2025届新疆维吾尔自治区克拉玛依市第十三中学高三冲刺模拟数学试卷含解析

2025届新疆维吾尔自治区克拉玛依市第十三中学高三冲刺模拟数学试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．
中，如果
，则
的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ） A ．5
B ．3
C ．－12
D ．－13
3．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A ．()0-∞，
B ．()23，
C ．()()023-∞⋃，
， D ．()3-∞， 4．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
A ．8
B ．
8
3
C ．4
D ．
43
5．已知函数()32cos f x x x =+，若2(3)a f =，(2)b f =，2(log 7)c f =,则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
6．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
13
D ．
23
7．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2
214
x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )
A ．2
214
y x -=
B ．22
1520y x -=
C ．22
1205x y -=
D ．2
2
14
x y -=
8．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ） A ．3
B ．5
C
D
9．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2
2
2
2(1)(21)
1236
n n n n ++++++=
）
A ．1624
B ．1024
C ．1198
D ．1560
10．已知F 为抛物线2
:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )
A ．12
B ．10
C ．9
D ．8
11．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨
->⎪⎩
，则()2019f =（） A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
12．已知函数2,0
()4,0
x
x f x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞-
B ．(1,0]-
C ．(1,)-+∞
D ．(,0)-∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()f x 对于x ∈R 都有()()4f x f x -=，且周期为2，当[]3,2x ∈--时，()()2
2f x x =+，则
52f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
________________________. 14．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 15．已知sin cos 0αα-=，则cos(2)2
π
α+
=__________.
16．5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 项的系数为_______． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）一张边长为2m 的正方形薄铝板ABCD （图甲），点E ，F 分别在AB ，BC 上，且AE CF x ==（单位：m ）.现将该薄铝板沿EF 裁开，再将DAE ∆沿DE 折叠，DCF ∆沿DF 折叠，使DA ，DC 重合，且,A C 重合于点M ，制作成一个无盖的三棱锥形容器D MEF -（图乙），记该容器的容积为V （单位：3m ），（注：薄铝板的厚度忽略不计）
（1）若裁开的三角形薄铝板EFB 恰好是该容器的盖，求x ，V 的值； （2）试确定x 的值，使得无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大.
18．（12分）为提供市民的健身素质，某市把,,,A B C D 四个篮球馆全部转为免费民用
（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从,,,A B C D 四场馆的使用场数中依次抽取1234,,,a a a a 共25场，在1234,,,a a a a 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；
（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y
10000
11761 13010 13980 14771 15440 16020 4343
0.12y
z e
=+ 2.99
3.49
4.05
4.50
4.99
5.49
5.99
①用最小二乘法求z 与x 的回归直线方程； ②
40
y
x +叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时x 的值
参考数据和公式：7
7
2
31
1
4.5,
()
700,()()70,20i
i i i i z x x x x z z e ===-=--==∑∑7
1
7
2
1
()()
()
i
i
i i
i x x z
z b x x ==--=
-∑∑，a z bx =-
19．（12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=log 2（|x+1|+|x ﹣2|﹣m ）． （1）当m=7时，求函数f （x ）的定义域；
（2）若关于x 的不等式f （x ）≥2的解集是R ，求m 的取值范围． 20．（12分）选修4—5；不等式选讲． 已知函数()|||1|f x x x =--．
(1)若()|1|f x m ≥-的解集非空，求实数m 的取值范围；
(2)若正数,x y 满足22x y M +=，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：2x y xy +≥． 21．（12分）已知等比数列{}n a 中，12a =，32a +是2a 和4a 的等差中项． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记2log n
n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y θ
θ
=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.以原点为极点，x 轴的非负半轴
为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）直线1cos :sin x t l y t θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，求||AB 最大时，直线l 的直角坐标方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
化简得lg cos A ＝lg ＝﹣lg 2，即，结合， 可求，得代入sinC ＝sinB ，从而可求
C ，B ，进而可判断. 【详解】 由，可得lg cos A ＝
＝﹣lg 2，∴
，
∵，∴
，
，∴sin C ＝sin B ＝
＝
，∴tanC ＝，C ＝，B ＝.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题． 2、B 【解析】
由题得15a d +=-，143
4162
a d ⨯+=-，解得17a =-，2d =，计算可得6a . 【详解】
25a =-，416S =-，15a d ∴+=-，143
4162
a d ⨯+
=-，解得17a =-，2d =， 6153a a d ∴=+=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，考查了学生运算求解能力. 3、C 【解析】
直接求交集得到答案. 【详解】
集合{|3}
{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C . 【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题. 4、D 【解析】
根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．
根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABCD 的四棱锥，如图所示：
结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形， 高为PA =2，
∴四棱锥的体积为2124
2323
V =⋅⋅=.
故选：D . 【点睛】
本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题. 5、D 【解析】
根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得()f x 在R 上为增函数，又由2222log 4log 733=<<<
【详解】
解：根据题意，函数()32cos f x x x =+，其导数函数()32sin f x x '=-， 则有()32sin 0f x x '=->在R 上恒成立， 则()f x 在R 上为增函数； 又由2222log 4log 733=<<< 则b c a <<；
【点睛】
本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题． 6、A 【解析】
根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】
由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有2
46C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数． 7、B 【解析】
根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】
∵双曲线C 与2
214
x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，
∴可设双曲线C 的方程为22
14y x k k
-=，一个焦点为0,5，
∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为22
1520
y x -=.
