上海七年级期末真题精选50题(大题提升版)(教师版)

上海期末真题精选50题（大题提升版）
100.1|10|2010-+-+．
【答案】11-【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
10
0.1|10|2010-++-+
1
1010.1
=+-+101011=-+-
11=-
【点睛】此题考查实数运算，正确化简各数是解题关键．
2．（2020·上海七年级期末）计算（结果表示为含幂的形式）：3113
2
2
3
4
1428-
⎛⎫⎛⎫⨯÷ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝
⎭
【答案】
12
2
【分析】先把原式化为同底数幂的乘除法，然后根据同底数幂的运算法则，即可得到答案.【详解】解：原式=3
13
1
24222
28⨯⨯⨯2÷311222228
=⨯÷3132
2
2
222=⨯÷12
2
=【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法和除法，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.
3．（2020·上海七年级期末）计算：32019
2019
20190111(4)(3)24π-⎛⎫⎛⎫-++⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
【答案】5
【分析】先算乘方和开方、零次幂，再算加减法即可．【详解】32019
2019
20190
111
(4)(3)24π-⎛⎫⎛⎫
-++⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2019
3
11241
4⎛⎫
=-+-⨯- ⎪
⎝⎭
1811
=-+--5
=【点睛】本题考查了实数的混合运算问题，掌握实数混合运算法则、零次幂的性质是解题的关键．
【答案】7+
3
π【分析】先算乘方和开方，再算加减法即可．
23933
π=-+--7+3
π=．
【点睛】本题考查了无理数的混合运算，掌握无理数混合运算的法则是解题的关键．
5．（2020·上海）计算：1013
1(8)(1)()2
π----+．【答案】-11．
【分析】利用分数指数幂、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的意义进行计算.【详解】原式=-2-12+1+2=-11．
【点睛】此题考查分数指数幂、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂，熟记各性质即可正确解答.
6．（2020·上海七年级期末）计算：113
2
1168-⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
.
【答案】6
【分析】先计算分数指数幂，再相减．【详解】113
2
1168-⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
＝42+＝6
【点睛】考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
7．（2020·上海七年级期末）计算：
)
2
1⎛⨯+ ⎝【答案】1
1
2
-【分析】按顺序先分别进行0次幂的运算、平方运算、立方根运算，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】
)
2
1⎛-⨯+ ⎝1122⨯-=122-=1
12-.【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了0次幂、立方根、乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
8．（2020·上海七年级期末）阅读下述材料，尝试解决问题
数学是一门充满思维乐趣的学科，现有一个33⨯的数阵A ，数阵A 中每个位置对应的数都是
1，2或3.定义a b *为数阵中第a 行、第b 列的数.例如，数阵111222333A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
第3行、第2列
所对应的数是3，所以323*=.
（1）对于数阵A ，23*的值为_________；若232x *=*，则x 的值为_________.（2）若一个33⨯的数阵对任意的,,a b c 均满足以下条件：条件一：a a a *=；
条件二：()a b c a c **=*；则称这个数阵是“有趣的”.已知一个“有趣的”数阵满足122*=，试计算21*的值.【答案】（1）2；1，2，3；（2）1.
【分析】（1）根据定义a*b为数阵中第a行第b列的数即可求解；
（2）根据a*a＝a；（a*b）*c＝a*c，将2*1变形得到2*1＝（1*2）*1即可求解；【详解】（1）对于数阵A，2*3的值为2；若2*3＝2*x，则x的值为1，2，3；（2）∵1*2＝2，∴2*1＝（1*2）*1，∵（a*b）*c＝a*c，∴（1*2）*1＝1*1，∵a*a＝a，
∴1*1＝1，
∴2*1＝1．
【点睛】考查了规律型：数字的变化类，探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．9．（2020·上海）如图，已知AB∥CD，∠CDE=∠ABF，试说明DE∥
BF的理由．
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠CDE=()．
因为∠CDE=∠ABF（已知），
得=（等量代换），
所以DE∥BF（）．
【分析】根据平行线的性质得出∠CDE=∠AED，等量代换求出∠AED=∠ABF，再根据同位角相等两直线平行可得结论.
【详解】因为AB∥CD(已知)，
所以∠CDE=∠AED(两直线平行，内错角相等)，
因为∠CDE=∠ABF（已知），
得∠AED=∠ABF（等量代换），
所以DE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查平行线的性质和判定，熟记性质和判定定理即可正确解答.
