第一次月考重难点特训(二)之新定义下实数运算压轴题(原卷版)

【重难点题型】1．（2023
4．（2022·重庆·重庆市松树桥中学校校考模拟预测）对于任意实数x ，x 均能写成其整数部分[]x 与小数部分
{}x 的和，其中[]x 称为x 的整数部分，表示不超过x 的最大整数，{}x 称为x 的小数部分，即[]{}x x x =+.比
如[]{}1.7 1.7 1.710.7=+=+，[]1.71=，{}1.70.7=，[]{}1.7 1.7 1.720.3-=-+-=-+，[]1.72-=-，
{}1.70.3-=，则下列结论正确的有（ ）
①12
33
ìü-=íýîþ；②{}01x <…；③若{}20.3x -=，则 2.3x =；④{}{}{}1x y x y +=++对一切实数x 、y 均成立；⑤方程{}11x x ìü
+=íýîþ无解．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
5．（2022秋·全国·七年级期末）a 不为1的有理数，我们把
1
1a
-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1
112=--，1-的差倒数是
111(1)2=--．已知113
a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2022a =（ ）A ．
1
3
B ．
34
C ．4
D ．13
-
6．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）已知{}min ,,a b c 表示取三个数中最小的那个数．例如：当2x =-时，
()(){
}
23
min 2,2,28---=-，当{
}
21
min
,,16
x x x =
时，则x 的值为（ ）A ．
1
16
B ．
18
C ．
14
D ．1
2
7．（2021·全国·九年级专题练习）从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,k S =L ，且将{},K k k M a b =与{},K k k M b a =视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{}(),,1,1i j j M a b i j i S j S =¹££££都有i i j j a b a b +¹+，则S 的最大值（ ）
A ．10
B ．6
C ．5
D ．4
8．（2022秋·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）若规定“!”是一种数学运算符号，且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，⋯，则100!
98!
的值为（ ）A ．9900
B ．99！
C ．
5049
D ．2
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）观察下列等式：
11
1122=-´，111
2323
=-´，
1113434=-´，…
111
(1)1n n n n =-++将以上等式相加得到
111111122334(1)1n n n ++++=-´´´++L ．用上述方法计算：111113355799101
++++´´´´L 其结果为（ ）A ．
50
101
B ．
49
101
C ．
100101
D ．
99101
10．（2020春·浙江宁波·七年级统考期末）任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝s×t （s ，t 是正整数，且s≤t ），如果p×q 在n 的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最优分解，并规定：F （n ）＝
p q ．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F （24）＝46
＝2
3．给出
下列关于F （n ）的说法：①F （6）＝2
3
；②F （16）＝1；③F （n 2﹣n ）＝1﹣1
n
；④若n 是一个完全平方数，F （n ）＝1．其中说法正确的个数是（ ）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）一个两位数m 的十位上的数字是a ，个位上的数字是b ，我们把十位上的数字a 与个位上的数字b 的和叫做这个两位数m 的“衍生数”，记作()f m ，即()f m a b =+．如
()52527f =+=．现有2个两位数x 和y ，且满足100x y +=，则()()f x f y +=______．
12．（2022秋·河南驻马店·八年级校考阶段练习）对于任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[]44=，
31éù=ëû．现对72进行如下操作：72第一次728éù=ëû第二次82éù=ëû第三次21éù=ëû，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是______．
13．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案
如下：第k 棵树种植在点k x 处，其中11x =，当2k ³时．112,()33k k k k x x T T T a ---æöæö
=+-ç÷ç÷èøèø表示非负实数a
的整数部分，例如(3.5)3,(0.8)0T T ==．按此方案，第2021棵树种植在点2021x 处，则2021x =_______．
14．（2022秋·八年级单元测试）若记[]x 表示任意实数的整数部分例如：[]3.5352éù==ëû
，， L ，则123420192020éùéùéùéùéùéù-+-++-ëûëûëûëûëûëû
L （其中“+”“-”依次相间）的值为___________
15．（2022秋·八年级课时练习）对于正数x 规定1()1f x x
=+，例如：11115
(3),()11345615f f ====
++，则
f (2020)＋f (2019)＋……＋f (2)＋f (1)＋1111
()()(
)()2320192020
f f f f ++¼++＝___________16．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）对于正整数n ，定义2,10
()(),10n n F n f n n ì<=í³î其中()f n 表示n 的
首位数字､末位数字的平方和．例如：2(6)636F ==，2(123)(123)1F f ==2310+=．规定1()()F n F n =，()1()()k k F n F F n +=．例如：1(123)(123)10F F ==，()21(123)(123)F F F =(10)1F ==．按此定义2021(4)F =_____．
17．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）对于一个各个数位均不为零的四位数M ，若M 的千位与百位组成的两位数能被它的个位和十位数字之和整除，则称M 是“整除数”．例如：M ：9176：∵()917691137¸+=¸=，∴9176是“整除数”．又如：M ：6726：∵()672667883¸+=¸=¼，∴6726不是“整除数”(1)判断7923，8457是否是“整除数”，并说明理由；
