天津市河西区高二(下)期中数学试卷

天津市河西区高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）
1.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中
有n种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，其中N=()
A. m+n
B. m n
C. n m
D. m×n
【答案】A
【解析】解：根据题意，N=m+n．
故选：A．
根据分类加法计数原理即可得出结果．
本题考查简单计数原理，考查学生的逻辑推理的能力，属于基础题．
2.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4
次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为()
A. 0.1×0.93
B. C41×0.13×0.9
C. 0.13×0.9
D. C41×0.1×0.93【答案】D
【解析】解：若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，
则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为：
P=C41×0.1×0.93．
故选：D．
利用n次独立试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查n次独立试验中事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是()
A. a为正相关，b为负相关，c为不相关
B. a为负相关，b为不相关，c为正相关
C. a为负相关，b为正相关，c为不相关
D. a为正相关，b为不相关，c为负相关
【答案】D
【解析】解：根据散点图，由相关性可知：
图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关；
图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关；
图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关．
故选：D．
根据散点图中点的分布特征，结合相关性的定义，即可得出结论．
本题考查了散点图中点的分布特征以及相关性定义的应用问题，是基础题目．4.如表是2×2列联表，则表中的a、b的值分别为()
A. 27、38
B. 28、38
C. 27、37
D. 28、37【答案】A
【解析】解：a=35−8=27，b=a+11=27+11=38．
故选：A．
由列联表中数据的关系求得．
本题考查了列联表的做法，属于基础题．
5.在(x−
√x
)6的展开式中，常数项为()
A. 256
B. 240
C. 192
D. 160【答案】B
【解析】解：(x−
√x )6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅x6−r⋅
√x
)r=(−2)r⋅C6r⋅
x6−32r，
由6−3
2
r=0，可得r=4，
即有展开式的常数项为16×15=240．
故选：B．
由二项式的展开式的通项公式，整理，可令x的指数为0，计算可得所求常数项．
本题考查二项式的展开式的通项公式和运用，考查运算能力，属于基础题．
6.设随机变量X～N(2,σ2)，P(0<X<4)=0.3，则P(X<0)=()
A. 0.65
B. 0.7
C. 0.35
D. 0.25
【答案】C
【解析】解：∵随机变量X～N(2,σ2)，P(0<X<4)=0.3，
∴P(0<X<2)=0.15，P(X<2)=0.5，
∴P(X<0)=P(X<2)−P(0<X<2)=0.5−0.15=0.35．
故选：C．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
7.已知随机变量的分布列如表：
若E(X)=1，则D(X)=()
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.4
D. 0.6
【答案】C
【解析】解：由分布列的性质，可得0.2+a+b=1，解得a+b=0.8①，
∵E(X)=1，
∴0×0.2+1×a+2×b=1，即a+2b=1②，
联立①②解得a=0.6，b=0.2，
D(X)=(0−1)2×0.2+(1−1)2×0.6+(2−1)2×0.2=0.4．
故选：C．
由分布列的性质，可得a+b=0.8，再根据期望公式，可推得a+2b=1，联立两个方程，解得a=0.6，b=0.2，再运用方差公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布的性质，以及期望和方差公式，属于基础题．
8. 学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，
规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为( )
A. 5
B. 12
C. 20
D. 120
【答案】B
【解析】解：从物理和历史中任选1科，有C 21
=2， 然后从其他4科中任选2科，有C 42=6，
共有2×6=12种， 故选：B ．
利用组合公式进行求解即可．
本题主要考查排列组合的简单应用，利用组合数公式是解决本题的关键，是基础题．
9. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人
比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为2
3，乙在每局中获胜的概率为1
3，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为( )
A.
241
81
B.
266
81
C.
274
81
D. 670
243
【答案】B
【解析】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为(2
3)2+(1
3)2=5
9．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P(ξ=2)=5
9，P(ξ=4)=(4
9)(5
9)=20
81，P(ξ=6)=(4
9)2=16
81， 故Eξ=2×5
9+4×20
81+6×16
81=26681
．
故选B ．
由题意比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，所以随机变量ξ的所有可能的取值为2，4，6，利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机事件的概率，在有离散型随机的期望公式求出期望． 此题考查学生对于题意的准确理解，以及对于随机变量的定义的理解及独立事件及其公式的准确理解及应用，此外还考查了期望的定义．
二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）
10. A 53−C 83
=______．
【答案】4
【解析】解：A 53−C 83=5×4×3−8×7×6
3×2×1=60−56=4．
故答案为：4．
直接利用排列，组合计算公式即可．
本题考查排列，组合计算公式，考查学生的运算求解的能力，属于基础题．
11. 已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为y ̂
=
b ̂
x −3，若∑x i 10i=1=17，∑y i 10
i=1=4，则b ̂
=______． 【答案】2.