10．（2020·上海七年级期末）如图，已知在△ABC中，点D为AC边上一点，DE∥AB交边BC于点E，点F在DE的延长线上，且∠FBE＝∠ABD，若∠DEC＝∠BDA．
（1）试说明∠BDA＝∠ABC的理由；
（2）试说明BF∥AC的理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DEC=∠ABC，根据∠DEC=∠BDA求出∠BDA=∠ABC即可；（2）求出∠ABC=∠FBD，根据∠BDA=∠ABC得出∠BDA=∠FBD，根据平行线的判定得出即可．【详解】（1）理由如下：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，
∵∠DEC＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ABC；
（2）∵∠ABD＝∠FBE，∴∠ABD+∠DBE＝∠FBE+∠DBE，
即∠BAC＝∠FBD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠BDA＝∠FBD，∴BF∥AC．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
11．（2020·上海七年级期末）如图，已知∠COF+∠C＝180°，∠C＝∠B．说明AB//EF的理由．
【分析】根据平行线的判定可得EF//CD，AB//CD，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可求解．
【详解】解：∵∠COF+∠C＝180°，∴EF//CD，
∵∠C＝∠B，∴AB//CD，∴AB//EF．
【点睛】本题考查了平行线的问题，掌握平行线的性质以及判定定理、平行公理的推论是解题的关键．
12．（2021·上海七年级期末）如图，已知AB CD ∥，B D ∠=∠，请用三种不同的方法说明AD BC ∥．
【分析】有多种方法可证明：
方法一：通过∠C转化得到180D C ∠+∠=︒，从而证明；
方法二：连接BD，根据平行得ABD CDB ∠=∠，角度转化得到DBC BDA ∠=∠，从而证平行；
方法三：延长BC 至E ，根据平行得B DCE ∠=∠，角度转化得DCE D ∠=∠，从而证平行．【详解】方法一：∵AB∥CD∴180B C ∠+∠=︒∵B D ∠=∠∴180D C ∠+∠=︒∴AD∥BC
方法二：连接BD
∵AB∥CD∴ABD CDB
∠=∠又∵ABC CDA ∠=∠∴ABC ABD CDA CDB ∠-∠=∠-∠∴DBC BDA ∠=∠∴AD∥BC
方法三：延长BC 至E ∵AB∥CD∴B DCE ∠=∠又∵B D ∠=∠∴DCE D ∠=∠∴AD∥BC
【点睛】本题考查平行线的性质和证明，注意，仅当两直线平行时才有：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．
13．（2021·上海七年级期末）如图，已知在ABC ∆中，FG EB ，23∠∠=，说明
180EDB DBC ∠+∠=︒的理由．
解：∵FG EB （已知），
∴_________=_____________（____________________）．∵23∠∠=（已知），
∴_________=_____________（____________________）．∴DE BC ‖（___________________）．
∴180EDB DBC ∠+∠=︒（_________________________）．
【答案】1∠；2∠；两直线平行，同位角相等；1∠；3∠；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】先根据FG∥EB得出12∠=∠，进而推导出13∠=∠，证明DE∥BC，从而得出同旁内角互补．
【详解】解：∵FG∥EB（已知），
∴12∠=∠（两直线平行，同位角相等）．∵23∠∠=（已知），∴13∠=∠（等量代换）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∴180EDB DBC ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】本题考查平行线的性质和证明，需要注意仅当两直线平行时才有：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．
14．（2021·上海七年级期末）补充完成下列解题过程：
如图，已知直线a 、b 被直线l 所截，且//a b ，12100∠+∠=°，求3∠的度数．
解：1∠ 与2∠是对顶角（已知），12∠∠∴=（）
12100∠+∠=︒ （已知），得21100∠=︒（等量代换）．
1∴∠=_________（
）．
//a b （已知），得13∠=∠（
）．
3∴∠=________（等量代换）．
【答案】对顶角相等；50︒；等式性质；两直线平行，内错角相等；50︒【分析】直接利用平行线的性质结合等式的性质分别填空得出答案．【详解】∵∠1与∠2是对顶角（已知），∴∠1=∠2（对顶角相等）.∵∠1+∠2=100°（已知），∴2∠1=100°（等量代换），∴∠1=50°，∵a∥b（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）∴∠3=50°（等量代换）．
故答案为：对顶角相等；50°；两直线平行，内错角相等；50°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及等式的性质，正确掌握相关性质是解题关键．15．（2020·上海七年级期末）已知AB CD ∥，CE 平分ACD ∠，交AB 于点E ，128∠=︒，求A ∠的度数．
【答案】124A ∠=︒．
【分析】首先根据角平分线的性质可得∠ACE=∠DCE，再根据平行线的性质可得∠AEC=∠ECD，∠A+∠ACD=180°，进而得到∠A的度数．【详解】解：∵CE平分∠ACD交AB于E，∴∠ACD=2∠DCE，∵AB∥CD，128∠=︒∴∠ECD=128∠=︒，∴∠ACD=56°，∵AB∥CD，
∴180********A ACD ∠=︒-∠=︒-︒=︒.
