二次函数的性质与图象提高高一数学总结练习含答案解析北京海淀

2.2.2 二次函数的性质与图象
1.二次函数的定义
函数y=ax 2+bx+c(a≠0)叫做① ,定义域为② .
2.二次函数的图象与性质
二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象和性质如下表:
二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)
图象
a>0
a<0
性质
开口方向 抛物线开口向上,并向上无限延伸
抛物线开口向下,并向下无限延伸
对称轴 直线x=-b
2a 顶点坐标
(-b 2a ,4ac -b 24a
) 单调性
在区间(-∞,-b
2a ]上是减函数,在区间[-b
2a ,+∞)上是增函数
在区间(-∞,-b
2a ]上是增函数,在区间[-b
2a ,+∞)上是减函数 最值
抛物线有最低点,当x=-b
2a 时,y 有最 ③ 值,y min =
4ac -b 24a
抛物线有最高点,当x=-b
2a 时,y 有最④ 值,y max =
4ac -b 24a
奇偶性 b=0时,为⑤ 函数;b≠0时,为⑥ 函数
判断下列说法是否正确,正确的打“√”,错误的打“×”.
1.二次函数f(x)=2x2+4x+3的最小值为1.( )
2.函数f(x)=-x2+2x(x∈[-1,2])的值域为[-3,0].( )
3.函数f(x)=2x2+ax+4的增区间是[4,+∞),则a的范围是[-16,+∞).()
4.二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=-2,开口向下,则f(2)>f(-3).( )
二次函数图象的对称轴及应用
1.(2013重庆,3,5分,★★☆)√(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为( )
A.9
B.9
2C.3 D.3
2
√2
思路点拨令y=(3-a)(a+6)得其图象的对称轴方程求最大值
2.(2012福建,15,4分,★★☆)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b={a2-ab,a≤b, b2-ab,a>b.
设
f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x
1,x
2
,x
3
,则x
1
x
2
x
3
的取值
范围是.
思路点拨结合已知作f(x)的图象,利用f(x)图象得到直线y=m与f(x)图象交点横坐标的值或范围.
3.(2012江苏,13,5分,★★☆)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式
f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.
思路点拨利用二次函数的最值及二次函数图象的对称轴得到区间(m,m+6)的端点的关系,消去参数m.
题组一二次函数及其图象
1.在同一坐标系中,函数y=ax2+bx与y=ax+b(a≠0,b≠0)的图象可能是( )
2.二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点坐标为(-1,-3),则b与c的值分别是( )
A.2,4
B.2,-4
C.-2,4
D.-2,-4
3.设函数f(x)={2(x>0),
x2+bx+c(x≤0).
若f(-4)=f(0), f(-2)=-2,则f(x)的解析式为,关
于x的方程f(x)=x的解的个数为.
题组二二次函数的性质
4.已知二次函数f(x)=x2-ax+4,若f(x+1)是偶函数,则实数a的值为( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
5.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(x
1)=f(x
2
)(x
1
≠x
2
),则f(x
1
+x
2
)等于( )
A.-b
2a B.-b
a
C.c
D.4ac-b
2
4a
6.已知函数f(x)=x2-2ax+a-1.
(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上具有单调性,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为-3,求a的值.
7.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.
题组三二次函数的最值
8.函数f(x)=x2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是( )
A.4
B.-4
C.与m的取值有关
D.不存在
9.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( )
A.[1,+∞)
B.[0,2]
C.(-∞,2]
D.[1,2]
10.二次函数y=x2-ax-1(a>0)在区间[0,3]上有最小值-2,则实数a= .
11.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),不等式|f(x)|≤|2x2+4x-30|对任意实数x恒成立,则f(x)的最小值是.
12.设函数f(x)=x2-|x-a|(x∈R,a∈R).
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)已知a≥0,若对任意x∈R都有f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围.
(时间:30分钟;分值:65分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015广东汕头金山中学期末,★★☆)函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞,1]内递减,在(1,+∞)内递增,则a 的值为( )
A.1
B.3
C.5
D.-1
2.(2016河南郑州高三质量检测,★★☆)已知函数f(x)={-x2+2x,x≥0,
x2-2x,x<0,
若关于x的不等式
[f(x)]2+af(x)<0恰有1个整数解,则实数a的最大值为( )
A.2
B.3
C.5
D.8
二、填空题(每小题5分,共15分)
3.(2016江苏连云港高一期末,★★☆)已知函数f(x)=x2-mx+1是偶函数,则f(x)的单调增区间
是.
