2022-2023学年陕西省榆林市高二下学期第一次联考数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年陕西省榆林市高二下学期第一次联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{03}A x x =<≤∣，{26}B x x =<<∣，则A B = （）
A ．{36}x
x <<∣B ．{06}x
x <<∣C ．{23}x
x <≤∣D ．{02}x
x <<∣【答案】C
【分析】直接利用交集的定义即可求解.
【详解】因为{03}A x
x =<≤∣，{26}B x x =<<∣，所以A B = {23}x x <≤∣故选：C.
2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若3a =，2b =，3
A π
=，则B =
A ．
4
πB ．
34
πC ．
4
π或
34πD ．
6
π
【答案】A
【分析】利用正弦定理，利用题设中的边a ，b 的长和A ，求得sin B 的值，进而由边的大小关系判断出B 为锐角，求得B 的值．【详解】由正弦定理得
32222
3bsinA
sinB a
⨯=
==
，∵a ＞b ，∴3
A B
＞π
∠=∠∴B =
4
π故选A ．
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用．已知两边的长和一个边的对角，可选择用正弦定理的来解决．
3．已知,i j 是平面内不共线的两个向量，且2a i j =+ ，3b i kj =-+
，若//a b ，则实数k =（
）
A ．32
-
B ．
32
C ．6
D ．6
-【答案】D
【分析】根据向量平行的相关知识，结合平面向量基本定理即可求解.
【详解】由//a b ，得b a λ=
，
所以()322i kj i j i j λλλ-+=+=+
，
则32k λλ=-⎧⎨=⎩
，解得6k =-.
故选：D
4．已知α，β是两个不重合的平面，且直线l α⊥，则“ αβ⊥”是“//l β”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.
【详解】解：由l α⊥，若αβ⊥，则,l β可能平行或l β⊂，充分性不成立；由l α⊥，//l β，由面面垂直的判定知αβ⊥，必要性成立.所以“ αβ⊥”是“//l β”的必要不充分条件.故选：B.
5．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有()
*
2,n n n ≥∈N 个点，相应的图
案中点的总数记为n a ，则7a 等于（
）
A ．24
B ．21
C ．18
D ．15
【答案】C
【分析】由题可知，相应图案中的点数构成首项为23a =，公差为3的等差数列，由等差数列通项公式即可求出7a .
【详解】由题图可知23453,6,9,12a a a a ====，依此类推，n 每增加1，图案中的点数增加3，所以相应图案中的点数构成首项为23a =，公差为3的等差数列，所以()7372318a =+-⨯=.故选：C.
6．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》
《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（）
A ．6种
B ．12种
C ．18种
D ．24种
【答案】B
【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.
【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有3
3A 种排
法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有22A 种排法，根据乘法原理，得23
23A A 12=种排
法，即不同的默写次序有12种.故选：B.7．若曲线ln x a
y x
+=在点()1,a 处的切线与直线:250l x y -+=垂直，则实数=a （）．
A ．1
2B ．1C ．
3
2
D ．2
【答案】C
【分析】函数求导，计算()11k f ='，利用切线与直线:250l x y -+=垂直，求得a 值.【详解】因为2
1ln x a
y x --'=，所以曲线ln x a
y x
+=
在点()1,a 处的切线的斜率为()111k f a ='=-，直线l 的斜率22k =，由切线与直线l 垂直知121k k =-，即()211a -=-，解得32
a =．故选：C ．
8．已知0,0,42a b a b >>+=，则ab 的最大值为（）
A ．
14
B ．1
2
C ．1
D ．2
【答案】A
【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.【详解】因为0,0,42a b a b >>+=，
由基本不等式可得24244a b ab ab =+≥=，可得14
ab ≤，当且仅当4a b =，即11,4a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为14
.故选：A.
9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,∞+上单调递增，则不等式()()2log 1f x f >的解集为（
）
A ．()0,1
B ．()
1,+∞C ．()
0,2D ．()
2,+∞【答案】D
【分析】根据题意得到函数()f x 在R 上单调递增，把不等式转化为2log 1x >，结合对数函数的性质，即可求解.
【详解】由()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,∞+上单调递增，可得函数()f x 在R 上单调递增，
又由()()2log 1f x f >，可得2log 1x >，解得2x >，所以不等式()()2log 1f x f >的解集为()2,+∞.故选：D.