【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键是掌握平行线的性质定理．
16．（2020·上海七年级期末）如图，已知130∠=︒，60B ∠=︒，AB AC ⊥，试说明AD BC ∥的理由
【分析】由垂直的定义，得到90BAC ∠=︒，由同旁内角互补即可证明结论成立.【详解】解：∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵130∠=︒，90BAC ∠=︒，∴120BAD ∠=︒，∵60B ∠=︒，∴180B BAD ∠+∠=︒，∴AD BC ∥；
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握同旁内角互补两直线平行是解题的关键.17．（2020·上海七年级期末）如图，已知ABC ，根据下列要求作图并回答问题：（1）作边AB 上的高CH ；
（2）过点H 作直线BC 的垂线，垂足为D ；（3）点B 到直线CH 的距离是线段________的长度．（不要求写画法，只需写出结论即可）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BH
【分析】（1）过点C向AB作垂线垂足为H，画出图形即可；（2）过点H向CB作垂线垂足为D，画出图形即可；
（3）根据点到直线的距离即可得出点B到直线CH的距离是线段BH的长度．【详解】解：（1）如图所示：（2）如图所示：
（3）点B到直线CH的距离是线段BH的长度．故答案为：BH．
【点睛】此题考查了作图——基本作图，一边上的高应是过这边的对角的顶点向这边引垂线，顶点和垂足间的线段就是这边上的高．
18．（2020·上海七年级期末）阅读并填空．已知：如图，线BCF 、线AEF 是直线，
,12,34AB CD ∠=∠∠=∠∥．试说明AD BC ∥．
解：AB CD ∥（已知）4∴∠=∠______（_______）
34∠∠= （已知）
3∴∠=∠______（_______）12∠=∠ （已知）
12CAE CAE ∴∠+∠=∠+∠（_______）
即BAE ∠=∠________
3∴∠=∠______（_______）//AD BC ∴（_____）
【答案】BAE
两直线平行，同位角相等
BAE 等量代换等式的性质DAC
DAC
等量代换内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的性质以及判定定理填写即可．
【详解】//AB CD Q （已知）
4BAE ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）
34∠∠= （已知）
3BAE ∴∠=∠（等量代换）
12∠=∠ （已知）
12CAE CAE ∴∠+∠=∠+∠（等式的性质）
即BAE DAC
∠=∠3DAC ∴∠=∠（等量代换）
//AD BC ∴（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查了平行线的问题，掌握平行线的性质以及判定定理是解题的关键．
19．（2020·上海七年级期末）如图，已知A ∠的两边与D ∠的两边分别平行，且D ∠比A ∠的2倍多30°，求D ∠的度数．
【答案】130D ∠=︒
【分析】设A ∠的度数为x ，则D ∠的度数为230x +︒，根据平行线的性质可得1A ∠=∠和1180D ∠+∠=︒，可得方程230180x x +︒+=︒，求解方程求出x的值，即可求出D ∠的度数．
【详解】设A ∠的度数为x ，则D ∠的度数为230x +︒
//AB DE （已知）
1A ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）
//DF AC （已知）
1180D ∴∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角相等）
A x ∠= （已设）
1x ∴∠=（等量代换）
230D x ∠=+︒ （已设）
230180x x ∴+︒+=︒（等量代换）
解得50x =︒（等式性质）
即230130D x ∠=+︒=︒
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握平行线的性质、解一元一次方程的方法是解题的关键．
20．（2021·上海七年级期末）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，已知：∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°．找出图中所有的平行线，并说明理由．
【分析】根据平行的判定定理进行计算.
【详解】解：∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2，∴BF ∥CE ，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，∴∠2+∠3＝180°，∴BC ∥EF ．
【点睛】本题考查的是平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.
21．（2020·上海七年级期末）如图，已知AB CD ∕∕，,130110A C ∠=∠=︒︒，求APC ∠的度数.
（1）填空，在空白处填上结果或者理由.