4.(2016甘肃西北师大附中高一期末,★★☆)已知f(x)=x2+2x+4,x∈[-2,2],则f(x)的值域
为.
5.(2016江苏无锡普通高中期末,★★☆)函数f(x)=x|2a-x|+2x,若f(x)在R上是增函数,则实数a的取值范围是.
三、解答题(每小题10分,共40分)
6.(2016重庆巴蜀中学高一期末,★★☆)已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值除以最小值为-2,求实数q的值;
(2)问是否存在常数t(t≥0)使得当x∈[t,10]时, f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t(视区间[a,b]的长度为b-a)?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
7.(2016江苏淮阳中学期末,★★☆)已知函数f(x)=x|x-a|.
(1)当a=3时,求f(x)=x的根;
(2)若f(x)<1在x∈[1
2,3
2
]上恒成立,求实数a的取值范围.
8.(2015山西大学附中月考,★★☆)已知函数f(x)=3x2-6x-5.
(1)设g(x)=f(x)-2x2+mx,其中m∈R,求g(x)在[1,3]上的最小值;
(2)若对于任意的a∈[1,2],关于x的不等式f(x)≤x2-(2a+6)x+a+b在区间[1,3]上恒成立,求实数b的取值范围.
9.(2015广东惠阳高级中学期中,★★★)已知函数f(x)=ax2-2x-1(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)解关于x的方程f(x)=0;
(3)当a≥1时,f(x)在[2,4]上的最小值为3,求f(x)在[2,4]上的最大值.
知识清单
①二次函数 ②R ③小 ④大 ⑤偶 ⑥非奇非偶
1.√
2.×
3.×
4.×
链接高考
1.B 令y=(3-a)(a+6),易知该函数的两个零点是3,-6,图象的对称轴为a=-3
2,y=(3-a)(a+6)的最大值为y=3+3
2×(-3
2+6)=(92)2
, 则√(3-a )(a +6)的最大值为9
2. 2.答案 (
1-√316
,0)
解析 函数f(x)={2x 2-x ,
x ≤0,
-x 2
+x ,
x >0
的图象如图所示.
设y=m 与y=f(x)图象交点横坐标从小到大分别为x 1、x 2、x 3. 由y=-x 2
+x=-(x -12)2+1
4,得顶点坐标为(12,1
4).
当y=14时,代入y=2x 2-x,得1
4=2x 2-x, 解得x=1-√34(舍去正值), ∴x 1∈(
1-√3
4
,0).
又∵y=-x 2+x 的对称轴为x=1
2, ∴x 2+x 3=1,且x 2,x 3>0,∴0<x 2x 3<(x 2+x 32
)2=14.
又∵0<-x 1<√3-14,∴0<-x 1x 2x 3<√3-1
16
, ∴
1-√316
<x 1x 2x 3<0.
3.答案 9
解析 ∵f(x)=x 2+ax+b 的值域为[0,+∞),∴b -a 2
4=0, ∴f(x)=x 2
+ax+14a 2
=(x +1
2a)2
.
又∵f(x)<c 的解集为(m,m+6), ∴m+m+6=-a, ∴m=-1
2a-3,
∴c=f(m)=(-1
2a -3+1
2a)2
=9.
基础过关
1.B 直线y=ax+b 中,a 为斜率,b 为纵截距.由B 知a<0,b>0,此时二次函数图象的对称轴为x=-b
2a >0,开口向下,满足题意,故选B. 2.D ∵y=-x 2
+bx+c=-(x -b 2)2+
b 2+4c
4
图象的最高点坐标为(-1,-3),
∴{b
2
=-1,
b 2+4c
4
=-3,
解得{b =-2,c =-4.故选D.
3.答案 f(x)={2 (x >0)x 2
+4x +2 (x ≤0)
;3
解析 由题意得
{16-4b +c =c ,4-2b +c =-2⇒{b =4,
c =2. ∴f(x)={
2 (x >0),
x 2
+4x +2(x ≤0).
由数形结合得f(x)=x 的解的个数为3.
4.D f(x+1)为偶函数,则f(x+1)的图象关于y 轴对称,利用平移知f(x)的图象关于直线x=1对称,∴a
2=1,∴a=2,故选D.
5.C ∵f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2),∴x 1+x 2=-b
a ,f(x 1+x 2)=f (-b
a )=a·
b 2a -b 2
a +c=c.故选C.
