黑龙江省大庆铁人中学高一数学下学期期中试题(含解析)

大庆铁人中学高一学年下学期期中考试
数学试题
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5分，共60 分。

）
1. 下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若
C. 若
D. 若
【答案】D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质逐一判断每一个选项的真假.
【详解】对于选项A,举例a=-2,b=1,但是，所以该选项错误；对于选项B,举例a=-2，c=-1,b=-1,满足，但是a＜b,所以该选项错误；对于选项C,举例a=-1,b=0,k=3,显然，所以该选项错误；对于选项D,由题得,所以.所以该选项正确.
故答案为：D
【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)做类似的题目，可以利用不等式的性质证明，也可以举反例.
2. 等差数列的前n项和为，若（）
A. 11
B. 9
C. 13
D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据已知计算出，再利用等差数列的通项求.
【详解】由题得.
故答案为：C
【点睛】(1)本题主要考查等差数列的前n项和，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 等差数列的前项和公式：
一般已知时，用公式，已知时，用公式
3. 已知四棱锥P-ABCD（图1）的三视图如图2所示，为正三角形，PA为四棱锥P-ABCD 的高，俯视图是直角梯形，则四棱锥P-ABCD的体积（）
...........................
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算出AB,PA的长度，再求四棱锥P-ABCD的体积.
【详解】由题得,
所以四棱锥P-ABCD的体积为，
故答案为：B
【点睛】（1）本题主要考查棱锥体积的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)求边和角，一般要解三角形.
4. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若则A=（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可得解．
【详解】sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵b+a（sinC﹣cosC）=0，可得：sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，
∵＜A＜π，∴A=．
故答案为：C
【点睛】本题主要考查正弦定理和和角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.
5. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的侧面积.
【详解】由题得圆柱的底面圆的半径为，
所以圆柱的侧面积为.
故答案为：C
【点睛】（1）本题主要考查球的内接圆柱问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象观察能力.(2)本题解题的关键是求出圆柱的底面圆的半径.
6. 设x，y满足约束条件，则的最小值是（）
A. -15
B. -9
C. 9
D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合分析得到的最小值.
【详解】不等式组对应的可行域如下图所示，
因为z=2x+y,所以y=-2x+z,
当直线经过点A时，直线的纵截距z最小，
解方程组得A(0,1),
所以z最小=2×0+1=1，
故答案为：D
【点睛】(1)本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.
7. 一个直角梯形的一个底角为，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的旋转体体积为，则该直角梯形的上底长为（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知，这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．
【详解】如图，梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，∠B=45°，
绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．
设CD=x，AB=，AD=x．
∴旋转体体积V=S圆柱+S圆锥=.
故答案为：A
【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥体积，考查组合体的体积，意在考查
学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.
8. 已知等比数列的各项都为正数，且为与的等差中项，则
（）
A. 14
B. 18
C. 16
D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差中项的定义求出a6的值，结合对数的运算法则以及等比数列的运算性质进行化简即可．
【详解】∵为与的等差中项,
∴2a6=+=8，
即a6=4，
在正项等比数列中，log2a2+log2a3+…log2a10=log2（a2•a3…a9•a10）=log2（a6）9=9log24=9×2=18，
故答案为：B
【点睛】（1）本题主要考查等差中项，考查等比数列的性质和对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.
9. 已知函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，
其中，则的最小值是（）
A. 9
B. 4
C.
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出定点A的坐标，再代入直线的方程得到m+n=2,再利用基本不等式求最小值.
【详解】由题得A(-2,-2),所以-2m-2n+4=0,所以m+n=2,
所以=.
当且仅当时取到最小值.
故答案为：C
【点睛】(1)本题主要考查对数函数的定点问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 本题的解题关键是常量代换，即把化成
，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.
10. 不等式的解集为（-4,1），则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式ax2+bx+c＞0的解集求得a、b、c的关系，代入不等式b（x2+1）﹣a（x+3）+c＞0中，化简并求出该不等式的解集可得答案．
【详解】不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣4，1），
则不等式对应方程的实数根为﹣4和1，且a＜0；
由根与系数的关系知，，∴，
∴不等式b（x2+1）﹣a（x+3）+c＞0化为
3a（x2+1）﹣a（x+3）﹣4a＞0，
即3（x2+1）﹣（x+3）﹣4＜0，
解得﹣1＜x＜，
∴该不等式的解集为（﹣1，）．
故答案为：B
【点睛】（1）本题主要考查含参的一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解题的关键是由根与系数的关系知，得到.
11. 在锐角中，A、B、C分别为三边a,b,c所对的角。

若，且
，则a+c的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由，推导出B=60°，由推导出b=由此能求出a+c的取值范围．
【详解】∵在锐角△ABC中，A、B、C分别为△ABC三边a，b，c所对的角,, ∴2sin（B+30°）=2，∴B=60°，
∴2sin2B+2sinBcosB=3，
∵，
∴
解得b=，∴a+c＞．
由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB
即（）2=a2+c2﹣2bccos60°
即3=（a+c）2﹣2ac﹣2ac，即3=（a+c）2﹣3ac
即3ac=（a+c）2﹣3，即[（a+c）2﹣3]=3ac≤3[（a+c）]2
令t=a+c
即t2﹣3=3ac≤3（）2，整理得t2≤12
即t的最大值2
即a+c的最大值为2，
综上，a+c的取值范围是．
故答案为：D
【点睛】（1）本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.
12. 定义为n个正数的“均倒数”。

