河南省商丘市2019-2020学年高考第四次质量检测数学试题含解析

河南省商丘市2019-2020学年高考第四次质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在
()+-∞∞，
上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
【答案】C
【解析】
【分析】
分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.
【详解】
（1）当00x y ≥≥，时，221x y +=-，此时不存在图象； （2）当00，x y ≥<时，22
1-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分； （3）当00，x y <≥时，22
1x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分； （4）当00，x y <<时，22
1x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；
画出()y f x =的图象，
由图象可得：
对于①，()f x 在()+-∞∞，
上单调递减，所以①正确； 对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误； 对于③，由函数图象的对称性可知③错误；
对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得1y y x x +=，所以④正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.
2．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【详解】
设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1
f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1()1
g x x '=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.
【点睛】
本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断. 3．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ）
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
【答案】A
【解析】
【分析】
首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可.
【详解】
因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ
====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.
故选：A
【点睛】
本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．27π
B ．28π
C ．29π
D ．30π
【答案】C
【解析】
【分析】 作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.
【详解】
三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：
将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，
可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.
矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC ，且2PB =.
所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为2R =
因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=.
故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
5．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）
A ．
B ．2
C ．12-
D ．12
【答案】D
【解析】
【分析】
利用109080,1409050︒︒︒︒︒
=-=+o ，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.
【详解】
由809010,1409050︒︒︒︒︒=-=+o 所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒
=-= ()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-， 所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=- 所以原式1sin 302==
o 故1sin80cos50cos140sin102
︒︒︒︒+=
故选：D
【点睛】 本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
6．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得
301
x x -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11 【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033
n n a =-
+，解不等式求得结果.
【详解】
由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6， 使得
301
x x -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2， 故使得301x x -≥-成立的概率为2163d ==， 又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333
n n a n ∴=-+-⨯
=-+， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.
7．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l P ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.
【详解】
直线1:240l ax y ++=，()2:120l x a y +-+=，12l l P 的充要条件是()1221a a a a -=⇒==-或，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“1a =-”是“12l l P ”的充分必要条件. 故答案为C.
【点睛】
判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判
断命题p 与命题q 的关系．
8．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C ，则双曲线的渐近线方程为（）
A ．y =
B ．y =
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A
【解析】
【分析】
利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．
【详解】
双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=的距离为2
c ，
可得：
=，可得2
b c =，b a =C 的渐近线方程为y =． 故选A ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
9．
2-31i i
=+（ ） A ．15-22i B ．15--22i C ．15+22i D ．15-+22
i 【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】 ()()()()
231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-． 故选B ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
10．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边
形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）
A ．163π
B ．94π
C ．6π
D ．9π
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得222PG PA AG =
-=，再结合球的性质，求得球的半径32R =
，利用表面积公式，即可求解. 【详解】
由题意，六棱锥P ABCDEF -底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，可得此六棱锥为正六棱锥，
又由2AB =，所以2AG =，
在直角PAG ∆中，因为6PA =，所以222PG PA AG =
-=，
设外接球的半径为R ， 在AOG ∆中，可得222AO AG OG =+，即222(2)(2)R R =-+，解得32
R =
， 所以外接球的表面积为249S R ππ==.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.
11．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）
A ．250cm
B ．260cm
C ．295cm
D ．305cm
【答案】B
【解析】
【分析】 »AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB 所在圆的半径为r ，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解.
【详解】
如图所示，»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，
则643258AB cm =⨯=
15CD cm =
设弧AB 所在圆的半径为r ，则
222()r r CD AC =-+
22(15)129r =-+
解得562r cm ≈
129sin 0.23562
AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈
于是0.46AOB ∠≈，»AB 长5620.46258.5≈⨯≈
所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能，
因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π
≈⇒< 所以弧长5622946π<⨯
≈.
故选：B
【点睛】 本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.
12．若双曲线22
214
x y a -= ）
A ．
B ．
C ．6
D ．8
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解；
【详解】
解：∵双曲线22
214
x y a -=
所以22413e a
=+
=，∴22a =，∴c =故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是______.
【答案】
52
【解析】
【分析】 根据流程图，运行程序即得.
【详解】
第一次运行15S =，1k =；
第二次运行15S =，2k =； 第三次运行152S =
，3k =； 第四次运行532S =<；所以输出的S 的值是52
. 故答案为：
52
【点睛】 本题考查算法流程图，是基础题.
14．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是5)A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________． 【答案】92
π 【解析】
【分析】
将四面体补充为长宽高分别为3,1,5的长方体，体对角线即为外接球的直径，从而得解. 【详解】
采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为
3,1,5，长方体的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线3153++=，
所以球半径为32，体积为34932
r π
π=
. 【点睛】
本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题. 15．已知△ABC 得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，
设为，则根据余弦定理得
，故答案为
.