6.解析(1)函数f(x)的对称轴为x=a,
∵f(x)在区间[-1,1]上具有单调性,
∴a≤-1或a≥1.
(2)①当a≤-1时,f(x)在[-1,1]上是增函数,∴f(x)
min
=f(-1)=3a=-3,
得a=-1(符合);
②当-1<a<1时,f(x)在[-1,a]上是减函数,在(a,1]上是增函数,
∴f(x)
min
=f(a)=-a2+a-1=-3,
得a=-1或a=2(均不符合,舍去);
③当a≥1时,f(x)在[-1,1]上是减函数,
∴f(x)
min
=f(1)=-a=-3,
得a=3(符合).
综上:a=-1或a=3.
7.解析(1)由f(0)=f(2)知二次函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)的最小值为1,故可设
f(x)=a
1(x-1)2+1(a
1
≠0),
由f(0)=3得a
1
=2,故f(x)=2x2-4x+3.
(2)要使函数在[2a,a+1]上不单调,
则2a<1<a+1,解得0<a<1
2
.
(3)由已知得2x2-4x+3>2x+2m+1,
化简得x2-3x+1-m>0,
设g(x)=x2-3x+1-m,
则g(x)
min
>0,∵x∈[-1,1],
∴g(x)
min
=g(1)=-1-m,∴m<-1.
8.A 易知f(x)=(x-m
2)
2
+4-m
2
4
(m>0),
对称轴x=m
2
>0,
∴f(x)在(-∞,0]上为减函数.
∴f(x)
min
=f(0)=4.故选A.
9.D f(x)=(x-1)2+2,∵f(x)
min =2, f(x)
max
=3,且f(1)=2,f(0)=f(2)=3,∴1≤m≤2,故选D.
10.答案 2
解析f(x)=x2-ax-1,∵f(0)=-1,且f(x)的图象开口向上,a
2
>0,
∴{0<a
2<3,f (a 2)=-2或{a 2≥3,f (3)=-2,
解得{0<a <6,
a =±2或{
a ≥6,a =103. ∴a=2. 11.答案 -16 解析 令2x 2+4x-30=0, 得x 2+2x-15=0, ∴x=-5或x=3.
由题知x=-5或x=3时,|f(x)|≤0, ∴f(x)=0, ∴{
-a =-5+3=-2,b =(-5)×3=-15,∴{a =2,
b =-15,
经检验,符合题意,∴f(x)=x 2+2x-15=(x+1)2-16,
∴x=-1时, f(x)min =-16.
12.解析 (1)f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x), f(x)=x 2-|x-a|,f(-x)=(-x)2-|-x-a|=x 2-|x+a|, 故|x-a|=|x+a|,
两边平方得(x-a)2=(x+a)2, 则4ax=0恒成立,∴a=0, ∴a=0时,f(x)为偶函数. (2)f(x)={x 2-x +a ,x ≥a ,
x 2+x -a ,x <a .
设f 1(x)=x 2-x+a(x≥a),f 2(x)=x 2+x-a(x<a),
①求f 1(x)=x 2
-x+a(x≥a),即f 1(x)=(x -12)2
+a-1
4(x≥a)的最小值.
若a>1
2,则f 1(x)min =f 1(a)=a 2; 若0≤a≤12,则f 1(x)min =f 1(12)=a-1
4.
②求f 2(x)=x 2
+x-a(x<a),即f 2(x)=(x +12)2
-a-1
4(x<a)的最小值.
∵a≥0>-1
2,
∴f 2(x)min =f 2(-1
2)=-a-1
4. 比较-a-1
4与a 2,a-14的大小:
∵a≥0,∴-a-14<0≤a 2,-a-14<a-14,故f(x)min =-14-a,
∵f(x)≥-1对x∈R 恒成立,
∴f(x)min ≥-1(x∈R),
即-14-a≥-1,
解得a≤34,
所以a 的取值范围为0≤a≤34.
三年模拟
一、选择题
1.C 由题知直线x=1为函数y=2x 2-(a-1)x+3的图象的对称轴, ∴a -14=1,∴a=5,故选C.
2.D 由题知f(x)的图象大致如图,
[f(x)]2+af(x)<0,
可化为f(x)[f(x)+a]<0,
易得-a<f(x)<0,要满足上述不等式恰有1个整数解,
结合图象知,a 的最大值为8,故选D.
