二元一次方程组--辅导讲义(学)

二元一次方程组--辅导讲义(学)
二元一次方程组
一、知识梳理
知识点1.二元一次方程组的有关概念
二元一次方程是指含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程。

二元一次方程的解集是适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，它是这个二元一次方程的一个解。

任何一个二元一次方程都有无数多个解，由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。

两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。

一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

例1.方程ax-4y=x-1是二元一次方程，则a的取值为（），有正整数解，则x的取值应为（）。

A、a≠1.
B、a≠-1.
C、a≠1.
D、a≠2
例2.若二元一次方程3x-2y<A正奇数。

B、正偶数。

C、正奇数或正偶数。

D、<0，则这个方程的解集是（）。

例3.已知二元一次方程组的解是,则a+b=（）。

练
1.已知x,y满足方程组，则x-y的值为（）。

x+2y=4
2.请写出一个以x,y为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程的解为，这样的方程组可以是___________。

知识点2.二元一次方程组的解法
代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。

加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法。

例1：解方程组：（1）3x+2y=5（2）2x-y=8 y-3x=1
例2解方程组：x+4y=14 x-3y=31/2
练：已知关于x,y的二元一次方程组，求x,y的值。

知识点3．二元一次方程组的应用
对于含有多个未知数的问题，我们可以利用列方程组来解决。

解题步骤如下：
1）选定几个未知数；
2）根据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，
组成方程组；
3）解方程组，得到方程组的解；
4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应
用题的解。

例如，例1中的问题是某山区有23名中、小学生因贫困
失学需要捐助，资助一名中学生的研究费用需要a元，一名小学生的研究费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表。

我们可以选定未知数a和b，然后根据表格中的信
息列出方程组，解方程组得到a和b的值，最后检验是否符合
题意即可。

例2中的问题是关于三条环路的车流量问题，我们可以选定未知数x和y分别表示三环路和四环路的车流量，然后根据题目中给出的信息列出方程组，解方程组得到x和y的值即可。

在解决二元一次方程组的问题时，我们需要确定方程组中的字母系数或字母系数的范围。

例如，例1中给出了一个关于x和y的方程组，我们可以根据已知解求出m和n的值。

练1中给出了一个方程组，我们需要确定方程组中的未知数的值。

1.若二元一次方程组与有相同的解，则 =。

有公共解，则的取值为（）A、3B、－3C、－4D、4.
2.例.方程组的解是（）
2x-y=3。

x+y=3
A．x=1，y=2.
B．x=2，y=1.
C．x=1，y=1.
D．x=2，y=3.
3.练.1、二元一次方程组的解是（）
x-y=5。

x+y=2
A．x=0，y=2.
B．x=2，y=0.
C．x=1，y=1.
D．x=-1，y=-1.
4.例1.如果 |x-2y+1|+|2x-y-5|=5，则 x+y 的值为
5.
5.例2.已知代数式 -3xm-1y3 与 xnym+m 是同类项，那么m、n 的值分别是（）
m=2，n=-1
A．
m=-2，n=-1
B．
m=2，n=1
C．
m=-2，n=1
D．
6.练1.若二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，则a-b=？（）
15x+15y-5
3
A。

10/3
B。

5/3
C。

1/3
D。

2/3
7.解方程组
4/5x - 3/4y = 4
6/5x + 2/3y = 7
的值是（）
A、不能确定
B、x=4，y=5，z=-2
C、x=3，y=7，z=-2
D、x=4，y=7，z=2
8.某同学在 A、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元。

（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市 A 所有商品打八折销售，超市 B 全场购物满 100 元返购物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全场通用），但他只带了 400 XXX，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
二.填空题
1.若二元一次方程组与有公共解，则的取值为 __-4__。

2.若二元一次方程组的解是（）x=2，y=1.
3.二元一次方程组的解是（）x=1，y=1.
4.若 |x-2y+1|+|2x-y-5|=5，则 x+y 的值为 __5__。

5.已知代数式 -3xm-1y3 与 xnym+m 是同类项，那么 m、n 的值分别是（）m=2，n=-1.
6.若二元一次联立方程式的解为 x=a，y=b，则 a-
b=__2/3__。

7.解方程组 4/5x - 3/4y = 4，6/5x + 2/3y = 7 的值是（）x=4，y=7，z=2.
8.某同学看中的随身听和书包单价各是 __180 元__ 和
__92 元__。

