唯一性定理 电动力学

四、应用举例
1. 半径为a的导体球壳接地，
壳内中心放置一个点电荷 Q，
Q
求壳内场强。
解：点电荷
Q
放在球心处，壳接地
S
0
2 0 (R 0) 因而腔内场唯一确定。
已知点电荷产生的电势为
1
Q
4 0 R
但它在边界上 1
Q
S 4 0a
不满足 S 0
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要使边界上任何一点电势为0 ，
j
j
n
Sij
i
i
n
Sij
i, j 不求和
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二、唯一性定理
1．均匀单一介质
区域内 分布已知， 满足 2 若V边界上
S 已知，或V边界上
电场）唯一确定。
n
S
已知，则 V
内场（静
证明：假定泊松方程有两个解 1 2
v
21
,
22
s
在边界上
,或 1
2
.
1S
1
Q
势分布。
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解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区 0 导体上Q 给定，所以球外场唯一确定。
边界条件：
1、两介质交界面处满足边值关系
E1t E2t , D1n D2n .
2、导体球是一等势体，球面为一
等势面
3、
0.
4、导体球面所带总电荷为Q。
试探解12
第二章第二节
唯一性定理
作业：1.书上例题。2.半径为a的导体球壳接
地，壳内中心放置一个点电荷 Q，在壳外距球心 2a处放一点电荷Q2，求壳内电场。
§2.2 唯一性定理
主要内容 一、泊松方程和边界条件 二、唯一性定理的内容 三、唯一性定理的意义
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一、泊松方程和边界条件
(r a)
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导体球面上面电荷分布：
1
1
1
r
ra
2
1Q (1 2 )a2
下半球面上均匀分布
2
2
2
r
ra
2Q 2 (1 2 )a2
上半球面上均匀分布
束缚电荷分布：
P1
(0 1
1)1
,
P2
(0 1
1) 2
作业：1.书上例题。2.半径为a的导体球壳接
地，壳内中心放置一个点电荷 Q，在壳外距球心
虽然势不唯一，但电场 E 是唯一确定的。
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2. 介质分区均匀（不包含导体）
V 内
已知，2
i
成立，给定区域
S
或
n
S
。在分界面上，i
Sij
j
，
Sij
j
j
n
i
i
n
Sij
Sij
1
3
v
则区域V内电场唯一确定。
2
s
（证明与单一均匀介质类似，详见课本）
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设
Q
40R
Q
4 0a
它满足 2 0 0 S
根据唯一性定理， 它是腔内的唯一解。
E
QR
4 0 R3
(R a)
作业：
Q2
若再在壳外距球心
2a处放一点电荷Q2， 求壳内电场。
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2.带电荷Q 、半径为a 的导体球放在均匀无限大介 质中，求空间电势分布。
解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。
2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。 无论采用什么方法得到解，只要该解满足
泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的 正确解。
因此对于许多具有对称性的问题，可以不 必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提 出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。 满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
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c1 r c2 r
d1 d2
2 1 0 2 2 0
2
S2
a
E2
P
1 Q
E1
S1
束缚电荷只分布在导体与 介质分界面上。对于上半 个空间，介质均匀极化， 场具有对称性，同样下半 空间也具有对称性。所以 可考虑球外电场仍具有球 对称性。
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确定常数 r
0
d1 d2 0
3. 均匀单一介质中有导体（证明见课本）
问题：导体中 E 0 ，求V内的电势。
定理：当 或 已知， 、
S
n S
n S1 n S2
S
Q2
（或 Q1、Q2 ）为已知，则区域 V
内电场唯一确定。
ε S1
Q s ndS
Q1
S2
V
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三、唯一性定理的重要意义
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求 电场强度指明了方向。
S
2
0
()2 dV V
0
由于 ()2 0 积分为零必然有 0
1 2 常数
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（1）若给定的是第一类边值关系，则 0 S 即常数为零。1 2 电场唯一确定， 且电势也唯一确定。
（2）若给定的是第二类边值关系，则 0 n
1 2 常数，1, 2 相差一个常数，
n
n
S S
给定。
Q
S
n
dS
S
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内边界条件为边值关系
n：i j
i Sij
j Sij
j
j
n
Sij
i
i
n
Sij
D2n
V1
D1n
V3
v
注：在实际问题
V内两介质分 界 面 上 自 由 V2
s
中，因为导体内
电荷为零
场强为零，可以
不包含在所求区
Sij
域V内。导体面 上的边界条件可 视为外边界条件。
假定电场也具有球对称性，则电势坐标与 ,
无关。因电荷分布在有限区，外边界条件 导体表面电荷Q已知，电场唯一确定。设
0
A
B
2
A R
A
R R3
0
R
(R a)
满足 2 0，
R , 0 R
Qa
B0
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R , 0 R
B0
在导体边界上
Q
dS
假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可 以有多种介质或导体，每一种介质是均匀、
V1
线性、各向同性的。
V3 v
设V内所求电势为 i ，它们满足泊松方程 V2
s
2i
i
(i 1, 2, , m)
两类边界条件：
①边界S上， ②边界S上，
相当于
S 已知。若为导体， S = 常数。
已知。若为导体，给定总电荷Q ，
2S
S
n S n S n S
令 1 2，则
2 21 22 0
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S
1
S
2
S
0
或
n
S
1
n
S
2
n
S
0
由Gauss公式
S dS V ()dV
V dV V dV
V ()2 dV V 2dV
0 或 0 dS 0
S
n S
S R Ra
S
A R2
dS
A4 a2
a2
A4
A Q
4
Q 4 R
(R a)
E
QR
4 R3
(R a)
( P ) / 0 En 利用 Dn En
QP
(0
1)Q
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3．两种均匀介质（ 1 和
2 ）充满空间，一半
2
a
径 a 的带电Q导体球放
在介质分界面上（球心 在界面上），求空间电
在介质分界面上 1 S 2 S
c1 c2 c
Q
S1 1
1
r
ra
dS
S2 2
2
r
r a
dS
S1
1
c a2
dS
S2 2
c dS a2
c a2
1
2
a2
c a2
2
Q
2 (1 2 )r
2
)c c
下半空间
2
Q
(1
2
)
Q
2
2
Q
(1
2
)r
上半空间
4 (1 2 )r
2a处放一点电荷Q2，求壳内电场。
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