解：过点P 作PQ AB ∕
∕，（如图）
得1A ∠+∠=___________°，（
）
又因为130A ∠=︒，（已知）
所以1∠=___________°.因为,PQ AB AB CD ∕
∕∕∕，所以PQ CD ∕∕，（）
又因为110C ∠=︒，（已知）
所以2∠=___________°，
所以12APC ∠=∠+∠=___________°.
（2）请用另一种解法求APC ∠的度数.
【分析】（1）根据平行线的判定与性质填写即可；
（2）连接AC ，利用两直线平行同旁内角互补和三角形的内角和定理可求出APC ∠的度数。

【详解】（1）解：过点P 作PQ
AB ∕∕，（如图）
得1A ∠+∠=____180____°，（两直线平行，同旁内角互补）
又因为130A ∠=︒，（已知）
所以1∠=___50____°.
因为,PQ
AB AB CD ∕∕∕∕，所以PQ CD ∕∕，（平行的意义）
又因为110C ∠=︒，（已知）
所以2∠=___70___°，
所以12APC ∠=∠+∠=___120___°.
（2）连接AC ，
AB CD ∕∕，
∴∠BAC+∠DCA=180︒
130,110A C ∠=︒∠=︒ ，
∴∠PAC+∠DCA=130+110︒︒-180︒=60︒
∴APC ∠=180︒-60︒=120︒
【点睛】本题考查的是平行线的性质，通过作辅助线，构造同旁内角是解决问题的关键．
22．（2020·上海七年级期末）如图，已知B C ∠=∠，D 在BA 的延长线上，AE 是DAC ∠的平分线，试说明AE 与BC 平行的理由.
【分析】根据外角的性质，以及角平分线的性质，可证得EAC C ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行即可求证．
【详解】证明：∵DAC B C ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）又在ABC ∆，B C ∠=∠（已知）
∴2DAC C ∠=∠（等量代换）
∵AE 是DAC ∠的平分线，（已知）
∴2DAC EAC ∠=∠，（角平分线的意义）
EAC C ∠=∠（等量代换）
∴AE BC ∕∕.（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，外角的性质，平行线的判定定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
23．（2020·上海七年级期末）如图，已知CD BE ，且D E ∠=∠，试说明AD CE 的理由.
【分析】由CD∥AB,可得DCE E ∠=∠，由D E ∠=∠，由等量代换可得D DCE ∠=∠，即可完成证明.
【详解】证明：∵CD AB （已知）
∴DCE E ∠=∠（两直线平行，内错角相等）
∵D E ∠=∠（已知）
∴D DCE ∠=∠（等量代换）
∴AD CE （内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是通过图形分析证明思路.
24．（2021·上海七年级期末）已知：如图，//CD EF ，BFE DHG ∠=∠，那么EG 与AB 平行吗？为什么？
【答案】平行，理由详见解析.
【分析】由CD ∥EF 知∠BDC =∠BFE ，结合∠BFE =∠DHG 得∠BDC =∠DHG ，利用平行线的判定即可得证．
【详解】平行．理由如下：
∵CD ∥EF ，∴∠BDC =∠BFE ，
又∵∠BFE =∠DHG ，∴∠BDC =∠DHG ，∴EG ∥AB ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
25．（2020·上海七年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边BC上（不与点B、C重合），BE⊥AD，重足为E，过点C作CF⊥CE，交线段AD于点F．
（1）试说明△CAF≌△CBE的理由；
（2）数学老师在课堂上提出一个问题，如果EF＝2AF，试说明CD＝BD的理由．班级同学随后进行了热烈讨论，小明同学提出了自己的想法，可以取EF的中点H，联结CH，就能得出结论，你能否能根据小明同学的想法，写出CD＝BD的理由．
【分析】（1）由三角形内角和定理和余角的性质可得∠CAF=∠CBE，∠ACF=∠BCE，由“ASA”可证△CAF≌△CBE；
（2）取EF的中点H，联结CH，由全等三角形的性质可得CF=CE，AF=BE，可证△CEF是等腰直角
三角形，由等腰直角三角形的性质可得CH=FH=EH=1
2EF，CH⊥EF，由“AAS”可证△CHD≌△
BED，可得CD=BD．
【详解】解：（1）∵BE⊥AD，∴∠ACB＝∠BED＝90°，
又∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAF＝∠CBE，
∵CE⊥CF，∴∠ECF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠BCE，
又∵AC＝BC，∴△CAF≌△CBE（ASA）；
（2）如图，取EF的中点H，联结CH，∵△CAF≌△CBE，∴CF＝CE，AF＝BE，
∴△CEF是等腰直角三角形，∵点H是EF中点，∴CH＝FH＝EH＝1