10．已知12n
x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式系数和为256，则12n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为（
）
A ．1120
B ．1120-
C ．70
D ．70
-【答案】A
【分析】根据二次项系数和可得出n 的值，再写出12n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的通项1r T +，整理后可让x 的次数为0，
得出r 的值后代入即可计算出常数项.
【详解】由12n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的二项式系数和为256，得2256n =，所以8n =，8
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式通项为
888218
81C (2)
2(1)C r
r
r
r r r r r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭
，令820r -=，得4r =，所以常数项为
444
82(1)C 16701120⨯-⨯=⨯=.
故选：A.
11．已知直线:240l x y +-=与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，
点A 是圆()()()2
2
:330C x y r r -+-=>上的动点，若APQ △的面积的取值范围是515,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则r =（
）．
A ．
54
B ．
52
C ．
253
D ．
35
4
【答案】B
【分析】运用两点间距离公式求得PQ ，由三角形面积范围可得h 范围及圆与直线相离，进而可求得r 的值.
【详解】由题意知()2,0P ，()0,4Q ，()3,3C ，
所以222(04)25PQ =+-=，点C 到直线l 的距离2334
55
d ⨯+-=
=，
设点A 到直线l 的距离为h ，则1
52APQ S PQ h h =⨯⨯=△，
因为515,22APQ S ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦△，所以535,22h ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以直线l 与圆C 相离，所以[],h d r d r ∈-+，即5,5h r r ⎡⎤∈-+⎣⎦，
所以5523552r r ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=
⎪⎩
，解得52r =．
故选：B ．12．已知3491625
ln
,ln
,ln 4e
9e 16e
a b c ===，则（）
A ．a c b <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．c b a
<<【答案】D
【分析】构造函数()2ln(f x x =+1）(01)x x -<<，利用导函数讨论单调性即可比较大小.【详解】34
9
3116412551ln
2ln ,ln 2ln ,ln 2ln 2233444e 9e 16e
a b c ==-==-==-，构造函数()2ln(f x x =+1）(01)x x -<<，则()21111
x
f x x x -=
-=++'，当01x <<时，()()0,f x f x '>在()0,1上单调递增，所以111432f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以c b a <<.故选:D.
二、填空题
13．已知()929
0129(21)1(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++ ，则0129a a a a ++++=
.
【答案】-1
【分析】令0x =，代入即可得出答案.
【详解】令0x =，得9
0129(1)a a a a -=++++ ，所以01291a a a a ++++=- .
故答案为：-1.
14．在复平面内，复数3i
1i
z -=+（其中i 为虚数单位）对应的点位于第象限.
【答案】四
【分析】先利用复数的除法化简复数，再利用复数的几何意义求解.【详解】解；因为()()()()3i 1i 3i 24i
12i 1i 1i 1i 2
z ----=
===-++-，所以复数z 对应的点的坐标为()1,2-，所以复数z 对应的点位于第四象限.故答案为：四
15．某班从5名男同学和4名女同学中选取4人参加学校的“辩论大赛”，要求男、女生都有，则不同的选法共有种．
【答案】120
【分析】利用间接法：在所有组合中排除全为男生和全为女生的情况，利用组合数计算求解．【详解】从9名同学中选取4人，有4
9C 种不同的选法，其中全为男生，全为女生的情况分别有4
5C 种，4
4C 种，
所以男、女生都有的不同的选法共有444
954C C C 120--=（种）．
故答案为：120.
16．粽，即粽粒，俗称棕子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等．棕子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品．某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个棱长为8cm 的正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，则这个肉丸的体积的最大值是3cm ．
【答案】
646
27
π/
64627π【分析】由题意，当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，计算正四面体的表面积与体积，再根据等体积法求解出内切球的半径，代入球的体积公式计算即可.【详解】当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，如图，设正四面体的高为h ，内切球的半径为r ，
所以283
43,33CD CO CD ==='，所以863h PO ='=，
正四面体的表面积为13
48864322
S =⨯⨯⨯⨯=，
根据等体积法，得13P ABC V rS -=，即113861
8832233
rS ⨯⨯⨯⨯⨯=，
解得26
3r =
，所以34π646π327
V r ==，即肉丸的体积的最大值为3646
πcm 27
．故答案为：
646
π27
三、解答题
17．小刘从事陕北红枣批发多年，有很多客户，小刘把去年采购陕北红枣的数量x （单位：箱）在[100,200)的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表：
采购数x
[)100,120[)
120,140[)
140,160[)160,180[)
180,200客户数
20
20
10
40
10
已知去年“大客户”们采购的陕北红枣数量占小刘去年总销
售量的3
5
.
