20版：功能关系 能量守恒定律（步步高）

第4讲功能关系能量守恒定律
一、几种常见的功能关系及其表达式
力做功能的变化定量关系
合力的功动能变化W＝E k2－E k1＝ΔE k
重力的功重力势能变化(1)重力做正功，重力势能减少
(2)重力做负功，重力势能增加
(3)W G＝－ΔE p＝E p1－E p2
弹簧弹力的功弹性势能变化(1)弹力做正功，弹性势能减少
(2)弹力做负功，弹性势能增加
(3)W弹＝－ΔE p＝E p1－E p2
只有重力、弹簧弹力做功机械能不变化机械能守恒，ΔE＝0
除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功机械能变化
(1)其他力做多少正功，物体的机械能
就增加多少
(2)其他力做多少负功，物体的机械能
就减少多少
(3)W其他＝ΔE
一对相互作用的滑动摩擦
力的总功机械能减少
内能增加
(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一
定做负功，系统内能增加
(2)摩擦生热Q＝F f·x相对
自测1(多选)(2018·江西省赣州市十四县市期中)一个质量为m的物体以a＝2g的加速度竖直向下运动，则在此物体下降h高度的过程中，物体的()
A．重力势能减少了2mgh
B．动能增加了2mgh
C．机械能保持不变
D．机械能增加了mgh
答案BD
解析下降h高度，则重力做正功mgh，所以重力势能减小mgh，A错误；根据动能定理可得F合h＝ΔE k，又F合＝ma＝2mg，故ΔE k＝2mgh，B正确；重力势能减小mgh，而动能增大2mgh，所以机械能增加mgh，C错误，D正确．
二、两种摩擦力做功特点的比较
类型
比较
静摩擦力做功
滑动摩擦力做功
不同点
能量的转化方面
只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体
(2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量 一对摩擦力
的总功方面 一对静摩擦力所做功的代
数和总等于零 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值
相同点 正功、负功、不做功方面
两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功
自测2 如图1所示，一个质量为m 的铁块沿半径为R 的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁块损失的机械能为( )
图1
A.4
3mgR B ．mgR C.1
2mgR D.3
4
mgR 答案 D
三、能量守恒定律 1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变． 2．表达式 ΔE 减＝ΔE 增． 3．基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等； (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
自测3(多选)如图2所示为生活中磨刀的示意图，磨刀石静止不动，刀在手的推动下从右向左匀速运动，发生的位移为x，设刀与磨刀石之间的摩擦力大小为F f，则下列叙述中正确的是()
图2
A．摩擦力对刀做负功，大小为F f x
B．摩擦力对刀做正功，大小为F f x
C．摩擦力对磨刀石做正功，大小为F f x
D．摩擦力对磨刀石不做功
答案AD
命题点一功能关系的理解
1．只涉及动能的变化用动能定理分析．
2．只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析．
3．只涉及机械能的变化，用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析．例1(2018·广东省惠州市第三次调研)质量为2 kg的物体以10 m/s的初速度，从起点A出发竖直向上抛出，在它上升到某一点的过程中，物体的动能损失了50 J，机械能损失了10 J，设物体在上升、下降过程空气阻力大小恒定，则该物体再落回到A点时的动能为(g＝10 m/s2)() A．40 J B．60 J C．80 J D．100 J
答案 B
解析物体抛出时的总动能为100 J，物体的动能损失了50 J时，机械能损失了10 J，则动能损失100 J时，机械能损失了20 J，此时到达最高点，返回时，机械能还会损失20 J，故从A 点抛出到落回到A点，共损失机械能40 J，所以该物体再落回到A点时的动能为60 J，A、C、D错误，B正确．
变式1(多选)(2018·四川省攀枝花市第二次统考) 物体由地面以120 J的初动能竖直向上抛出，当它从抛出至上升到某一点A的过程中，动能减少40 J，机械能减少10 J．设空气阻力大小不变，以地面为零势能面，则物体()
A．落回到地面时机械能为70 J
B．到达最高点时机械能为90 J
C．从最高点落回地面的过程中重力做功为60 J
D．从抛出到落回地面的过程中克服阻力做功为60 J
答案 BD
解析 物体以120 J 的初动能竖直向上抛出，向上运动的过程中重力和空气阻力都做负功，当上升到某一高度时，动能减少了40 J ，而机械能损失了10 J ．根据功能关系可知：合力做功为－40 J ，空气阻力做功为－10 J ，对从抛出点到A 点的过程，根据功能关系：mgh ＋F f h ＝40 J ，F f h ＝10 J ，得F f ＝1
3mg ；当上升到最高点时，动能为零，动能减小120 J ，设最大高
度为H ，则有：mgH ＋F f H ＝120 J ，解得mgH ＝90 J ，F f H ＝30 J ，即机械能减小30 J ，在最高点时机械能为120 J －30 J ＝90 J ，即上升过程机械能共减少了30 J ；当下落过程中，由于阻力做功不变，所以机械能又损失了30 J ，故整个过程克服阻力做功为60 J ，则该物体落回到地面时的机械能为60 J ，从最高点落回地面的过程中重力做功为mgH ＝90 J ，故A 、C 错误，B 、D 正确.
