苏尼特右旗三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

苏尼特右旗三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）
A ．20，2
B ．24，4
C ．25，2
D ．25，4 3． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）
A.x
y e -= B.3
y x = C.ln y x = D.y x =
4． 已知||=3，||=1，与的夹角为
，那么|﹣4|等于（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．13
5． 设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且=2
， =2， =2，则
与
（ ）
A ．互相垂直
B ．同向平行
C ．反向平行
D ．既不平行也不垂直
6． 已知偶函数f （x ）=log a |x ﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f （a+1）与f （b+2）的大小关系是（ ） A ．f （a+1）≥f （b+2） B ．f （a+1）＞f （b+2）
C ．f （a+1）≤f （b+2）
D ．f （a+1）＜f （b+2）
7． 已知函数1)1(')(2++=x x f x f ，则=⎰
dx x f 1
)(（ ）
A ．67-
B ．67
C ．65
D ．6
5- 【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.
8． 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
10．已知A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，则a 的值是（ ）
A ．a=3
B ．a=﹣3
C ．a=±3
D ．a=5或a=±3
11．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则++…+
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设x ，y 满足约束条件
，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．
14．如果椭圆+=1弦被点A （1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．
15．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．
16．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .
【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n 项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.
17．由曲线y=2x 2，直线y=﹣4x ﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．
18．已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．
三、解答题
19．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数()1
ln 1f x a x x
=+
-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()
11f ，
处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）当102a <<时，求证：对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有1e x a
a x +⎛⎫
+< ⎪
⎝⎭
．
20．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．
（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？
（2）试求方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．
21．设a＞0，是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
22．已知向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），求向量，的夹角θ．
23．.已知定义域为R 的函数f （x ）
=是奇函数．
（1）求a 的值；
（2）判断f （x ）在（﹣∞，+∞）上的单调性．（直接写出答案，不用证明）；
（3）若对于任意t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2
﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．
24．（本题满分15分）
若数列{}n x 满足：
111
n n
d x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，12345
11111
15a a a a a ++++=.
（1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列2{}n
n
a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存
在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
苏尼特右旗三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R ，长半轴为：
=，
∵a 2=b 2+c 2
，∴c=
，
∴椭圆的离心率为：e==． 故选：A ．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
2． 【答案】C 【解析】
考
点：茎叶图，频率分布直方图． 3． 【答案】B
【解析】
试题分析：对于A ，x y e =为增函数，y x =-为减函数，故x y e -=为减函数，对于B ，2'30y x =>，故3y x =为增函数，对于C ，函数定义域为0x >，不为R ，对于D ，函数y x =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，在()0,∞上单调递增，故选B. 考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.
4． 【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得
=||||cos ＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
=
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：如图所示，
△ABC中，=2，=2，=2，
根据定比分点的向量式，得
==+，
=+，=+，
以上三式相加，得
++=﹣，
所以，与反向共线．
【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题，是基础题目．6．【答案】B
【解析】解：∵y=log a|x﹣b|是偶函数
∴log a|x﹣b|=log a|﹣x﹣b|
∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|
∴x2﹣2bx+b2=x2+2bx+b2
整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0
由此函数变为y=log a|x|
当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数，
又偶函数y=log a|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增
故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1
综上得0＜a＜1，b=0
∴a+1＜b+2，而函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减
∴f（a+1）＞f（b+2）
故选B．
7．【答案】B
8．【答案】A
【解析】解：直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是：
=．
故选：A．
9．【答案】D
【解析】解：模拟执行算法框图，可得
A=1，B=1
满足条件A≤5，B=3，A=2
满足条件A≤5，B=7，A=3
满足条件A≤5，B=15，A=4
满足条件A≤5，B=31，A=5
满足条件A≤5，B=63，A=6
不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．
故选：D．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，
∴2a﹣1=9或a2=9，
当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；
当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；
∴a=﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．
11．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0，
∵a 4•a 8=2a 52，∴a 62=2a 52
， ∴q 2
=2，∴q=
，
∵a 2=1，∴a 1==
．
故选：D
12．【答案】D
【解析】解：∵S n =n 2+2n （n ∈N *），∴当n=1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（n 2+2n ）﹣[（n ﹣1）2
+2
（n ﹣1）]=2n+1．
∴=
=
，
∴++…+=
+
+…+
=
=﹣
． 故选：D ．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】 ﹣6 ．
【解析】解：由约束条件
，得可行域如图，
使目标函数z=2x ﹣3y 取得最小值的最优解为A （3，4）， ∴目标函数z=2x ﹣3y 的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6． 故答案为：﹣6．
14．【答案】 x+4y ﹣5=0 ．
【解析】解：设这条弦与椭圆
+
=1交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
由中点坐标公式知x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，
把P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）代入x 2+4y 2
=36，
得， ①﹣②，得2（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0，
∴k=
=﹣，
∴这条弦所在的直线的方程y ﹣1=﹣（x ﹣1），
即为x+4y ﹣5=0，
由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y ﹣5=0．
故答案为：x+4y ﹣5=0．
【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．
15．【答案】锐角三角形
【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C 是最大角
根据余弦定理，得cosC=
=
＞0
∵C ∈（0，π），∴角C 是锐角，
由此可得A 、B 也是锐角，所以△ABC 是锐角三角形 故答案为：锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．
16．【答案】
2017
2016
【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列})
12)(12(2
{
+-n n 的前1008项的和，即 +⨯+⨯=
532312S =-++-+-=⨯+)2017120151()5131()311(201720152 2017
2016
.
