高三数学试题与解析-浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期开学适应性考试数学试题

2023学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题
高三年级数学学科
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2
340M x x x =--<，(){}
ln 1N x y x ==-，则M N = （
）A.()1,4 B.[)
1,4 C.()
1,4- D.[)
1,4-2.若()()12i 32i 2i z ---=+，则z =（）
A.33i
-+ B.33i
-- C.33i + D.33i
-3.已知直线0ax y +=是双曲线()22
2104
x y a a -=>的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（
）
B. C. D.4.已知a ，b
是两个不共线的单位向量，(),c a b λμλμ=+∈R ，则“0λ>且0μ>”是“()
0c a b ⋅+> ”
的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.函数()1
ln f x a x x
=+
的图象不可能是（）
A. B. C. D.
6.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（
）
A.36
B.32
C.28
D.24
7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()2
2
31x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为()0y kx k =>，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM 、直线BN 、直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则（）
A.123
2k k k += B.123
2k k k += C.123
2k k k += D.123
k k k +=8.已知直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，且直线BC 交单位圆于点A ，1AB BC ==，P 为单位圆上除A 外的任意一点，l 为过点P 的单位圆O 的切线，则（）
A.有且仅有一点P 使二面角B l C --取得最小值
B.有且仅有两点P 使二面角B l C --取得最小值
C.有且仅有一点P 使二面角B l C --取得最大值
D.有且仅有两点P 使二面角B l C --取得最大值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（）
A.A 与D 相互独立
B.A 与B 相互独立
C.B 与D 相互独立
D.A 与C 相互独立
10.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=.若2x =是()g x 的对称轴，且()24g =，则（）
A.()f x 是奇函数
B.()3,6是()g x 的对称中心
C.2是()f x 的周期
D.
()22
1
130
k g k ==∑11.在平面直角坐标系中，将函数()f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转()090αα<≤︒后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”.那么（）
A.存在90︒旋转函数
B.80︒旋转函数一定是70︒旋转函数
C.若()1
g x ax x
=+为45︒旋转函数，则1a =D.若()e
x bx h x =
为45︒旋转函数，则2
e 0b -≤≤非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