命题点二 功能关系的综合应用
例2 (多选)(2016·全国卷Ⅱ·21)如图3所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O 点，另一端与小球相连．现将小球从M 点由静止释放，它在下降的过程中经过了N 点．已知在M 、N 两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM <∠OMN <π
2.在小球从M 点运动
到N 点的过程中( )
图3
A ．弹力对小球先做正功后做负功
B ．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C ．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D ．小球到达N 点时的动能等于其在M 、N 两点的重力势能差 答案 BCD
解析 因M 和N 两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM <∠OMN <π
2，知小球在M 处
时弹簧处于压缩状态，在N 处时弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹力对小球先做负功后做正功再做负功，选项A 错误；当弹簧水平时，小球在竖直方向受到的力只有重力，加速度为g ；当弹簧处于原长位置时，小球只受重力，加速度为g ，则有两个时刻小球的加速度大小等于g ，选项B 正确；弹簧长度最短时，即弹簧水平，弹力方向与速度方向垂直，弹力对小球做功的功率为零，选项C 正确；由动能定理得，W F ＋W G ＝ΔE k ，因小球在M 和N 两点处弹簧对小
球的弹力大小相等，弹性势能相等，则由弹力做功特点知W F ＝0，即W G ＝ΔE k ，选项D 正确． 变式2 (多选)(2018·福建省龙岩市上学期期末)如图4所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴O 上，另一端与套在粗糙固定直杆A 处质量为m 的小球(可视为质点)相连．A 点距水平面的高度为h ，直杆与水平面的夹角为30°，OA ＝OC ，B 为AC 的中点，OB 等于弹簧原长．小球从A 处由静止开始下滑，经过B 处的速度为v ，并恰能停在C 处．已知重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )
图4
A ．小球通过
B 点时的加速度为g 2
B ．小球通过AB 段与B
C 段摩擦力做功相等 C ．弹簧具有的最大弹性势能为1
2m v 2
D ．A 到C 过程中，产生的内能为mgh 答案 BCD
解析 因在B 点时弹簧处于原长，则到达B 点时的加速度为a ＝g sin 30°－μg cos 30°<1
2g ，选
项A 错误；因AB 段与BC 段关于B 点对称，则在两段上弹力的平均值相等，则摩擦力平均值相等，摩擦力做功相等，选项B 正确；设小球从A 运动到B 的过程克服摩擦力做功为W f ，弹簧具有的最大弹性势能为E p ，根据能量守恒定律得，对于小球从A 到B 的过程有：mg ·1
2h
＋E p ＝12m v 2＋W f ，从A 到C 的过程有：mgh ＝2W f ，解得：W f ＝12mgh ，E p ＝1
2m v 2.即弹簧具有
的最大弹性势能为1
2m v 2，A 到C 过程中，产生的内能为2W f ＝mgh ，选项C 、D 正确．
例3 (多选)(2018·广东省潮州市下学期综合测试)如图5所示，竖直平面内有一半径为R 的固定1
4圆轨道与水平轨道相切于最低点B .一质量为m 的小物块P (可视为质点)从A 处由静止滑
下，经过最低点B 后沿水平轨道运动，到C 处停下，B 、C 两点间的距离为R ，物块P 与圆轨道、水平轨道之间的动摩擦因数均为μ.现用力F 将物块P 沿下滑的路径从C 处缓慢拉回圆弧轨道的顶端A ，拉力F 的方向始终与物块P 的运动方向一致，物块P 从B 处经圆弧轨道到达A 处过程中，克服摩擦力做的功为μmgR ，下列说法正确的是( )
图5
A ．物块P 在下滑过程中，运动到
B 处时速度最大
B ．物块P 从A 滑到
C 的过程中克服摩擦力做的功等于2μmgR C ．拉力F 做的功小于2mgR
D ．拉力F 做的功为mgR (1＋2μ) 答案 CD
