高中数学 函数的性质练习(教师版) 新人教A版必修1

函数的性质
一、要点及方法：
1.函数的单调性。

（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）； ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等；
③要熟悉一次、二次、反比例、对勾函数的单调性，特别要注意(0,0)b
y ax a b x
=+>>型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)b b a a -∞-+∞，减区间为[,0),(0,]b b a a
-； ④复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减. 例、已知函数1()2ax f x x +=
+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1
(,)2
+∞）； （2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域,二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”,三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
例、若函数2
()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2
a
-∞上为减函数，求a 的取值范围（答：(1,23)）
2.函数的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法：算出()f x -与()f x 进行比较；
例、判断函数2
|4|49x y x
--=
-的奇偶性____（答：奇函数）。

②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或
()
1()
f x f x -=±（()0f x ≠）； ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。

（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.
例、定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)3
1
(f =2，则不等式2)(log 8
1>x f 的解集为______.（答：
(0,0.5)(2,)+∞）
③若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.
例、若22
()21
x x
a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）. 注意函数单调性与奇偶性的逆用（①比较大小 ②解不等式 ③求参数范围）
例、已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围.（答：
1223
m -
<<）3.常见的图象变换
①函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的; ②函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的; ③函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的; ④函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的;
⑤函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的
a
1
得到的; ⑥函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.
4.函数的对称性
①满足条件()()f x a f b x -=-的函数的图象关于直线2
a b
x +=对称。

②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =与()x f y -=关于y 轴对称； ③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =与()x f y -=关于x 轴对称； ④点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =与()x f y -=关于原点对称； ⑤|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y
轴的对称图形得到。

例、作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象. 二、课后练习：
1.奇函数()f x 满足：①()f x 在(0,)+∞内单调递增；②(1)0f =；则不等式(1)()0x f x ->的解集为： .
2.为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（ ）
A.沿x 轴向右平移1个单位
B.沿x 轴向右平移12个单位
C.沿x 轴向左平移1个单位
D.沿x 轴向左平移1
2个单位
3.已知函数)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，有,1
)(x
x f =
则当)2,(--∞∈x 时， )(x f 的解析式为（ ） A ．x 1-
B ．21--x
C ．21+x
D ．2
1+-x 4.设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数
5.已知函数)127()2()1()(2
2+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.若函数2
()f x x =，则对任意实数12,x x ，下列不等式总成立的是（ ）
A.12(
)2x x f +≤12()()2f x f x + B.12
()2
x x f +<
12()()2f x f x + C.12()2x x f +≥12()()2f x f x + D.12()2x x f +>
12()()2
f x f x + 7.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．)2()1()23(f f f <-<-
B ．)2()23()1(f f f <-<-
C ．)23()1()2(-<-<f f f
D ．)1()2
3()2(-<-<f f f
8.若1
()2
ax f x x +=
+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 . 9.若函数2
()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）
A ．(],40-∞
B ．[40,64]
C ．(][),4064,-∞+∞
D ．[)64,+∞
10.下列判断正确的是（ ）
A ．函数2
2)(2--=x x
x x f 是奇函数 B
．函数()(1f x x =-
C
．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数
11. 若函数2()1
x a
f x x bx +=
++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________.
12.设()f x 是定义在R 上的函数,且对任意实数,x y 都有()()().f x y f x f y +=+求证： （1）()f x 是奇函数；（2）若当0x >时，有()0,f x >则()f x 是R 上的增函数.
13.若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0<x 时，1)(>x f ； （1）求证：()0f x >; （2）求证：)(x f 为减函数; （3）当161)4(=
f 时，解不等式4
1)5()3(2
≤-⋅-x f x f .
14.定义在R 上的函数f (x )满足:①对任意实数x ,y ∈R 有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )；②当x ＞0时,f (x )＜0且f (1)＝－2. (1)求证f (0)＝0；
(2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)判断函数f (x )的单调性；
(4)解不等式f (x 2
－2x )－f (x )≥－8.。