(2)四位数100010010M a b c d =+++（1,,,9a b c d ££，a b ³，且a ，b ，c ，d 均为整数）是“整除数”，且108a b c d +=+，记()()()105
11
a c
b d F M -+--=，当()F M 为整数时，求出所有满足条件的M ．18．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）若一个四位数m 的千位数字与百位数字和的两倍等于其十位数字与个位数字的和．则称这个四位数m 为“扬帆数”．将“扬帆数”m 的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数m ¢，并记()99
m m F m ¢
-=
．例如：1335m =．
∵()13235+´=+，∴1335是“扬帆数”，此时()13353513
13352299
F -=
=-；
又如：2345m =，∵()23245+´¹+，∴2345不是“扬帆数”．
(1)判断1437，3578是否是“扬帆数”，说明理由；如果是，求出对应的()F m 的值；
(2)若四位数100010010m a b c d =+++（19a b c d £££££，a b c d ,,,为整数），且()F m 能被8整除，求出所有满足条件的“扬帆数”m ．
19．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）若整数a 能被9整除，那么称整数a 为“长久数”．例如，因为27能被9整除，所以27是“长久数”．(1)判断324和64是否为“长久数”？请说明理由；
(2)已知三位正整数t 的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为1(19x y £££，其中x ，y 为自然数），交换其十位上的数字和百位上的数字得到新数()s s t ¹，如果s 加上t 的和是“长久数”，求所有符合条件的三位正整数t ．
20．（2022秋·北京海淀·七年级统考期末）对于由若干不相等的整数组成的数组P 和有理数k ，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段AB ，使得将数组P 中的每一个数乘以k 之后，计算的结果都能够用线段AB 上的某个点来表示，就称k 为数组P 的收纳系数．
例如，对于数组P ：1，2，3，因为11133´=，1
2233´=，1313
´=，取A 为原点，B 为表示数1的点，那么
(1)若2
4(8)0a b ++-=，则M 对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序号）．
①A 是M 的“正比点”；②A 是M 的“反比点”；③B 是M 的“正比点”；④B 是M 的“反比点”；
(2)若0ab ＞，且M 是A 的“正比点”，求
a
b
的值；(3)若0ab ＜，且M 既是A ，B 其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出
a
b
的值．23．（2022秋·北京西城·七年级北京四中校考期中）将n 个0或1排列在一起组成了一个数组，记为
()12,,n A t t t =L ，其中，12,,,n t t t ×××都取0或1，称A 是一个n 元完美数组（2n ³且n 为整数）．例如：()0,1，()1,1都是2元完美数组，()0,0,1,1，()10,0,1，都是4元完美数组，但()3,2不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于x 和y ，()x y x y x y =+--*，
新运算2：对于任意两个n 元完美数组()12,,,n M x x x =L 和()12,,,n N y y y =L ， ()11221
2
n n M N x y x y x y Ä=
++×××+***，例如：对于3元完美数组()1,1,1M =和()0,0,1N =，有()1
00212
M N Ä=
++=．(1)在()0,0,0，()2,0,1，()1,1,1,1，()1,1,0中是3元完美数组的有：______；(2)设()()1,0,1,1,1,1A B ==，则A B Ä=______；
(3)已知完美数组()1,1,1,0M =求出所有4元完美数组N ，使得2M N Ä=；
m ，n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m ，n 的一种新运算：()()()h m n h m h n +=×，请根据这
种新运算解决以下问题：
(1)若()11h =-，则()2h =______；()2019h =______；(2)若()7128h =，求()2h ，()8h 的值；
(3)若
()
()
442h h =，求()2h 的值．28．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（,a b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算()()()()343341372i i i i -++=++-+=+；
()()()21212221213i i i i i i i -´+=´+-´-=+-+=-；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：3i =__________，4i =_________；(2)计算：()()145i i -´-；(3)计算：232017...i i i i ++++．
29．（2022春·重庆大渡口·八年级统考期末）对于任意个四位正数x ，若x 的各位数字都不为0，且十位数字与个位数字不相符，千位数字与百位数字不相等，那么称这个数为“多彩数”．将一个“多彩数”a 的任意一个
数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为()a F ，例如，“多彩
数”1234a =，去掉其中任意一位数后得到四个新三位数分别为：234，134，124，123，这四个三位数之和为234134124123615+++=，6153205¸=，所以()1234205F =．
(1)计算()1564F 和()6321F ；
(2)若“多彩数”890010b m n =++（19m ££，19n ≤≤，m ，n 都是正整数），()b F 也是“多彩数”且()b F 能被8整除，求b 的值．
30．（2022春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）材料一：一个两位自然数m ，满足各位数字之和小于或等于9，各位数字互不相同且均不为0，称为“尚美数”．将m 的各个数位上的数字相加所得的数放在m 的前面，得到一个新数m ¢，将m 的各个数位上的数字相加所得的数放在m 的后面，得到一个新数m ¢¢，记()18m m T m ¢¢¢-=．例如：52m =时，752m ¢=，527m ¢¢=，()7525272552182
T -==．材料二：若一个数M 等于另一个整数N 的平方，则称这个数是完全平方数．
(1)直接判断：46______（填“是”或“不是”）“尚美数”，并直接写出：()27T =______；
(2)已知两个“尚美数”()1018,16m a b a b =+££££，()1018,28n x y x y =+££££，若()T m 是一个完全平方数，且()2895m T n y +-=，规定m P n =，求P 的最小值．。