解析 当重力沿圆轨道切线方向的分力等于滑动摩擦力时速度最大，此位置在AB 之间，故A 错误；将物块P 缓慢地从B 拉到A ，克服摩擦力做的功为μmgR ，而物块P 从A 滑到B 的过程中，物块P 做圆周运动，根据向心力知识可知物块P 所受的支持力比缓慢运动时要大，则滑动摩擦力增大，所以克服摩擦力做的功W f 大于μmgR ，因此物块P 从A 滑到C 的过程中克服摩擦力做的功大于2μmgR ，故B 错误；由动能定理得，从C 到A 的过程中有W F －mgR －μmgR －μmgR ＝0－0，则拉力F 做的功为W F ＝mgR (1＋2μ)，故D 正确；从A 到C 的过程中，根据动能定理得mgR －W f －μmgR ＝0，因为W f >μmgR ，则mgR >μmgR ＋μmgR ，因此W F <2mgR ，故C 正确．
变式3 (2018·四川省第二次“联测促改”)高速公路部分路段旁建有如图6所示的避险车道，车辆可驶入避险．若质量为m 的货车刹车后以初速度v 0经A 点冲上避险车道，前进距离l 时到B 点减速为0，货车所受阻力恒定，A 、B 两点高度差为h ，C 为A 、B 中点，已知重力加速度为g ，下列关于该货车从A 运动到B 的过程说法正确的是( )
图6
A ．克服阻力做的功为1
2m v 02
B ．该过程产生的热量为1
2
m v 02－mgh
C ．在AC 段克服阻力做的功小于在CB 段克服阻力做的功
D ．在AC 段的运动时间等于在CB 段的运动时间 答案 B
解析 根据动能定理有－mgh －F f l ＝0－12m v 02，克服阻力做的功为W f ＝F f l ＝1
2m v 02－mgh ，故
A 错误；克服阻力做的功等于系统产生的内能，则该过程产生的热量为1
2m v 02－mgh ，故B 正
确；阻力做的功与路程成正比，在AC 段克服阻力做的功等于在CB 段克服阻力做的功，故C 错误；从A 到B 做匀减速运动，AC 段的平均速度大于BC 段的平均速度，故在AC 段的运动时间小于在CB 段的运动时间，故D 错误．
命题点三 摩擦力做功与能量转化
1．静摩擦力做功
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功． (2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能． 2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果： ①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能． (3)摩擦生热的计算：Q ＝F f x 相对．其中x 相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程．
从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的总功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
例4 如图7所示，某工厂用传送带向高处运送物体，将一物体轻轻放在传送带底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段物体与传送带相对静止，匀速运动到传送带顶端．下列说法正确的是( )
图7
A ．第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功
B ．第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量
C ．第一阶段物体和传送带间因摩擦产生的热量等于第一阶段物体机械能的增加量
D ．物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功 答案 C
解析 对物体受力分析知，其在两个阶段所受摩擦力方向都沿斜面向上，与其运动方向相同，摩擦力对物体都做正功，A 错误；由动能定理知，合力做的总功等于物体动能的增加量，B 错误；物体机械能的增加量等于摩擦力对物体所做的功，D 错误；设第一阶段物体的运动时间为t ，传送带速度为v ，对物体有x 1＝v
2t ，对传送带有x 1′＝v ·t ，因摩擦产生的热量Q ＝
F f x 相对＝F f (x 1′－x 1)＝F f ·v 2t ，物体机械能增加量ΔE ＝F f ·x 1＝F f ·v
2t ，所以Q ＝ΔE ，C 正确．
变式4 质量为m 的物体以初速度v 0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一轻弹簧O 端相距s ，如图8所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x ，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为( )