若已知数列的前n项均倒数为
，又，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知得，可得a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，利用n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n，可得=2n，．利用裂项求和方法即可得出．【详解】由已知得，
∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，
∴a n=4n﹣1，
∴=2n，
∴．
∴．
故答案为：B
【点睛】(1)本题主要考查新定义，考查项和公式和裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为
常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.
二、填空题（每小题 5分，共20 分。

）
13. 函数的最小值为______
【答案】1
【解析】
【分析】
先把函数变形，再利用基本不等式求函数的最小值.
【详解】由题得，因为x>-1,所以x+1>0,
所以，
当x=0时取到最小值1.
故答案为：1
【点睛】（1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.
14. 如图为某几何体的三视图，则其体积为______
【答案】3
【解析】
【分析】
判断三视图对应的几何体的形状．利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【详解】由题意可知几何体是以侧视图为底面的三棱柱，
三角形是底边长为2，高为1的等腰三角形，棱柱的高为3，
所以几何体的体积为：．
故答案为：3
【点睛】(1)本题主要考查三视图和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有三种：直接法、拼凑法和模型法. 15. 下列说法正确的是___________
用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；
圆台的任意两条母线延长后一定交于一点；
有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥；
若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥；
用斜二测画法作出正三角形的直观图，则该直观图面积为原三角形面积的一半.
【答案】②④
【解析】
【分析】
利用对应的知识逐一判断每一个命题的真假.
【详解】用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆或者一个点，所以该命题是假命题；
圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，是真命题；
有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，只有当侧棱相交于一点时，
才是棱锥，所以该命题是假命题；
若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥是真命题，因为当棱
锥是正六棱锥时，顶角的和为，所以不可能；
用斜二测画法作出正三角形的直观图，则该直观图面积为原三角形面积的，所以该命题是
假命题.
故答案为：②④
【点睛】本题主要考查空间几何体和斜二测画法，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 16. 已知数列中，为数列的前n项和，且当时，有成立，则
_________
【答案】
【解析】
【分析】
运用数列的递推式：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入化简，得，运用等差数列的定义和通项公式，计算可得所求值．
【详解】当n≥2时，有成立，
即有2a n=a n S n﹣S n2，
即为2S n﹣2S n﹣1=（S n﹣S n﹣1）S n﹣S n2，
化为2S n﹣2S n﹣1=﹣S n﹣1S n，
可得，
即{}为首项为1，公差为的等差数列，
可得=1+（n﹣1）=，
即S n=，
S2018=，
故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n项和，考查递推数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是得，再构造等差数列.
三、解答题（共70 分）
17. 如图，在四边形ABCD中，AC平分角DAB，，AC=7，AD=6，
（1）求BC；
（2）求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)先求得，再利用正弦定理求BC=5.（2）先求得
，再求△ABC的面积.
【详解】解：（1）由已知，
所以，
在中，由正弦定理，，得.
（2）因为，所以,
所以，所以
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查差角的正弦公式和三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18. 设函数 .
（1）若对于一切实数x，恒成立，求m的取值范围；
（2）对于恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)对m分类讨论结合二次函数的图像和性质得到关于m的不等式，求得m的取值范围.(2)先转化为对于恒成立，再求的最小值,即得m的取值范围.
【详解】（1）若m=o，显然成立；
若，所以
（2）要使在恒成立,只需满足在恒成立；
因为，所以对于恒成立；
设，则；
因为，所以，所以
【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解法本题的关键有两点，其一是转化为
对于恒成立，其二是求函数g(x)的最小值.
19. 已知数列是等差数列，且 ,.
(1)求数列的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)先根据已知求得，再求得即得.(2)利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】（1）设，由已知得
所以，所以.
（2），
所以，
，
错位相减得；
，
所以.
【点睛】（1）本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.
20. 已知A、B、C分别为三边a,b,c所对的角，且
（1）求角A；
（2）若，求BC边上中线AM的最大值。

【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)先利用余弦定理正弦定理化简得，即得A的值.(2)先求得，再利用基本不等式求BC边上中线AM的最大值.
【详解】（1）由已知，，则
所以，由正弦定理，，
所以，所以，因为，所以
（2）因为AM为BC边上中线，所以在中，；在中，②；
因为，所以
①②相加，得；因为，所以
所以，所以
【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)第2问解题关键是利用余弦定理求得.
21. 已知向量，若，且A、B、C分别为三边
a,b,c所对的角.
(1)求tanB的值；
(2)若sinA，sinB，sinC成等比数列，且,求的周长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)先化简求得，即得.(2)先化简得ac=24,再根据sinA，sinB，sinC成等比数列求得b=,再利用余弦定理求a+c=10即得周长的值. 【详解】（1）由，所以
，
（2），所以
因为成等差数列，所以，
由余弦定理，，
即，所
所以周长为
【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查向量的数量积和和角的正弦，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化的能力.(2)本题利用的是整体求法，分开求a,c计算量较大.
22. 已知数列，，二次函数的对称轴为.
(1) 证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)先由题得，再利用等差数列的定义证明数列是等差数列，并求的
通项公式.(2)，先证明. 因为
，再证明.
【详解】由已知得，整理得，
左右同时乘以得，，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2），，k=1,2,…n；所以
又因为，k=1,2,…n；
所以；
所以
【点睛】(1)本题主要考查数列性质的证明和通项的求法，考查放缩法证明数列不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键有两点，其一是证明
，其二是证明
.。