2EF，CH⊥EF，
∵EF＝2AF，∴CH＝AF＝FH＝EH，∴CH＝BE，
又∵∠CDH＝∠BDE，∠CHD＝∠BED＝90°，∴△CHD≌△BED（AAS），∴CD＝BD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
26．（2020·上海七年级期末）如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE＝∠A＝∠B，CD＝CE．（1）说明△ACD与△BEC全等的理由；
（2）说明AB＝AD+BE的理由．
【分析】（1）由三角形内角和得∠D＝∠BCE，再由AAS证明三角形全等；
（2）由全等三角形的性质可得AC＝BE，AD＝BC，进而由线段的和差得结论．
【详解】（1）∵∠DCE＝∠A，∴∠D+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，∴∠D＝∠BCE，
在△ACD和△BEC中，
A B
D BCE
CD EC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△ACD≌△BEC（AAS）；
（2）∵△ACD≌△BEC，∴AD＝BC，AC＝BE，∴AC+BC＝AD+BE，即AB＝AD+BE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，属于基础题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
27．（2020·上海七年级期末）阅读并填空：
如图：根据六年级第二学期学过的用直尺、圆规作线段中点的方法，画出了线段AB的中点C，请说明这种方法正确的理由．
解：连接AE、BE、AF、BF．
在△AEF和△BEF中，
EF＝EF（），
＝（画弧时所取的半径相等），
＝（画弧时所取的半径相等）．
所以△AEF≌△BEF（）．
所以∠AEF＝∠BEF（）．
又AE＝BE，
所以AC＝BC（）．
即点C是线段AB的中点．
【答案】公共边，AE、BE，AF、BF，SSS，全等三角形对应角相等，等腰三角形三线合一．【分析】根据SSS证△AEF≌△BEF，推导出∠AEF＝∠BEF，再根据等腰三角形性质求出即可．【详解】如图，连接AE、BE、AF、BF，
在△AEF和△BEF中，
EF＝EF（公共边），
AE＝BE（画弧时所取的半径相等），
AF＝BF（画弧时所取的半径相等）．
所以△AEF≌△BEF（SSS）．
所以∠AEF＝∠BEF（全等三角形的对应角相等）．
又AE＝BE，
所以AC＝BC（等腰三角形三线合一）．
即点C是线段AB的中点．
故答案为：公共边，AE、BE，AF、BF，S．S．S，全等三角形对应角相等，等腰三角形三线合一．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，准确理解证明过程中每一步的依据是解题的关键.
28．（2021·上海七年级期末）如图，已知AB=CD，点E是AD的中点，EB=EC．试说明AD//BC 的理由．
【分析】由E 是AD 的中点，可得AE =DE ，结合已知可证△ABE ≌△DCE ，且∠EBC =∠ECB ，可得∠AEB =∠DEC ，由三角形内角和平角定义，易得∠AEB =∠EBC ，由内错角相等，两直线平行即可证明AD //BC ．
【详解】解：证明，∵点E 为AD 中点，∴AE =DE ，
又∵BE =CE ，AB =DC ，∴△ABE ≌△DCE ，∠EBC =∠ECB
∴∠AEB =∠DEC ，又∵∠EBC +∠ECB +∠BEC =180°，∠AEB +∠DEC +∠BEC =180°，
∴∠AEB =∠EBC ，∴AD ∥BC ．
【点睛】此题为平行线的证明，通过内错角相等两直线平行可证明AD ∥BC ，中间过程涉及知识点有三角形全等的判定与性质等知识点．
29．（2021·上海七年级期末）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，CD与BE交于点O，且满足BD CE =，12∠=∠．试说明ABC 是等腰三角形的理由．
【分析】由已知易证△DBO ≌△ECO ，可得∠DBO =∠ECO ，BO =CO ，继而可得∠OBC =∠OCB ，从而得结论．
【详解】解：∵12∠=∠，BD CE =，∠DOB =∠EOC ，
∴△DBO ≌△ECO ，
∴∠DBO =∠ECO ，OB =OC ，
∴∠CBO =∠BCO ，
∴∠DBO +∠CBO =∠ECO +∠BCO
即∠DBC =∠ECB ，
∴AB =AC ，
即△ABC 为等腰三角形．
【点睛】此题考查等腰三角形的证明，涉及全等三角形的判定与性质，熟知相关知识点的基础概念及相关定理是解题关键．
30．（2021·上海七年级期末）如图，已知90B C ∠=∠=︒，AE ED ⊥，AB EC =，点F 是AD 的中点，说明EF AD ⊥
的理由．
解：∵AE ED ⊥（已知），∴90AED ∠=︒（垂直的意义）．
又∵90B ∠=︒（已知），∴B AED ∠=∠（等量代换）．
∵AEC B BAE ∠=∠+∠（_____________________________________________）．即AED DEC B BAE ∠+∠=∠+∠．∴BAE DEC ∠=∠（等式性质）．