17．【答案】．
【解析】解：由方程组
解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，
故所求图形的面积为S=∫﹣11（2x2）dx﹣∫﹣11（﹣4x﹣2）dx
=﹣（﹣4）=
故答案为：
【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．
18．【答案】5﹣4．
【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：﹣4=5﹣4．
故答案为：5﹣4．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】（1）10x y --=；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）当2a =时，求出导数易得()'11f =，即1k =，利用点斜式可得其切线方程；（2）
求得可得()21'ax f x x -=
，分为0a ≤和0a >两种情形判断其单调性；（3）当1
02
a <<时，根据（2）可
得函数()f x 在()12，上单调递减，故()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即ln 1a a a x x a ⎛⎫
+<
⎪+⎝⎭
，化简可得所证结论. 试题解析：（1）当2a =时，
()12ln 1f x x x =+-，()112ln1101f =+-=，()221'f x x x =-，()221
'1111
f =-=，所以函数()f x 在点
()10，
处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=． （2）()1ln 1f x a x x =+
-，定义域为()0+∞，，()2211
'a ax f x x x x
-=-=． ①当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当0a >时，令()'0f x =，得1
x =
综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在10a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递减，在
1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增． （3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，显然，12a >，故()1120a ⎛⎫
⊆ ⎪⎝⎭
，，，
所以函数()f x 在()12，上单调递减，对任意1+2x ⎛⎫
∈∞ ⎪⎝⎭
，，都有01a x <<，所以112a x <+<．所以
()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即1ln 1101a a x x ⎛⎫++
-< ⎪⎝⎭+，所以ln 1a a a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，即1ln 1a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，所以()ln 11a x a x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，即ln 11x a
a x +⎛⎫
+< ⎪
⎝⎭
，所以1e x a
a x +⎛⎫
+< ⎪
⎝⎭
．
20．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，点（p ，q ），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，
其中p 、q 都是整数的点有6×6=36个，
点M （x ，y ）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x 、y 都是整数，且1≤x ≤3，1≤y ≤3，
点M （x ，y ）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），
（3，2），（3，3），有9个点，
所以点M （x ，y ）落在上述区域的概率P 1
=
；
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；
若方程x 2+2px ﹣q 2+1=0有两个实数根，则有△=（2p ）2﹣4（﹣q 2
+1）＞0，
解可得p 2+q 2
≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π，
即方程x 2+2px ﹣q 2
+1=0有两个实数根的概率，P 2
=
．
【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵a＞0，是R上的偶函数．
∴f（﹣x）=f（x），即+=，
∴+a•2x=+，
2x（a﹣）﹣（a﹣）=0，
∴（a﹣）（2x+）=0，∵2x+＞0，a＞0，
∴a﹣=0，解得a=1，或a=﹣1（舍去），
∴a=1；
（2）证明：由（1）可知，
∴
∵x＞0，
∴22x＞1，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
【点评】本题主要考查函数单调性的判断问题．函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负．
22．【答案】
【解析】解：∵向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），
∴=0，
+8=0，
∴=，
化为，代入=0，
化为：+16﹣cos2θ，
∴，
∴θ=或．
【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）因为f（x）为R上的奇函数
所以f（0）=0即=0，
∴a=1 …
（2）f（x）==﹣1+，在（﹣∞，+∞）上单调递减…
（3）f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0⇔f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（﹣2t2+k），
又f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递减，
∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，
即3t2﹣2t﹣k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，
∴k＜﹣．…（利用分离参数也可）．
24．【答案】（1）
1
n
a
n
，（2）详见解析.
当
8n =时911872222015S =⨯+>>，…………13分
∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}
*
|8,n n n N ≥∈，…………15分。