考点：余弦定理及等比数列的定义. 16．函数()()2log 1f x x x =-的定义域为__________．
【答案】[)0,1 【解析】 【分析】
根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域. 【详解】
解:要使函数有意义,则0
10x x ≥⎧⎨
->⎩
, 即01x ≤<.则定义域为: [)0,1. 故答案为: [)0,1 【点睛】
本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆与1A BC ∆均为等腰直角三角形，1
90BAC BAC ∠=∠=︒，
侧面11BAA B 是菱形.
（1）证明：平面ABC ⊥平面1A BC ； （2）求二面角1A BC C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）222
【解析】 【分析】
（1）取BC 中点O ，连接AO ，1A O ，通过证明1AOA AOB ∆≅∆，得1A O AO ⊥，结合1A O BC ⊥可证线面垂直，继而可证面面垂直.
（2）设2BC =，建立空间直角坐标系，求出平面1ABC 和平面1BCC 的法向量，继而可求二面角的余弦值. 【详解】
解析：（1）取BC 中点O ，连接AO ，1A O ，
由已知可得AO BC ⊥，1A O BC ⊥，1
1
2
AO AO BC OB ===， ∵侧面11BAA B 是菱形，∴1AB AA =，1AOA AOB ∴∆≅∆，190AOB AOA ∴∠=∠=︒， 即1A O AO ⊥，∵AO BC O =I ，∴1A O ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面1A BC .
（2）设2BC =，则11AO AO BO OC ====，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()1,0,0A ，()10,0,1A ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()111,0,1AA CC ==-u u u r u u u u r ，1(1,1,1)C --，()11,2,1BC =--u u u u r
，()1,1,0BA =-u u u r ，设平面1ABC 的法向量为(),,m x y z =u r
，
则20
x y z x y --+=⎧⎨-=⎩，令1x =得()1,1,3m =u r . 同理可求得平面1BCC 的法向量()1,0,1n =r ，∴2
22
cos ,11112
m n <>=
=⨯u r r
. 【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.
18．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 与1B BC V 是全等的等边三角形.
（1）求证：1BC AB ⊥； （2）若11
cos 4
B BA ∠=
，求二面角1B B C A --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（25． 【解析】 【分析】
（1）取BC 的中点O ，则1B O BC ⊥，由ABC V 是等边三角形，得AO BC ⊥，从而得到BC ⊥平面1B AO ，由此能证明1BC AB ⊥
（2）以OA ，OB ，1OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果. 【详解】
（1）取BC 的中点O ，连接AO ，1B O ，
由于ABC V 与1B BC V 是等边三角形，所以有AO BC ⊥，1B O BC ⊥， 且1AO B O O =I ，
所以BC ⊥平面1B AO ，1AB ⊂平面1B AO ，所以1BC AB ⊥．
（2）设AB a =，1ABC B BC V V 与是全等的等边三角形， 所以11BB AB BC AC B C a =====， 又11cos 4
B BA ∠=
，由余弦定理可得222
2
113242AB a a a a a =+-⋅⨯=，
在1O AB V 中，有222
11AB AO B O =+，
所以以OA ，OB ，1OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则3,0,0A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02a B ⎛⎫
⎪⎝⎭，130,0,B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 设平面1ABB 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则1310020330
ax ay n AB n AB ax az ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，
令1x =，则()
1,3,1n =r
，
又平面1BCB 的一个法向量为()1,0,0m =u r
，
所以二面角1
B B
C A --的余弦值为1130105
cos 51n n m
m θ⋅⨯+⨯+⨯===⨯⋅r r r
u r u , 即二面角1B B C A --的余弦值为
5
．
【点睛】
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.
19．已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）．
（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．
【答案】（13120x y -+=．x 2+y 2＝1．（2）16
【解析】 【分析】
（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案. （2）圆心()0,0到直线的距离为12
62
d ==
，故弦长为. 【详解】
（1）sin 63πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，即1sin 62ρθθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，即162y x =，
120y -+=.
10cos 10sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩，故22
100x y +=. （2）圆心()0,0到直线的距离为12
62
d ==
，故弦长为16=. 【点睛】
本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力. 20．设数列{}n a 满足2
1
123333
3
n n n
a a a a -++++=
L ，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设,1,n n
n n b n a ⎧⎪
=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】（1）13n n a =；（2）()
()
21
2
21931,48
931,48
n n n n n n S n n -⎧+++-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数
. 【解析】 【分析】
（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥时，由2
1
123333
3
n n n
a a a a -++++=
L 可得出2212311
3333
n n n a a a a ---++++=
L ，两式相减可得n a 的表达式，然后对1a 是否满足n a 在2n ≥时的表达式进行检验，由此可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）求出数列{}n b 的通项公式，对n 分奇数和偶数两种情况讨论，利用奇偶分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】
（1）2
1
123333
3
n n n a a a a -++++=
Q L ，
当1n =时，113
a =
； 当2n ≥时，由2
1
1233333n n n a a a a -++++=
L 得22
123113333
n n n a a a a ---++++=L ， 两式相减得1
1
3
3n n a -⋅=
，13
n n a ∴=. 11
3a =满足13
n n a =.
