2019版高考数学(理科)二轮复习通用版讲义重点增分专题九立体几何中的向量方法含解析

重点增分专题九 立体几何中的向量方法
[全国卷3年考情分析]
高考对此部分的命题较为稳定，一般为解答题，多出现在第
18或19题的第二问的位置，考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角，难度中等偏上．
考点一 利用空间向量证明空间位置关系 保分考点练后讲评
1.[证明线面垂直]在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，D 为C 1C 的中点，求证：B 1D ⊥平面ABD .
证明：由题意知AB ，BC ，BB 1两两垂直，故以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)， 设BA ＝a ，则A (a,0,0)，
所以BA ―→＝(a,0,0)，BD ―→
＝(0,2,2)， B 1D ―→
＝(0,2，－2)，
所以B 1D ―→·BA ―→＝0，B 1D ―→·BD ―→＝0＋4－4＝0， 即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .
又BA ∩BD ＝B ，BA ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， 所以B 1D ⊥平面ABD .
2.[证明线面平行、面面垂直]如图所示，在底面是矩形的四棱锥
P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.
(1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .
证明：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2，0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，
所以E ⎝⎛⎭⎫12，1，12，F ⎝
⎛⎭⎫0，1，1
2， EF ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，0，0，AP ―→＝(0,0,1)，AD ―→
＝(0,2,0)， DC ―→＝(1,0,0)，AB ―→
＝(1,0,0)．
(1)因为EF ―→＝－12AB ―→，所以EF ―→∥AB ―→
，
即EF ∥AB .
又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ， 所以EF ∥平面PAB .
(2)因为AP ―→·DC ―→
＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， AD ―→·DC ―→＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ―→⊥DC ―→，AD ―→⊥DC ―→， 即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .
又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以DC ⊥平面PAD .因为DC ⊂平面PDC ， 所以平面PAD ⊥平面PDC .
[解题方略] 利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题.
考点二 利用空间向量求空间角 增分考点·
广度拓展 [分点研究]
题型一 计算异面直线所成的角
[例1] 已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．
[解] 法一：(基向量法)如图，取BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，BB 1―→
＝c ，则由已知可得|a |＝2，|b |＝|c |＝1，
且〈a ，b 〉＝120°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 所以a ·b ＝2×1×cos 120°＝－1，a ·c ＝b ·c ＝0. 因为AB 1―→＝c －a ，BC 1―→
＝b ＋c ，
所以AB 1―→·BC 1―→＝(c －a )·(b ＋c )＝c 2＋c ·b －a ·b －a ·c ＝12＋0－(－1)－0＝2. 又|AB 1―→|＝(c －a )2＝c 2－2c ·a ＋a 2＝12－0＋22＝5， |BC 1―→|＝
(b ＋c )2＝
b 2＋2b ·
c ＋c 2＝
12＋0＋12＝2，
所以cos 〈AB 1―→，BC 1―→
〉＝AB 1―→·BC 1―→|AB 1―→||BC 1―→|＝25×2＝105. 所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为
10
5
. 法二：(坐标法)如图，在平面ABC 内过点B 作BD ⊥AB ，交
AC 于点D ，则∠CBD ＝30°.
因为BB 1⊥平面ABC ，故以B 为坐标原点，分别以射线BD ，BA ，BB 1为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则B (0,0,0)，A (0,2,0)，B 1(0,0,1)，C 1(cos 30°，－sin 30°，1)，即C 1⎝⎛⎭
⎫32，－12，1.
所以AB 1―→＝(0，－2,1)，BC 1―→＝⎝⎛⎭⎫
32，－12，1.
所以cos 〈AB 1―→，BC 1―→
〉＝AB 1―→·BC 1―→
|AB 1―→||BC 1―→|
＝
0×
3
2
＋(－2)×⎝⎛⎭⎫－12＋1×10＋(－2)2＋12×
⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭
⎫－122＋12＝
105
. 所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105
. [解题方略] 向量法求异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b |
|a ||b |
，其中，a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量．
此方法解题的关键在于找出两异面直线的方向向量，求两个向量的数量积，而要求两向量的数量积，可以求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示．两个向量的夹角范围是[0，π]，而两异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦
⎤0，π
2，应注意加以区分． [注意] 两条异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π
2.当所作或所求的角为钝角时，应取其补角作为两条异面直线所成的角．
题型二 计算直线与平面所成的角
[例2] (2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F
分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .
(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值． [解] (1)证明：由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ， 又PF ∩EF ＝F ， 所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ，
所以平面PEF ⊥平面ABFD . (2)如图，作PH ⊥EF ，垂足为H . 由(1)得，PH ⊥平面ABFD .
以H 为坐标原点，BF ―→的方向为y 轴正方向，|BF ―→
|为单位长，建立如图所示的空间直
角坐标系H -xyz .
由(1)可得，DE ⊥PE . 又因为DP ＝2，DE ＝1， 所以PE ＝ 3.
又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF . 所以PH ＝
32，EH ＝32
. 则H (0,0,0)，P ⎝⎛⎭
⎫
0，0，
32，D ⎝⎛⎭⎫－1，－32，0， DP ―→＝⎝⎛⎭⎫1，32，32，HP ―→＝⎝⎛⎭⎫
0，0，32.
又HP ―→
为平面ABFD 的法向量， 设DP 与平面ABFD 所成角为θ， 则sin θ＝|HP ―→·DP ―→||HP ―→||DP ―→|
＝3
43＝3
4.
所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为3
4
.
[解题方略] 向量法求直线和平面所成的角
设θ为直线l 与平面α所成的角，φ为直线l 的方向向量m 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有φ＝π2－θ(如图(1))或φ＝π
2＋θ(如图(2))，所以有sin θ＝|cos φ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |.
特别地，φ＝0时，θ＝π2，l ⊥α；φ＝π
2
时，
θ＝0，l ⊂α或l ∥α.
题型三 计算二面角
[例3] 如图，在平行六面体ABCD
-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面
ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.
(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B -A 1D -A 的正弦值．
[解] (1)在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ，
所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .
故以AE ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .
因为AB ＝AD ＝2， AA 1＝3，∠BAD ＝120°，
则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1) A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→
＝(3，1，3)． 则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→
〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17. 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.
(2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→
＝(3，0,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量， 又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→
＝(－3，3,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
m ·A 1B ―→＝0，m ·
BD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.
不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，
所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量， 从而cos 〈AE ―→
，m 〉＝AE ―→
·m |AE ―→||m |＝333×4＝34. 设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则|cos θ|＝34
.。