高考数学压轴专题2020-2021备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点总复习含答案

新高考数学《集合与常用逻辑用语》专题解析
一、选择题
1．已知集合(
){
}2
||lg 4A x y x ==-，{|B x y ==
，则A B =I ( )
A ．{}|12x x <<
B ．{}|12x x ≤<
C ．{}|13x x 剟
D ．{}|23x x -<„
【答案】B 【解析】 【分析】
根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合(
){
}2
|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y x B x y ==-=-==
=，
所以{|12}A B x x =≤<I . 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
2．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
【答案】B 【解析】
分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果. 详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；
若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．已知集合{}
2
230A x x x =-->，(){}
lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ）
A ．{}13x x -≤<
B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<<
【答案】C
【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð. 【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.
{}
13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
4．下列命题是真命题的是（ ）
A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；
B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2
011x -≤；
C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；
D ．命题“若()110x
x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据面面关系判断A ；根据否定的定义判断B ；根据充分条件，必要条件的定义判断C ；根据逆否命题的定义判断D. 【详解】
若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故A 错误； 命题“p ：x R ∀∈，211x -≤”的否定为p ⌝：0x R ∃∈，2
011x ->，故B 错误；
p q ∨为真，说明,p q 至少一个为真命题，则不能推出p q ∧为真；p q ∧为真，说明,p q
都为真命题，则p q ∨为真，所以“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，故C 错误；
命题“若()110x
x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”，故
D 正确； 故选D 【点睛】
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
5．已知下列四个命题
1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2P ：若()x x f x e e -=-，则,()()x R f x f x ∀∈-=-
3P ：若1
()1
f x x x =+
+则()00(0,),1x f x ∃∈+∞= 4P ：在ABC V 中，若A B >，则sin sin A B >
其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据线面垂直关系判断1P 错误；根据函数奇偶性判定2P 正确，利用基本不等式性质判断
3P 不正确，结合三角形边角关系判定4P 正确.
【详解】
解：1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥不一定成立，必须是任意直线；故命题1P 错误，
2P ：若()x x f x e e -=-，则()()x x f x e e f x --=-=-，即,()()x R f x f x ∀∈-=-成
立；命题正确，
3P ：当1x >-时，11()11121111f x x x x x =+
=++-=-=++…， 当且仅当111
x x +=
+，即2
(1)1x +=，得0x =时取等号，则()00(0,),1x f x ∃∈+∞=不成立，故命题为假命题，
4P ：在ABC V 中，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin A B >，即命题为真命题.
则正确的命题的个数是2， 故选：B . 【点睛】
此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.
6．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2
010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；
（2）已知2
(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为
ˆ23y
x =-； （4）“1x ≥”是“1
2x x
+≥”的充分不必要条件. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得
2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；
（2）中，已知(
)2
2,X N σ
~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所
以 (2)0.5P X >=是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质
和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23y
x =-是正确；
（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，
所以“1x ≥”是“1
2x x
+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出
tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果. 详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >，
所以
sin sin 1cos cos A B
A B
>，因为0,0A B ππ<<<<， 所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，
结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以
2
A B π
π<+<，
因此02
C <<
π
，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
8．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
9．已知圆222:(1)(0)C x y r r +-=>，设:0p r <<q ：圆C 上至多有2个点到
直线30x y ++=p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
【分析】
由圆C 的圆心为(0,1)，得到其到直线30x y ++=的距离为“,r d ”法，分析当
0r <<，r =r <<，r =r >时，圆C 上的点到直线
30x y ++=
的个数，再根据逻辑条件的定义求解.
【详解】
圆C 的圆心为(0,1)，其到直线30x y ++=的距离为．
当0r <<；
当r =
；
r <时，圆上有2；
当r =3；
当r >，圆上有4．
若圆C 上至多有2个点到直线30x y ++=的距离为2，则0r << 所以p 是q 的充要条件． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查逻辑条件以及直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
10．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R
>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.
11．已知集合*4
x
M x N ⎧=∈⎨⎩且*10x N ⎫∈⎬⎭，集合40x N x
Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N = B ．N M ⊆ C ．20x M N x
Z ⎧⎫
⋃=∈⎨⎬⎩⎭
D ．*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：集合M 表示能被20整除的正整数， 而集合N 表示能被40整除的整数，
据此可得，集合N 与集合M 的公共元素为能被40整除的正整数， 即*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
， 本题选择D 选项.
12．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，
()2
21331321
222228
D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.
【详解】
由题意可知：()()2
21210p p p p -+-+= ， 且()2
011p <-<，()0211p p <-<，2
01p <<
解得：01p <<，
()()()2
211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，
()()()()()()2
2
2
2
2
141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
288p p =-+，
设()411,3E p t ξ=-=∈-，
2
21113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪
⎝⎭
()2
1122
t =-
-+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2
880,2D p p t ξ=-+=∈，
2
1822p t ⎛
⎫--+= ⎪⎝⎭，
2
1228t p -⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， 当102p <<
时，12p =
，此时1412E ξ⎛=- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，
当112p ≤<
时，12p =+
1412E ξ⎛=+- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ减小，
所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.
综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】
本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.
13．给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4
x π
=
”的充分不必要条件；
②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001
,2x x x ∃∈+
≥R ”的否定形式是“1,2x x x ∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果. 【详解】
对于①，当4
x π
=
时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4
x k k ππ=+
∈Z ，
所以“tan 1x =”是“4
x π
=
”的必要不充分条件，所以①不正确；
对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域[],a b 关于原点对称，所以
5b =，
所以函数2
()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确；
对于③，命题“0001
,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x
∀∈+<R ”，所以③不正确； 故错误说法的个数为2. 故选：C. 【点睛】
本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题..
14．已知集合{
}2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧==>==
⎨⎩，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】
∵集合{}
2log ,1A y y x x == ∴集合(0,)A =+∞
∵集合|B x y ⎧==
⎨⎩ ∴集合1(,)2
B =-∞ ∴1(0,)2
A B ⋂= 故选A.
15．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( ) A ．(1,3) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1) D ．(－3,1)
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】
依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)， ∴A ∩B ＝(－1,1)． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．已知集合{
}|3x
M y y ==，{|N x y ==
，则M N =I （ ）
A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|1}x x ≤
D ．{|0}x x >
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合{
}|3
{|0}x
M y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ==
=≤，
所以{|01}M N x x ⋂=<≤. 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．
17．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}
2
|0?N x x x =-<，则下
列结论正确的是 A ．M N N =I B ．()U M N =∅I ð C ．M N U =U D ．()
U M N ⊆ð
【答案】A 【解析】 【分析】
求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】
由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】
本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代
表元决定．
18．已知集合{|21
}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （ ） A ．(1,2)
B ．[1,2)
C ．(2,3)
D ．(0,1]
【答案】B
【解析】
【分析】 由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】 由题意，可求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，则[]1,3R C A =， 所以()[)1,2R C A B ⋂=.故选B.
【点睛】
本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
19．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(,2]-∞-
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)-+∞ 【答案】B
【解析】
由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[
)2,+∞ 本题选择B 选项.
20．命题“x R ∀∈，2230x x -+≤”的否定为（ ）
A ．x R ∀∈，2230x x -+≥
B ．x R ∃∉，2230x x -+>
C ．x R ∃∈，2230x x -+>
D ．x R ∀∉，2230x x -+≤
【答案】C
【解析】
分析：根据全称命题的否定得结果.
详解：因为x R ∀∈，2230x x -+≤，所以否定为x R ∃∈，2230x x -+>,
选C.
点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.。