9.该同学应该在 __超市 B__ 购买，因为在该超市购买可
以获得购物券，更划算。

2.如果mx-4y=3x-7是二元一次方程，则m不等于什么？
A。

-2 B。

0 C。

3 D。

-1
3.二元一次方程2x+y=7的正整数解有多少个？
A。

1 B。

2 C。

3 D。

4
4.用加减消元法解方程组时，以下哪一种变形是正确的？
A。

6x-2y=22.9x-6y=33 B。

9x-6y=33.6x-2y=22
C。

4x+6y=6.6x+9y=3 D。

4x+6y=6.6x+3y=9
5.有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为6，这样的两位数的个数是多少？
A。

3 B。

5 C。

6 D。

无数个
6.下列方程中，哪些是二元一次方程？
A。

6x-2=5z+6x B。

xy+3x+y=1
C。

xy3 D。

x=2y
7.若方程(m^2-9)x^2-(m-3)x-y=0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为多少？
A。

±3 B。

3 C。

-3 D。

9
8.方程x+2y=7在自然数范围内的解为多少个？
A。

无数个 B。

1个 C。

3个 D。

4个
9.用加减消元法解方程组时，以下哪一种变形是正确的？
A。

6x-2y=22.9x-6y=33 B。

9x-6y=33.6x-2y=22
C。

4x+6y=2.6x+9y=3 D。

4x+6y=1.6x+3y=3
10.甲、乙二人按2∶5的比例投资开办了一家公司，约定
除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年赢利元，那么甲、乙二人分别应分得多少元？
A。

2000元、5000元 B。

5000元、2000元
C。

4000元、元 D。

元、4000元
11.一种蜂王精有大小两种包装，3大盒4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶，大盒与小盒各装多少瓶？
A。

大盒装20瓶，小盒装12瓶 B。

大盒装21瓶，小盒装12瓶
C。

大盒装20瓶，小盒装15瓶 D。

大盒装22瓶，小盒装12瓶
12.已知方程组3x+2y=17.2x+3y=13，求x-y的值。

解答：
2x+3y=13的两倍为4x+6y=26。

3x+2y=17的两倍为6x+4y=34。

将两式相减，得2x+2y=-8。

即x+y=-4，所以x-y=2.
二、填空题
1.x=(y+3)/2
2.x=-7
3.x+y=5
4.x+y=5
5.5x+2y=67.x+y=20
6.60x+80y=1320.x+y=20
7.x=3.y=1
三、解答题
1.
将第一个方程式子化简得：x-3y+3=0
将第二个方程式子化简得：2x-8y+16=0
将第一个方程两边同时乘以2得到2x-6y+6=0，然后将这个式子与第二个式子相加，得到3x-14y+22=0
将第一个方程两边同时乘以4得到4x-12y+12=0，然后将这个式子与第二个式子相加，得到6x-21y+28=0
解得x=2，y=1
2.设大车一次可以运x吨，小车一次可以运y吨，则
2x+3y=15.5
5x+6y=35
解得x=7，y=1.5
答案：大车一次可以运7吨，小车一次可以运1.5吨。

3.设做桌面的木料为x立方米，做桌腿的木料为y立方米，则
50x+300y=10
x+4y=4
解得x=0.4，y=0.9
答案：用0.4立方米的木料做桌面，0.9立方米的木料做
桌腿。

4.将第一个方程两边同时乘以a，得到ax-by-8=4a
将第二个方程两边同时乘以5，得到10ax+25by=-110
将第一个式子乘以5，得到5ax-5by-40=20a
将第二个式子减去上面这个式子，得到5ax+30by=-90
将第二个式子乘以2，得到20ax+50by=-220
将第一个式子乘以5，得到5ax-5by-40=20a
将第二个式子乘以4，得到20ax+100by=-88
将第一个式子乘以4，得到4ax-4by-32=16a
将第二个式子减去上面这个式子，得到16by=56
解得y=3.5，代入第一个方程式子得到x=2
答案：a=4，b=10
5.设生产螺栓的人数为x，生产螺母的人数为y，则
10x+25y=90
4x+7y<=90
要使组装的机器尽可能多，即使生产的螺栓和螺母数量之比为4:7，即4x=7y，解得x=18，y=32
答案：应安排18人生产螺栓，32人生产螺母。

6.将第一个方程式子代入第二个方程，得到4a-5y-2=0，解得y=(4a-2)/5
将第二个方程式子代入第一个方程，得到3x-(4a-2)/5=5，解得x=(4a+13)/15
将这两个式子代入第三个方程，得到4a+13+15(4a-
2)/5=10a+5，解得a=2007
答案：a=2007。