(1)根据表中的数据完善频率分布直方图，并估计采购数在150箱以下（含150箱）的“大客户”数；(2)估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1)表格见解析，45（人）(2)25000（箱）.
【分析】（1）根据已知条件补全频率分布直方图，并由此进行估计；
（2）先求得“大客户”采购总数，由此估计总销售量.【详解】（1）作出频率分布直方图如图所示.
根据上图，可知采购量在150箱以下（含150箱）的“大客户”人数估计是150140100200.010.010.0054520-⎛
⎫⨯⨯++⨯= ⎪⎝⎭
（人）.
（2）去年“大客户”所采购的陕北红枣总数大约为
110201302015010170401901015000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（箱），所以小刘去年总的销售量为3
150********
÷=（箱）.
18．已知数列{}n a 是由正数组成的等比数列，且5256a =，34220a a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设数列{}n b 满足2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】(1)1
4
n n a -=(2)241
33
n n T n n =+--
【分析】（1）根据等比数列通项得23
11120a q a q a q +=，解出q ，1a 的值，即可得出其通项；
（2）1
422n n b n -=+-，分组求和即可.
【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，
由34220a a a +=，得23
11120a q a q a q +=，
{}n a 是由正数组成的等比数列，则10a >，0q >，
则2200q q +-=，解得4q =或5q =-（舍），又5256a =，
所以4
1256a q =，解得11a =，
所以11
14n n n a a q --==.
（2）111
22log 4log 4422n n n n n n b a a n ---=+=+=+-，所以()
1
(10)(42)(164)422n n T n -=++++++++- ()
114164(02422)n n -=+++++++++- (
)2114(022)4
114
2
3
3
n
n
n n n n ⨯-+-=
+=+--
-.19．已知()223sin cos 2sin 1222
x x x
f x =+-.
(1)求函数()f x 的最小正周期；
(2)已知,αβ均为锐角，85,co 6πs 55f αβ⎛
⎫+== ⎪⎝⎭
，求()sin αβ-的值.
【答案】(1)2π(2)25
25
-
【分析】（1）根据正弦二倍角公式和降幂公式直接化简函数，再结合三角函数的周期公式直接求解；（2）根据已知条件求出sin ,cos ,cos ,sin αβαβ，再根据正弦的差角公式求值.
【详解】（1）()21cos π23sin cos 2sin 13sin 213sin cos 2sin 2222
6x x x x f x x x x x -⎛
⎫=+-=+⨯
-=-=- ⎪⎝⎭
，所以2π
2π1
T =
=，即函数()f x 的最小正周期为2π
（2）因为8n 5π2si 6f αα⎛
⎫+== ⎪⎝
⎭，所以4sin 5α=，
又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以2
3cos 1sin 5αα=-=.
因为π50,,cos 25ββ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭
，所以225
sin 1cos 5ββ=-=，
所以()4532525
sin sin cos cos sin 555525
αβαβαβ-=-=
⨯-⨯=-20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，平面11AA D D ⊥平面ABCD ，点E 是AD 的中点，1122A A A D AD AB ====.
(1)求证：平面1A EB ⊥平面ABCD ；(2)求直线1A D 与平面1A BC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)
34
【分析】（1）先证明1A E AD ⊥，根据面面垂直的性质定理证明1A E ⊥平面ABCD ，再由面面垂直判定定理证明平面1A EB ⊥平面ABCD ；
（2）建立空间直角坐标系，求直线1A D 的方向向量与平面1A BC 的法向量，利用空间向量夹角公式求直线1A D 与平面1A BC 夹角.
【详解】（1）因为11A A A D =，点E 是AD 的中点，所以1A E AD ⊥，又平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D 平面ABCD AD =，1A E ⊂平面11AA D D ，
所以1A E ⊥平面ABCD ，又1A E ⊂平面1A EB ，所以平面1A EB ⊥平面ABCD ；（2）取BC 的中点F ，连结EF ，
因为四边形ABCD 为矩形，且22AD AB ==，所以四边形CDEF 为正方形，EF AD ⊥，
以E 为坐标原点，EF ，ED ，1EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，
则()()()()
11,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,3B C D A -，所以()()()
110,2,0,1,1,3,0,1,3BC BA A D ==-=- ，设平面1A BC 的法向量(),,m x y z = ，
则有100
m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2030y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令1z =，则0,3y x ==，
所以平面1A BC 的一个法向量()
3,0,1m = ，设直线1A D 与平面1A BC 所成角为θ，则11133sin cos ,22
4m A D m A D m A D θ-⋅====⨯⋅ ，直线1A D 与平面1A BC 所成角正弦值为34
.21．已知函数2()ln (21)1()f x a x x a x a =+-++∈R .