图8
A.1
2m v 02－μmg (s ＋x ) B.1
2
m v 02－μmgx C ．μmgs D ．μmg (s ＋x )
答案 A
解析 根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为W f ＝μmg (s ＋x )，由能量守恒定律可得 12m v 02＝W 弹＋W f ，W 弹＝1
2
m v 02－μmg (s ＋x )，故选项A 正确． 变式5 (多选)(2019·湖南省怀化市调研)质量为m 的物体在水平面上，只受摩擦力作用，以初动能E 0做匀变速直线运动，经距离d 后，动能减小为E 0
3，则( )
A ．物体与水平面间的动摩擦因数为2E 0
3mgd
B ．物体再前进d
3
便停止
C ．物体滑行距离d 所用的时间是滑行后面距离所用时间的3倍
D ．若要使此物体滑行的总距离为3d ，其初动能应为2
E 0 答案 AD
解析 由动能定理知W f ＝μmgd ＝E 0－E 03，所以μ＝2E 0
3mgd ，A 正确；设物体总共滑行的距离为
s ，则有μmgs ＝E 0，所以s ＝32d ，物体再前进d
2便停止，B 错误；将物体的运动看成反方向的
初速度为0的匀加速直线运动，则连续运动三个d
2距离所用时间之比为(3－2)∶(2－
1)∶1，所以物体滑行距离d 所用的时间是滑行后面距离所用时间的(3－1)倍，C 错误；若要使此物体滑行的总距离为3d ，则由动能定理知μmg ·3d ＝E k ，得E k ＝2E 0，D 正确．
命题点四 能量守恒定律的理解和应用
例5 如图9所示，光滑水平面AB 与竖直面内的半圆形导轨在B 点相切，半圆形导轨的半径为R .一个质量为m 的物体将弹簧压缩至A 点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B 点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C .不计空气阻力，试求：
图9
(1)物体在A 点时弹簧的弹性势能；
(2)物体从B 点运动至C 点的过程中产生的内能． 答案 (1)7
2
mgR (2)mgR
解析 (1)设物体在B 点的速度为v B ，所受弹力为F N B ，由牛顿第二定律得： F N B －mg ＝m v B 2
R
由牛顿第三定律知F N B ＝F N B ′＝8mg 由能量守恒定律可知
物体在A 点时的弹性势能E p ＝12m v B 2＝7
2mgR
(2)设物体在C 点的速度为v C ，由题意可知mg ＝m v C 2
R
物体由B 点运动到C 点的过程中，由能量守恒定律得 Q ＝12m v B 2－(1
2m v C 2＋2mgR )
解得Q ＝mgR .
变式6 如图10所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数μ＝
3
2
，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C 点．用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B ，滑轮右侧绳子与斜面平行，A 的质量为2m ，B 的质量为m ，初始时物体A 到C 点的距离为L .现给A 、B 一初速度v 0(v 0>gL )，使A 开始沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C 点．已知重力加速度为g ，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求：
图10
(1)物体A 向下运动刚到C 点时的速度大小； (2)弹簧的最大压缩量； (3)弹簧的最大弹性势能． 答案 (1)
v 02－gL
(2)12(v 02g －L ) (3)3
4
m (v 02－gL )
解析 (1)物体A 与斜面间的滑动摩擦力F f ＝2μmg cos θ，
对A 向下运动到C 点的过程，对A 、B 组成的系统，由动能定理有 2mgL sin θ－mgL －2μmgL cos θ＝3
2m (v 2－v 02)
解得v ＝v 02－gL
(2)从物体A 接触弹簧将弹簧压缩到最短后又恰好回到C 点的过程，对系统由动能定理得 －F f ·2x ＝0－1
2×3m v 2
解得x ＝v 022g －L 2＝12(v 02
g
－L )
(3)从弹簧被压缩至最短到物体A 恰好弹回到C 点的过程中，由能量守恒定律得 E p ＋mgx ＝F f x ＋2mgx sin θ 解得E p ＝3m
4
(v 02－gL )．。