在ABE ∆与ECD ∆中，()()()B C AB EC BAE DEC ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
已知已知已证∴ABE ECD ∆∆≌（______________________），
∴AE ED =（）
∵___________________________________（已知），
∴EF AD ⊥（___________________________________________）．
【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；ASA；全等三角形对应边相等；点F 是AD 的中点；等腰三角形三线合一
【分析】先利用ASA证ABE ECD ∆∆≌，得到△AED是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可证EF AD ⊥．
【详解】解：∵AE ED ⊥（已知），∴90AED ∠=︒（垂直的意义）．
又∵90B ∠=︒（已知），∴B AED ∠=∠（等量代换）．
∵AEC B BAE ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即AED DEC B BAE ∠+∠=∠+∠．∴BAE DEC ∠=∠（等式性质）．
在ABE ∆与ECD ∆中，()()()B C AB EC BAE DEC ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
已知已知已证∴()ABE ECD ASA ∆∆≌，
∴AE ED =（全等三角形对应边相等）．
∵点F 是AD 的中点（已知），
∴EF AD ⊥（等腰三角形三线合一）．
【点睛】本题考查全等的证明和等腰三角形的性质，注意等腰三角形的“三线合一”仅指垂直于底边的那一条直线，垂直于两腰的直线没有这个性质．
31．（2021·上海七年级期末）如图，已知线段5BC =厘米，以点B 为圆心、4厘米长为半径画弧，再以点C 为圆心、3厘米长为半径画弧．设两条弧在BC 的上方交于点A ，在BC 的下方相交于点D ，联结AB 、AC 、DB 、DC ．
（1）请按上面的步骤画出ABC ∆、DBC ∆；
（2）联结AD ，说明AD 与BC 有怎样的位置关系？请说明理由．
解：
【答案】（1）见解析；（2）BC AD ⊥，理由见解析
【分析】（1）按照题干步骤绘制图形即可；
（2）先证△ABC≌△DBC，得出∠ABC=∠DBC，再证△ABE≌△DBE，进而得出结论．
【详解】（1）图形如下：
（2）如下图，连接AD，交BC于点E
∵AB=BD=4，AC=AC=3
在△ABC和△DBC中
AB BD AC DC BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△ABC≌△DBC
∴∠ABC=∠DBC
在在△ABE和△DBE中
AB BD ABC DBC BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE≌△DBE
∴AE=ED，∠AEB=∠DEB
∵∠AEB+∠DEB=180°，∴∠AEB=∠DEB=90°，∴AD⊥BC
【点睛】本题考查全等的证明，注意，本题在证明全等过程中，会用到隐含条件：BC=BC和BE=BE．
32．（2021·上海七年级期末）如图，在ABC ∆中，已知AB AC =，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，且BD CE =，BF CD =
．
（1）说明BDF CED ∆≅∆的理由；
（2）说明FDE B ∠=∠的理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△BDF≌△CED；
（2）由全等三角形的性质可得∠EDC=∠BFD，由三角形外角的性质可得∠FDE=∠B．
【详解】（1）∵在ABC ∆中，已知AB AC =（已知），
∴B C ∠=∠（等边对等角）．
在BDF ∆与CED ∆中，
∵()()()BD CE B C BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
已知已证已知∴BDF CED ∆≅∆()..S A S ．
（2）∵BDF CED ∆≅∆（已证），
∴EDC DFB ∠=∠（全等三角形的对应角相等）．
∵FDC ∠是BDF ∆的外角，
∴FDC B DFB ∠=∠+∠（三角形的外角等于与它不相邻的内角和）．
又∵FDC FDE EDC ∠=∠+∠，
∴FDE B ∠=∠（等式性质）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，外角的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
33．（2021·上海七年级期末）阅读并补充完成下列解题过程：
如图：用尺规作线段中点的方法，作出了线段AB 的中点C
，请说明这种方法正确的理由．解：联结AE 、BE 、AF 、BF ．
在AEF ∆和BEF ∆中，