(1)若2a =，求()f x 的极值；
(2)求()f x 在区间[1,e]上的最小值.
【答案】(1)极大值15()2ln 224
f =--，极小值(2)2ln 25f =-；(2)答案见解析.
【分析】（1）利用导数研究()f x 的单调性，进而判断并求出()f x 的极值；
（2）对()f x 求导，讨论12
a <、12a =、12a >对应()f x '的符号确定()f x 的单调性并求最值，注意12a >时讨论a 与区间[1,e]位置关系求最值，即可得结果.
【详解】（1）由题设2()2ln 51f x x x x =+-+且0x >，则2(21)(2)()25x x f x x x x
--'=+-=，
当102x <<
或2x >时()0f x '>，当122
x <<时()0f x '<，故()f x 在1(0,)2、(2,)+∞上递增，在1(,2)2上递减，所以()f x 极大值15()2ln 224
f =--，极小值(2)2ln 25f =-.（2）由(21)()()2(21)a x x a f x x a x x --'=
+-+=，当12
a <时，在(0,)a 、1(,)2+∞上()0f x '>，在1(,)2a 上()0f x '<，所以()f x 在(0,)a 、1(,)2+∞上递增，在1(,)2
a 上递减，故[1,e]上最小值为(1)12f a =-；当12a =
时，在(0,)+∞上()0f x '≥，即()f x 在(0,)+∞上递增，故[1,e]上最小值为(1)12f a =-；当12a >时，在1(0,)2、(,)a +∞上()0f x '>，在1(,)2
a 上()0f x '<，所以()f x 在1(0,)2、(,)a +∞上递增，在1(,)2
a 上递减，若112
a <≤，[1,e]上最小值为(1)12f a =-；若1e a <≤，[1,e]上最小值为2()ln 1f a a a a a =--+；
若e a >，[1,e]上最小值为2(e)e (21)e 1f a a =-+++；
综上，1a ≤时，最小值为(1)12f a =-；
1e a <≤时，最小值为2()ln 1f a a a a a =--+；
e a >时，最小值为2(e)e (21)e 1
f a a =-+++.
22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左､右焦点分别为1212,,2,F F F F P =为C 上一动点（点P 异于C 的左右顶点），12PF F △面积的最大值为3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线12,PF PF 分别与C 交于异于点P 的,M N 两点，试判断
122112PF NF PF MF MF NF ⋅+⋅是否为定值？若
为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】(1)22
143
x y +=(2)是，103
【分析】（1）根据题意，列出方程组解221232
c c b =⎧⎪⎨⨯⨯=⎪⎩，求得,,a b c 的值，即可求得C 的方程；（2）由（1）得到()()121,0,1,0F F -，设()()()()0001122,0,,,,P x y y M x y N x y ≠，得到直线PM 和PN 的方程，联立方程组求得010352y y x =-+，020
352y y x =--，得到1212,y y y y +，进而化简得出定值.【详解】（1）解：由椭圆22
22:1x y C a b
+=满足122F F =且12PF F △面积的最大值为3，可得221232
c c b =⎧⎪⎨⨯⨯=⎪⎩，解得3,1b c ==，所以2224a b c =+=，所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=.（2）解：由（1）知椭圆C 的方程为22
143
x y +=，可得()()121,0,1,0F F -，设()()()()0001122,0,,,,P x y y M x y N x y ≠，
则直线PM 的方程为00
11x x y y +=-，联立方程组00221114
3x x y y x y +⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()()2222000003146190x y y x y y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦，所以()20
0122009314y y y x y =-++，解得()0
01220009352314y y y x x y =-=-+++，
直线PN 的方程为00
11x x y y -=+，联立方程组00221114
3x x y y x y +⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，同理可得()002220009352314y y y x x y =-=---+，所以20012122200
309,254254y y y y y y x x +=-=--因为22004,0x y <>，所以120y y >，所以1221
1200121212⋅+⋅=+=+PF NF PF MF PF PF y y MF NF MF NF y y 01212103
+==y y y y y ，为定值.
【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y 之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、
由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.。