因此，数列{}n a 的通项公式为1
3n n
a =
； （2）,3,n
n n n b n ⎧=⎨⎩
Q 为奇数为偶数. ①当n 为奇数时，
1
224111919112213333122219
n n n n n n S n --⎛⎫++⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=++++++=⨯+
⨯+-L ()21
2193148
n n n -++=+-；
②当n 为偶数时，()()()222491911921333133121948
n
n n n n n n S n ⎛⎫- ⎪⋅+-⎡⎤⎣⎦⎝⎭=+++++-+=⋅+=+--L . 综上所述，()
()
21
2
21931,48
931,48
n n n n n n S n n -⎧+++-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数. 【点睛】
本题考查数列通项的求解，同时也考查了奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题. 21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y α
α=+⎧⎨
=⎩
（α为参数），以O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为：ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程.
【答案】（1）曲线1:2cos C ρθ=
，曲线(2
22:3C x y +-=.（2
）y =.
【解析】 【分析】
（1）用1cos sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩和cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C
的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.
（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R π
θϕϕρ⎛
⎫=<<∈ ⎪⎝
⎭
，代入到1:2cos C ρθ=和2C
：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解. 【详解】
解：由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩
和cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨
=⎩ ()()
22
cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=
故1C ：2cos ρθ=
将ρθ=两边同时乘以ρ
，得2sin ρθ= 因为222
,sin x y y ρρθ=+=
，所以220x y +-= 得2C
的直角坐标方程(2
2
2:3C x y +-=.
（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R π
θϕϕρ⎛
⎫=<<
∈ ⎪⎝
⎭
由2cos θϕ
ρθ=⎧⎨
=⎩
，得||2cos OA ϕ=，
由θϕρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，得||OB ϕ=
故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛
⎫
+==+ ⎪⎝
⎭
当3
π
ϕ=
时，OA OB +取得最大值
此时直线的极坐标方程为：()3
R π
θρ=∈，
其直角坐标方程为：y =. 【点睛】
考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.
22．已知集合{}2
20A x x x =-->，集合(){}
2
22550B x x k x k =+++<，k ∈R .
（1）求集合B ；
（2）记M A B =I ，且集合M 中有且仅有一个整数，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）5,2B k ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
（2）[)(]3,23,4-⋃ 【解析】 【分析】
（1）由不等式2
2(25)50x k x k +++<可得(25)()0x x k ++<,讨论k -与5
2
-的关系,即可得到结果； （2）先解得不等式220x x -->,由集合M 中有且仅有一个整数,当5
2
k -<-
时,则M 中仅有的整数为3-；当52
k ->-时,则M 中仅有的整数为2-,进而求解即可.
【详解】
解:（1）因为2
2(25)50x k x k +++<,所以(25)()0x x k ++<, 当52k -<-
,即52k >时,5,2B k ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭；
当5
2k -=-
,即52
k =时,B =∅； 当52k ->-,即52k <时,5,2B k ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
.
（2）由220x x -->得()(),12,x ∈-∞-⋃+∞, 当52k -<-
,即5
2
k >时,M 中仅有的整数为3-, 所以43k -≤-<-,即(]
3,4k ∈； 当5
2k ->-
,即52
k <时,M 中仅有的整数为2-, 所以23k -<-≤,即[
)3,2k ∈-； 综上,满足题意的k 的范围为[)(]
3,23,4-⋃ 【点睛】
本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.
23．为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：
（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”； （3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望值．
附：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=
++++
【答案】（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可） （2）有 （3）分布列见解析，()2E X = 【解析】 【分析】
（1）根据题意可以选用分层抽样法，或者简单随机抽样法. （2）由已知条件代入公式计算出结果，进而可以得到结果. （3）由已知条件计算出X 的分布列，进而求出X 的数学期望. 【详解】
（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）． （2）将列联表中的数据代入公式计算得
222
()200(405010010) 3.175 2.706()()()()1406050150
n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯
所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． （3）以频率作为概率，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为2
3
．X 可取0，1，2，3，计算可得X 的分布列为：
()323
E X =⨯
=
【点睛】
本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理的抽样方法，计算2k以及数据的分布列和数学期望，需要正确运用公式进行求解，本题属于常考题型，需要掌握解题方法.。