()( )_________( )EF EF AE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
画弧时所取的半径相等画弧时所取的半径相等所以AEF BEF ∆≅∆（___________）．
所以AEF BEF ∠=∠（________________）．
又因为AE BE =，所以AC BC =（______________）．即点C 是线段AB 的中点．
【答案】公共边；AF BF =；..S S S ；全等三角形对应角相等；等腰三角形三线合一．
【分析】根据三角形全等的判定与性质和等腰三角形的性质进行证明．
【详解】联结AE 、BE 、AF 、BF ．
在AEF ∆和BEF ∆中，
()( )()EF EF AE BE AF BF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
公共边画弧时所取的半径相等画弧时所取的半径相等∴AEF BEF ∆≅∆（SSS）．
∴AEF BEF ∠=∠（全等三角形对应角相等）．
又∵AE BE =，
∴AC BC =（等腰三角形三线合一）．
即点C 是线段AB 的中点．
故答案为：公共边；AF BF =；..S S S ；全等三角形对应角相等；等腰三角形三线合一．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
34．（2021·上海七年级期末）书上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有底边AB 和底角B Ð可见．
（1）请你画出书上原来的等腰ABC ∆的形状，并写出结论；（可以使用尺规或三角板、量角器等工具，但保留画图痕迹及标志相应符号）；
（2）画出ABC ∆边AB 上的高，点D 为垂足，并完成下面的填空：
将“等腰三角形底边上的高平分底边和顶角”的性质用符号语言表示：在ABC ∆中，如果AC BC =，且CD AB ⊥，那么_______________，且_________________．
【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析，AD BD =（或12AD BD AB ==
），ACD BCD ∠=∠（或12
ACD BCD ACB ∠=∠=∠）．【分析】（1）作线段AB的垂直平分线分别交∠B的两边于点D，点C，连接AC，△ABC即为所求．
（2）根据三角形的高的定义即可解问题，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）如图△ABC即为所求；
（2）如图线段CD即为所求．在△ABC中，
∵AC=BC，且CD⊥AB；
∴AD BD =（或12AD BD AB ==），ACD BCD ∠=∠（或12
ACD BCD ACB ∠=∠=∠）．故答案为：AD BD =（或12AD BD AB ==
），ACD BCD ∠=∠（或12
ACD BCD ACB ∠=∠=∠）．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
35．（2020·上海七年级期末）如图，已知：90B C AED ∠=∠=∠=︒
．
（1）请你添加一个条件，使ABE ∆与ECD ∆全等，这个条件可以是_______．（只需填写一个）
（2）根据你所添加的条件，说明ABE ∆与ECD ∆全等的理由．
【答案】（1）AB EC =（或BE CD =或AE ED =）；（2）见解析．
【分析】（1）答案不唯一，可以添加条件：AB=EC；
（2）根据ASA 即可证明△ABD≌△CEB．
【详解】解：（1）AB=EC（或BE=CD或AE=ED）．
故答案为AB=EC（答案不唯一）．
（2）理由：∵∠B=∠C=∠AED=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠BAE=∠CED，
在△ABE和△ECD中，
在ABE ∆与ECD ∆中BAE CED AB EC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴()ABE ECD ASA ∆∆≌.
【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．
36．（2020·上海七年级期末）如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点（B 在A 的右侧），4MN =，1MA =，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合于一点C ，构成ABC ∆，设AB x =，求x
的取值范围．
【答案】12x <<．
【分析】表示出BN，再根据旋转的性质可得MA=AC，BN=BC，然后根据三角形的任意两边之和
大于第三边和三角形的任意两边之差小于第三边列出不等式组求解即可；
【详解】∵MN=4，MA=1，AB=x，
∴BN=4-1-x=3-x，
由旋转的性质得，MA=AC=1，BN=BC=3-x，
因为3AB BC AB BN AN AC +=+==>，
所以欲构成ABC ∆，x 只须满足：1331x x x x +>-⎧⎨
-+>⎩①②
由①，得1x >；由②，得2x <.