【解析】解：因为∑x i 10i=1=17，∑y i 10
i=1=4，
所以x −
=17
10=1.7，y −
=4
10=0.4， 因为y ̂
=bx −3，且过点(1.7,0.4)， 所以0.4=1.7b ̂
−3，解得b ̂
=2． 故答案为：2．
先求出样本中心，再代入线性回归方程，求解即可．
本题考查了线性回归方程的应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
12. 已知离散型随机变量X 的方差为1，则D(2X +1)=______． 【答案】4
【解析】解：∵离散型随机变量X 的方差为1， ∴D(X)=1，
D(2X +1)=22D(X)=4×1=4． 故答案为4．
根据已知条件，结合方差的线性公式，即可求解．
本题主要考查了方差的线性公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
13. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、
英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是______.(用数字作答) 【答案】192
【解析】解：先排数学有4种，再排体育有2种， 共有4×2A 44=192， 故答案为：192．
利用元素优先法进行排列计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用元素优先法是解决本题的关键，是基础题．
14. 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其
中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是______． 【答案】7
40
【解析】解：设A i (i =1,2)表示从第i 箱取到的零件是次品，B 表示从第一箱中取零件，B −
表示从第二箱中取零件，
由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是： P(A)=P(A 1|B)P(B)+P(A 2|B −
)P(B −
) =2
10×1
2+3
20×1
2=7
40． 故答案为：7
40．
设A i (i =1,2)表示从第i 箱取到的零件是次品，B 表示从第一箱中取零件，B −
表示从第二箱中取零件，由全概率计算公式能求出取出的零件是次品的概率．
本题考查概率的求法，考查全概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15. 现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域
不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有______． 【答案】420
【解析】解：可以同色的区域为BD，CE，
若都不同色，则有A55=120，
若只有BD同色，则有A54=120，
若只有CE同色，则有A54=120，
若BD，CE两个同色，则有A53=60，
共有120+120+120+60=420，
故答案为：420．
可以同色的区域为BD，CE，分别讨论同色的个数进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，根据同色区域的个数分别进行讨论是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共3小题，共34.0分）
16.若(2x+√3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4．
(Ⅰ)求a1+a2+a3+a4的值；
(Ⅱ)求(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2的值．
【答案】解：(I)∵(2x+√3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x=1，可得(2+√3)4=a0+a1+a2+a3+a4，
令x=0，可得(0+√3)4=a0，
∴a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4−a0=(2+√3)4−(0+√3)4=88+
56√3．
(II)∵(2x+√3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x=1，可得(2+√3)4=a0+a1+a2+a3+a4①，
令x=−1，可得(−2+√3)4=a0−a1+a2−a3+a4②，
结合①②可得，(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2=(a0−a1+a2−a3+a4)(a0+a1+
a2+a3+a4+a5)
=(2+√3)4(−2+√3)4=1．
【解析】(I)根据原等式，令x=1，可得(2+√3)4=a0+a1+a2+a3+a4，令x=0，可得(0+√3)4=a0，即可求解．
(II)根据原等式，令x=1，可得(2+√3)4=a0+a1+a2+a3+a4①，令x=−1，可得(−2+√3)4=a0−a1+a2−a3+a4②，结合①②运用平方差公式，即可求解．
本题主要考查了二项式定理，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
17. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不
再放回．求：
(Ⅰ)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
(Ⅱ)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率．
【答案】解：(I)设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，
则P(A)=3
5，P(AB)=3
5×2
4=3
10．
(II)由(I)可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率P(B|A)=
P(AB)P(A)
=
31035
=1
2
． 【解析】(I)设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，结合积概率公式，即可求解．
(II)根据(I)的结果，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查了条件概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
18. 甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进
行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是3
5，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)得0分． (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望；
(Ⅱ)规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．
【答案】解：(Ⅰ)设乙的得分为X ，X 的可能值有0，10，20，30， P(X =0)=C 3
3C 63=1
20，P(X =10)=
C 32C 31C 6
3=9
20，
P(X =20)=
C 31C 32C 6
3=
9
20
，P(X =30)=C 33
C 6
3=1
20， 乙得分的分布列为：
所以E (X )=0×1
20+10×9
20+20×9
20+30×1
20=15， 所以乙得分的数学期望为15；
(Ⅱ)由题意，每个人至少得20分才能通过测试，
所以乙通过测试的概率为120+920=1
2，
甲通过测试的概率为C 33×(3
5)3+C 32×(3
5)2×2
5=81
125
， 甲、乙都没通过测试的概率为(1−12)×(1−81125)=22
125， 因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为1−22
125=103
125．
【解析】本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查数据处理能力，属于中档题．
(Ⅰ)确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；
(Ⅱ)利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．。