二、填空题
3.答案 [0,+∞)
解析 f(x)=x 2-mx+1是偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立,
所以x 2+mx+1=x 2-mx+1,
所以mx=-mx 恒成立,
所以m=0.
此时f(x)=x 2+1.
易知f(x)的单调增区间是[0,+∞).
4.答案 [3,12]
解析 f(x)=(x+1)2+3,x∈[-2,2],
易知f(x)min =3,
因为f(-2)=4, f(2)=12,所以f(x)max =12.
所以f(x)的值域为[3,12].
5.答案 [-1,1]
解析 f(x)=x|2a-x|+2x={[x -(a -1)]2-(a -1)2
,x ≥2a ,
-[x -(a +1)]2+(a +1)2,x <2a ,
要满足f(x)在R 上是增函数,需有{a -1≤2a ,2a ≤a +1,解得-1≤a≤1, 即实数a 的取值范围是[-1,1].
三、解答题
6.解析 (1)f(x)=x 2-16x+q+3=(x-8)2+q-61,
易知f(x)在[-1,1]上是减函数,
f(x)max =f(-1)=20+q, f(x)min =f(1)=-12+q,
则20+q -12+q =-2,解得q=43.
(2)存在.当t≥8时, f(x)在[t,10]上是增函数,
f(x)max =f(10)=-57+q,
f(x)min =f(t)=t 2-16t+q+3,
由题意得-57+q=t 2-16t+q+3+12-t,
化简得t 2-17t+72=0,
∴t=8或t=9.
当0≤t<8时, f(x)在[t,8]上是减函数,
f(x)在[8,10]上是增函数,
f(x)min =f(8)=-61+q,
f(t)=t 2-16t+q+3,
f(10)=-57+q.
当f(10)-f(8)=12-t,
即4=12-t 时,t=8(舍),
当f(t)-f(8)=12-t 时,t 2-15t+52=0,
解得t=15+√172(舍)或t=15-√172∈[0,8).
综上,存在t 满足题意,t 的值为8或9或15-√172.
7.解析 (1)x|x-3|=x,则x=0或|x-3|=1,
所以f(x)=x 的根为0或2或4.
(2)x|x-a|<1,则|x-a|<1x ,即|a-x|<1x ,
所以-1x <a-x<1x ,则x-1x <a<x+1x ,
又x∈[12,32],所以(x -1x )max =56,(x +1x )min =2,
所以56<a<2.
8.解析 (1)g(x)=x 2+(m-6)x-5,
①当-m -62<1,即m>4时,g(x)min =g(1)=m-10;
②当-m -62>3,即m<0时,g(x)min =g(3)=3m-14;
③当1≤-m -62≤3,即0≤m≤4时,g(x)min =g (-m -62)=-m 2+12m -564.
综上可得,
g(x)min ={3m -14,m <0,
-m 2+12m -564,0≤m ≤4,m -10,m >4.
(2)由题可知,b≥2x 2+2ax-a-5在x∈[1,3],a∈[1,2]时恒成立, 设h(x)=2x 2+2ax-a-5,
则b≥h(x)max ,
∵-a 2<1,∴h(x)max =h(3)=5a+13,
∴b≥5a+13恒成立,
设φ(a)=5a+13,则b≥φ(a)max ,
∵φ(a)max =23,∴b≥23.
9.解析 (1)当a=0时,函数f(x)=-2x-1在R 上为减函数;
当a≠0时,函数f(x)图象的对称轴为x=1
a
,
若a>0,则函数f(x)在(-∞,1
a ]上为减函数,在[1
a
,+∞)上为增函数,
若a<0,则函数f(x)在(-∞,1
a ]上为增函数,在[1
a
,+∞)上为减函数.
(2)方程f(x)=0,即ax2-2x-1=0,
当a=0时,方程-2x-1=0有1个实根,为x=-1
2
;
当a≠0时,Δ=4+4a.
①当Δ<0,即a<-1时,方程ax2-2x-1=0没有实根.
②当Δ=0,即a=-1时,方程ax2-2x-1=0有2个等根,x
1=x
2
=-1.
③当Δ>0,即a>-1且a≠0时,方程ax2-2x-1=0有2个实根,x=1±√1+a
a
.
(3)当a≥1时,函数f(x)=ax2-2x-1的图象开口向上,对称轴为x=1
a
∈(0,1],∴f(x)在区间[2,4]上为增函数,
∴f(x)
min
=f(2)=4a-5=3,得a=2,
∴f(x)=2x2-2x-1,
∴f(x)
max
=f(4)=23.。