把答案填在答题卡中的横线上。

12.()622x x y y ⎛⎫+
- ⎪⎝
⎭
的展开式中42
x y 的系数为________.（用数字作答）13.已知F 为抛物线C ：2
4y x =的焦点，直线x t =与C 交于A ，B ，AF 与C 的另一个交点为D ，BF =与
C 的另一个交点为E .若ABF △与DEF △的面积之比为4，则t =________.
14.设严格递增的整数数列1a ，2a ，…，20a 满足11a =，2040a =.设f 为12a a +，23a a +，…，1920a a +这19个数中被3整除的项的个数，则f 的最大值为________，使得f 取到最大值的数列{}n a 的个数为________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）
如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ABD ，AC AD =，AB BD =.
（1）证明：BC BD ⊥；
（2）求二面角A CD B --的余弦值.16.（15分）
记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3
A π
=，2a =.（1）若sin sin 2sin B C A +=，求ABC △的面积；（2）若3
sin sin 4
B C -=，求b .17.（15分）设02
x π
<<
.（1）若1tan 2x =，求cos 44cos 23cos 44cos 23x x x x -+++；（2）证明：
tan 2sin x x
x x
->-；（3）若tan 2sin 0x x ax +->，求实数a 的取值范围.
18.（17分）
设离散型随机变量X 和Y 有相同的可能取值，它们的分布列分别为()k k P X a x ==，()k k P Y a y ==，0k x >，
0k y >，1k =，2，…，n ，1
1
1n n
k k k k x y ====∑∑.指标()D X Y ‖可用来刻画X 和Y 的相似程度，其定义为
()1
ln
n
k
k k k
x D X Y x y ==∑‖.设()~,X B n p ，01p <<.
（1）若()~,Y B n q ，01q <<，求()D X Y ‖；（2）若2n =，()1
13
P Y k =-=
，1k =，2，3，求()D X Y ‖的最小值；（3）对任意与X 有相同可能取值的随机变量Y ，证明：()0D X Y ≥‖，并指出取等号的充要条件.19.（17分）
已知椭圆C ：221259x y +=的左焦点为F ，P 为曲线E ：22
40259
x x y ++=上的动点，且点P 不在x 轴上，
直线FP 交C 于A ，B 两点.
（1）证明：曲线E 为椭圆，并求其离心率；（2）证明：P 为线段AB 的中点；
（3）设过点A ，B 且与AB 垂直的直线与C 的另一个交点分别为M ，N ，求PMN △面积的取值范围.
命题：金华一中
2023学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题
高三年级数学学科参考答案
首命题：金华一中
次命题兼审校：××中学审核：××中学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1.A
2.D
3.A
4.A
5.D
6.C
7.A
8.D
7.如图，由题意得AM l ：()12y k x =-，与圆C ：()2
2
31x y -+=联立，消y 整理得()(
)(
)
2
2
1
1
21240x k
x k ⎡⎤-+-+=⎣
⎦，2M x ∴=，21
2
1241A k x k +=+2112211242,11k k A k k ⎛⎫+∴ ⎪++⎝⎭，同理可得2
222222422,11k k B k k ⎛⎫
+- ⎪++⎝⎭
OA
OB k k = ，12
22
12
2
21222
12
22112442
11k k k k k k k k -++∴=++++，即()()1212120k k k k ++=
121k k ≠- ，2112k k ∴=-，设()00,P x y ，()()
01002024y k x y k x ⎧=-⎪∴⎨
=-⎪⎩120
12120
1224,2,k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩，12121212242,k k k k P k k k k ⎛⎫--∴ ⎪--⎝⎭，即128,33k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，131213843k k k ∴==12131
22
k k k k ∴+=
=
.8.如图，过A 作AM l ⊥于M ，连接MB 、MC
.
因为直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，直线l 在平面内，且直线BC 交单位圆于点A ，所以AC l ⊥，AM ，
AC ⊂平面AMC ，AM AC A = ，所以l ⊥平面AMC ，MC ，MB ⊂平面AMC ，所以l MC ⊥，
l MB ⊥，所以BMC ∠是二面角B l C --的平面角.
设BMC θ∠=，AMC α∠=，AMB β∠=，AM t =，则θαβ=-.由已知得(]0,2t ∈，1AB BC ==，2tan t α=
，1
tan t β=，()2
21tan tan tan tan 211tan tan 2
1t
t t t t t
αβθαβαβ-
-=-===+⋅++⋅令()22t
f t t =+，则()()
()(
)
)()
22
2
22
1222
2
t
t
t t t f t t t
+-⋅+-'==++
，当(t ∈时，()0f t '>，()f t 单
调递增，当2t ⎤∈
⎦时，()0f t '<，()f t 单调递减，()()1
2003
f f =>=.
所以(]0,2t ∈
，当t =
时，()f t
取最大值，没有最小值，即当t =时tan θ取最大值，从而θ取最大值.
由对称性知当t =时，对应P 点有且仅有两个点，所以有且仅有两点P 使二面角B l C --取得最大值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BCD
10.BD
11.ACD
10.对于A ，因为2x =是()g x 的对称轴，所以()()22g x g x -=+，又因为()()25f x g x +-=，所以
()()25f x g x -++=，故()()f x f x =-，即()f x 为偶函数，故A 错误；
对于B ，因为()()47g x f x --=，所以()()47g x f x +-=，又因为()()25f x g x +-=，联立得
()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，故B 正确；
对于C ，因为()()25f x g x +-=，()24g =，则()045f +=，即()01f =；
因为()()47g x f x --=，则()427f --=，即()23f -=-，则()()223f f =--=；显然()()20f f ≠，所以2不是()f x 的周期，故C 错误；
对于D ，因为2x =是()g x 的对称轴，所以()()62g x g x -=-，又因为()()2412g x g x -++=，即
()()612g x g x +-=，则()()212g x g x +-=，所以()()212g x g x ++=，所以()()22g x g x +=-，
即()()4g x g x =+，所以()g x 周期为4，因为()g x 周期为4，对称中心为()3,6，所以()36g =，当4x =时，代入()()47g x f x --=，即()()407g f -=，所以()48g =，所以()()408g g ==，又2x =是()g x 的对称轴，所以()()136g g ==，所以
()()22
1
5646864130k g k ==⨯+++++=∑，故D 正确.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