由此得到x 取值范围：12x <<
.【点睛】此题考查旋转的性质，三角形的三边关系，解题关键在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组．
37．（2020·上海七年级期末）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，3C ∠=∠，123∠=∠.说明ABD ∆是等腰三角形的理由．
下面七个语句是说明ABD ∆是等腰三角形的表述，但是次序乱了．请将这七个语句重新整理，说明ABD ∆
是等腰三角形，并说出依据．
①ABD ∆是等腰三角形；②23C ∠=∠+∠；③3C ∠=∠；④AB AD =；⑤123∠=∠；⑤123∠=∠；⑥223∠=∠；⑦12∠=∠．
整理如下：
【分析】根据等腰三角形的判定和性质以及三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】∵③∠3=∠C，（已知）②∠2=∠3+∠C，（三角形外角的性质）
∴⑥∠2=2∠3（等量代换），
∵⑤∠1=2∠3（已知），
∴⑦∠1=∠2（等量代换），
∴④AB=BD（等腰三角形的判定），
∴①△ABD是等腰三角形（等腰三角形的定义）．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
38．（2020·上海七年级期末）如图，点D 、E 在BC 上，已知B C ∠=∠，AD AE =，说明BD CE =
的理由．
【分析】由等腰三角形的性质得到ADE AED ∠=∠，再根据邻补角的性质可推出
ADB AEC ∠=∠，根据AAS 可判定ABD ACE ≅ ，由全等三角形的性质即可证得结论．
【详解】解：∵AD AE =，
∴ADE AED ∠=∠，
∵180ADB ADE ∠+∠=︒，180AEC AED ∠+∠=︒，
∴ADB AEC ∠=∠，
在ABD △和ACE △中，
,,B C ADB AEC AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ABD ACE ≅ （AAS ）．
∴BD CE =．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题．
39．（2020·上海七年级期末）如图，把一个长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，ED 与BC 的交点为G ，点D 、C 分别落在点D ¢、C '的位置上，若50EFG ∠=︒，求1∠
的度数．
【答案】100°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DEF =∠EFG ，再根据翻折的性质和角的计算即可求出∠DEG 的度数，然后根据两直线平行，内错角相等即可求出∠EGB 的度数．
【详解】解：∵//AD BC ，50EFG ∠=︒，
∴50∠=∠=︒DEF EFG ，
由折叠的性质得：50∠=∠=︒DEF GEF ，
∴5050100∠=∠+∠=︒+︒=︒DEG DEF GEF ，
∵//AD BC ，
所以1100∠=∠=︒DEG ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和图形折叠的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
40．（2020·上海七年级期末）如图，在ABC ∆和DEF ∆中，点,,,B E C F 在同一直线上，请你从以下4个等式中选出3个作为已知条件，余下的1个作为结论，并说明结论正确的理由．①AB DE =；②AC DF =；③ABC DEF ∠=∠；④BE CF =
．
【答案】已知条件是①，②，④，结论是③，证明见解析
【分析】此题答案不唯一，可选择已知条件是①，②，④，结论是③．由④可得BC=EF，根据SSS可得出△ABC≌△DEF，从而证出结论③．
【详解】解：已知条件是①，②，④．结论是③．
（或：已知条件是①，③，④．结论是②．）
说理过程：因为BE CF =（已知），
所以BE EC CF EC +=+（等式的性质）．
即BC EF =．
在ABC ∆和DEF ∆中，
AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
所以()ABC DEF SSS ∆≅∆．
所以ABC DEF ∠=∠（全等三角形的对应角相等）
【点睛】本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定和性质，此题还可以已知①③④，再证明②，利用SAS即可．
41．（2020·上海七年级期末）如图，在ABC 中，E 是AD 上的一点，EB EC =，ABE ACE =∠∠，请说明AD BC ⊥
．
解：因为EB EC =（已知），
所以EBC ECB ∠=∠（①）．
又因为ABE ACE =∠∠（已知），
所以ABE EBC ACE ECB ∠+∠=∠+∠（②）．
即A ABC CB =∠∠．
所以AB AC =（③）．
在ABE △和ACE △中，
()()()AB AC EB EC AE AE ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
已证已知④，
所以ABE ACE △≌△（⑤）．
得BAD CAD ∠=∠（⑥）．
所以AD BC ⊥（⑦）．
【答案】①等边对等角；②等式性质；③等角对等边；④公共边；⑤边、边、边()sss ；⑥全等三角形对应角相等；⑦等腰三角形的三线合一
【分析】先根据条件证明AB AC =，得到ABC ∆为等腰三角形，再通过证明
ABE ACE △≌△，得到BAD CAD ∠=∠，得到AD为∠BAC的平分线，然后利用等腰三角形三线合一的性质，证得AD BC ⊥.
【详解】解：因为EB EC =（已知），
所以EBC ECB ∠=∠（等边对等角）．
又因为ABE ACE =∠∠（已知），
所以ABE EBC ACE ECB ∠+∠=∠+∠（等式性质）．
即A ABC CB =∠∠．。