距离．
①求顶点M到直线BN的距离h；
②请找出直线l上所有到直线BN的距离等于h的点坐标；
③动点P到此抛物线的距离为3，求出符合条件的所有点P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴对称轴l为x＝﹣1，M（﹣1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，得：C（0，﹣3），
当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，得：A（﹣3，0），B（1，0），
∴点C关于直线l的对称点N为（﹣2，﹣3），
由B（1，0），N（﹣2，﹣3），得：直线BN的解析式为：y＝x﹣1，
∴E（0，﹣1），
∴CE＝2，
作点E关于x轴的对称点F（0，1），连接NF，交x轴于点Q，交直线l于点P，即为所求P、Q两点．
由点N（﹣2，﹣3），F（0，1），得：直线NF的解析式为：y＝2x+1，NF＝2．
当y＝0时，x＝，得点Q（，0），
当x＝﹣1时，y＝﹣1，得点P（﹣1，﹣1），
∴C四边形PQEC＝PQ+QE+EC+CF＝PQ+QF+NP+EC＝NF+CE＝2+2．
（2）①对直线BN：y＝x﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴K（﹣1，﹣2），
∵M（﹣1，﹣4），N（﹣2，﹣3），
∴MK＝2，MN＝，NK＝．
∴MN2+NK2＝MK2，
∴MN⊥NK，
∴点M到直线BN的距离h＝MN＝．
②由①得：∠NKM＝45°，
设到直线BN的距离为的点为I，则：∠IKN＝45°或∠IKB＝45°，
∴IK＝2，
∵K（﹣1，﹣2），
∴点I的坐标为（﹣1，﹣4），（﹣1，0）．
③根据题意可以理解为：以点P为圆心，半径为3的动圆与抛物线相切时，点P即为所求．
当动圆P在点M下方时，P（﹣1，﹣7），
当动圆P在点M上方时，设P（﹣1，m），切点M（n，（n+1）2﹣4），
∴PM2＝（n+1）2+[（n+1）2﹣4﹣m]2
令y＝（n+1）2，则：PM2＝y+（y﹣4﹣m）2＝y2+（﹣2m﹣7）y+（m+4）2，
∵相切时，PM最小，为3，
∴PM2的最小值为9，
∴，
解得：m＝，
∴P（﹣1，），
综上所述：P（﹣1，﹣7），（﹣1，）．。