把答案填在答题卡中的横线上。

12.40-13.2
14.18
25270
四、解答题：本大题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）
[证]（1）依题意，AB ⊥面BCD ，又因为AB BC B = ，且BC ⊂面BCD ，所以AB BC ⊥，同理可得AB BD ⊥，
因为面ABC ⊥面BCD ，面ABC 面ABD AB =，BD ⊂面BCD ，且BD AB ⊥，所以BD ⊥面ABC ，
因为BC ⊂面ABC ，所以BC BD ⊥.
[解]（2）[方法1]取CD 中点M ，并联结AM 、BM .
（方法1）
因为AC AD =，所以AM CD ⊥，由勾股定理可知2222BC AC AB AD AB BD AB =
-=-=.
因为BC BD =，所以BM CD ⊥；
则根据二面角定义可知AMB ∠是二面角A CD B --的一个平面角，且由图可知AMB ∠为锐角.又因为AB ⊥面BCD ，同理（1）可知AB BM ⊥，设AB a =，可得22
BM a =，所以tan 2AMB ∠=
，
即二面角A CD B --的余弦值为
33
.[方法2]由（1）可知，AB 、BC 、BD 三者两两相互垂直，
故以点B 为坐标原点，分别以BC 、BD
、BA 的方向为x 、y 、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.
（方法2）由勾股定理可知2222BC AC AB AD AB BD AB =
-=-=.
设(),0,0BC a = ，则()0,,0BD a =
，
则易得平面BCD 的一个法向量可以是()10,0,1n =
，而(),0,AC a a =- ，()0,,AD a a =-
，
故可得平面ACD 的一个法向量可以是()21,1,1n =
.
设二面角A CD B --的一个平面角为α，且由图可知α为锐角.
则123cos cos ,3
n n α==
，即二面角A CD B --的余弦值为33
.16.（15分）
（1）在ABC △中，由正弦定理2sin sin sin a b c
R A B C
===可知：sin sin 2sin B C A +=可化为：
2222b c a R R R
+=⋅故可得：2b c a +=，代入可得：4
b c +=所以()2
2
2
216b c b c bc +=++=，故2
2
162b c bc +=-（*）
在ABC △中，由余弦定理可得：222
cos 2b c a A bc
+-=
代入数据和（*）式可得：4bc =
所以三角形面积为：1
sin 2
S A bc =
⨯⨯=
故三角形ABC △.（2）因为A B C π++=且3A π=，故23
B C π+=代入可得：23sin sin 34
B B π⎛⎫--=
⎪⎝⎭因此31133sin sin cos 22224B B B B B -
-=-=化简可得：3sin 34B π⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭情况一：当7
cos 34
B π⎛⎫-
= ⎪
⎝
⎭时，所以可得：sin sin 33B B ππ⎡⎤⎛⎫=-
+ ⎪
⎢⎝
⎭⎣⎦
，化简可得：321sin 8B +=
在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin 2
a
b B A
+=
⋅=
情况二：当cos 34
B π⎛⎫-
=- ⎪
⎝
⎭时，
同理可得：3sin 08
B =
<，又因为()0,B π∈，故sin 0B >
故b 的值为2
.17.（15分）（1）
116
（2）证明：先证当02
x π
<<
时，sin 0x x ->.令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x '=->在02
x π
<<
时恒成立，()sin m x x x ∴=-在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，()()00m x m ∴>=，
即当02
x π
<<
时，sin 0x x ->.要证
tan 2sin x x
x x
->-，只需证明()tan 2sin x x x x ->-，即证tan 2sin 30x x x +->令()tan 2sin 3x x x x ϕ=+-，0,
2x π⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，则()()()2
32222cos 12cos 112cos 3cos 12cos 30cos cos cos x x x x x x x x x
ϕ-+-+'=+-==>.
（或
212cos 3330cos x x +-≥⨯=）当且仅当cos 1x =时等号成立，而0cos 1x <<，()0
x ϕ∴'>∴在()x ϕ在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，()()00x ϕϕ∴>=，即tan 2sin 30
x x x +->∴当02x π<<
时，
tan 2sin x x
x x
->-.（3）令()tan 2sin f x x x ax =+-，0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则()00f =，()2
12cos cos f x x a x '=+-，令cos t x =，则t 在0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪
⎝
⎭
上单调递减，()0,1t ∈，()()212f x g t t a t '==+-，
而()3220g t t '=-
+<，()g t ∴在()0,1t ∈上递减，()f x ∴'在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上递增()f x ∴'的值域为()
3,a -+∞（I ）当30a -≥，即3a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
递增，()0f x ∴>，3a ∴≤符合题意；
（II ）当30a -<，即3a >时，()00f '<，∴存在00,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
使得()00f x '=∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，此时()0f x <，矛盾，舍.
综上知，3a ≤.18.（17分）
（1）不妨设k a k =，则()
C 1n k
k
k
k n x p p -=-，()
C 1n k
k k
k n y q
q -=-.
所以()()
()()
1C
1ln
1n k
k n
n k
k k n
n k
k k p p D X Y p p q q ---=-=
--∑‖()()
()
()
11ln
C 1ln C 111n
n n k
n k
k k
k k n
n k k p q p k p p n p p q p q --==--=⋅-+⋅---∑∑()()
11ln
ln
11p q p
np n q p q
--=+--.（2）当2n =时，()2
2P X p ==，()()121P X p p ==-，()()2
01P X p ==-.记()()()()()
()
2
2
2
2
ln 321ln 611ln 31f p D X Y p p p p p p p
p ==+--+--‖，
()()()()()()
4ln 224ln 21141ln 121f p p p p p p p p p p ⎡⎤'=++--+-----⎣⎦()()2ln ln 112ln 2p p p ⎡⎤=--+-⎣⎦.
设()()()ln ln 112ln 2g p p p p =--+-，()11
2ln 201g p p p
'=
+->-，()g p 单调递增.而102g ⎛⎫=
⎪⎝⎭，所以()f p '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为负数，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭为正数，()f p 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增，()D X Y ‖的最小值为3
ln 3ln 22
-
.
（3）当0x >时，ln 1x x ≤-，所以11ln
1x x ≤-，即1ln 1x x ≥-.故()()111
11ln 10n n n n n k k k k k k k k k k k k k k k x y D X Y x x x y x y y x =====⎛⎫=≥-=-=-= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑‖，当且仅当对所有的k ，k k x y =时等号成立.
19.（17分）
（1）E 的离心率45e =
；（2）证明过程略；
（3）PMN △面积的取值范围是720,5⎛
⎫ ⎪⎝⎭.。