故选：B 【点睛】
此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 8、D 【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】
() 125i z i -=（i 是虚数单位）
可得()125i z i -=
解得z = 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力. 9、B 【解析】
根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意
n a ：1，4，8，14，23，36，54，……
两两作差得
n b ：3，4，6，9，13，18，……
两两作差得
n c ：1，2，3，4，5，……
设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .
易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2
(1)1
33222
n n n n b n -=+=-+，则
(1)(1)
36
n n n n B n +-=
+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10、C 【解析】
求得A 点坐标，由此求得直线AF 的方程，联立直线AF 的方程和抛物线的方程，求得B 点坐标，进而求得AB 【详解】
抛物线焦点为()2,0F ，令1x =，2
8y =
，解得y =±
(A ，则直线AF
的方程为
(
))
2212y x x =-=---
，由)228y x y x
⎧=--⎪⎨=⎪⎩
，解得(
(,4,A B -，所以
9AB =
=.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题. 11、C 【解析】
推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值． 【详解】
∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10
()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨
->⎪⎩
， ∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ． 【点睛】
本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题. 12、B 【解析】
对0x 分类讨论，代入解析式求出0()f x ，解不等式，即可求解. 【详解】
函数2,0
()4,0x
x f x x -⎧⎪=+>，由()02f x <
得00
220x
x -⎧<⎪⎨⎪⎩或02
x <>⎪⎩ 解得010-<x . 故选:B. 【点睛】
本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
14
【解析】
利用()()4f x f x -=，且周期为2，可得()()f x f x -=，得5522f f ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【详解】
∵()()4f x f x -=，且周期为2，
∴()()f x f x -=，又当[]3,2x ∈--时，()()2
2f x x =+，
∴2
555122224
f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
故答案为：1
4
【点睛】
本题考查函数的周期性与对称性的应用，考查转化能力，属于基础题. 14、9 【解析】
分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得
111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11
,1ac a c a c
=++=，因此
1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=
当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 15、1- 【解析】
首先利用sin cos 0αα-=，将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到1sin 20α-=，从而求得sin21α=，利用诱导公式求得cos(2)sin 212
π
αα+
=-=-，得到结果.
【详解】
因为sin cos 0αα-=，所以1sin 20α-=，即sin21α=， 所以cos(2)sin 212παα+
=-=-， 故答案是1-.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单题目.
16、40
【解析】
根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．
【详解】
根据二项定理展开式的通项式得()521035522r
r r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以1034r -= ，解得2r
所以系数225240C ⨯= 【点睛】
本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1x =，13
V =
；（2）当x 1时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大. 【解析】
（1）由已知求得1x =，求得三角形EBF 的面积，再由已知得到MD ⊥平面EMF ，代入三棱锥体积公式求V 的值；
（2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==，则)EF x =-，24(1)cos x EMF x -∠=
，写出三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求．
【详解】
解：（1）由题意，EFB ∆为等腰直角三角形，又AE CF x ==，
2(02)BE BF x x ∴==-<<， EFB ∆恰好是该零件的盖，1x ∴=，则12EBF S ∆=
， 由图甲知，AD AE ⊥，CD AF ⊥，
则在图乙中，MD ME ⊥，MD MF ⊥，ME MF M =，
又ME ，MF ⊂平面EMF ，MD ∴⊥平面EMF ，
11111233323
EMF EBF V S MD S MD ∆∴===⨯⨯=； （2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==，
则)EF x =-，24(1)cos x EMF x -∠=
， ∴22
1116(sin 122EMF
x S x EMF x x ∆=∠=- 令2421()()[16(1)]4
EMF f x S x x ∆==--， 32()8(1)(2)(24)f x x x x x x ∴'=--=-+-， 02x <<
，1x ∴．
可得：当1)x ∈时，()0f x '>，当1x ∈，2)时，()0f x '<，
∴
当1x =时，EMF S ∆有最大值．
由（1）知，MD ⊥平面EMF ，
∴该三棱锥容积的最大值为13EMF V S MD ∆=，且2MD =．
∴
当1x =时，()f x 取得最大值，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大．
答：当x 1时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大．
【点睛】
本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题．
18、（1）见解析，12.5（2）①0.12z x =+②20
【解析】 (1) 运用分层抽样，结合总场次为100，可求得1234,,,a a a a 的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;
(2) ①由公式可计算772
11(),()()i i
i i i x x x x z z ==---∑∑的值，进而可求z 与x 的回归直线方程；
②求出()g x ，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时x 的值.
【详解】
解：（1）抽样比为2511004
=，所以1234,,,a a a a 分别是，6，7，8，5 所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15
()1106p ξ==，()1123p ξ==，()1133p ξ==，()1156
p ξ== 所以分布列为
期望为1111()1012131512.56336E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= （2）因为77
211()700,()()70,i
i i i i x x x x z z ==-=--=∑∑ 所以71
7
21()()()
i
i i i
i x x z z b x x ==--=-∑∑，701, 4.50.125270010
a ===-⨯=， 0.12z x ∴=+； ②43430.12y
z e =+0.12x =+， 设2401ln 4343ln (),()43434040(40)x y x x g x g x x x x +
-'===+++， 所以当[0,20],()0,()x g x g x '∈>递增，当[20,),()0,()x g x g x '∈+∞<递减
所以约惠值最大值时的x 值为20
【点睛】
本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.
19、（1）(,3)
(4,)-∞-+∞，（2）(,1]-∞-
【解析】
试题分析：用零点分区间讨论法解含绝对值的不等式，根据绝对值三角不等式得出 12(1)(2)3++-≥+--=x x x x ，不等式|x+1|+|x ﹣2|≥m+4解集是R ，只需m+4≤3，得出m 的范围.
试题解析：
（1）由题设知：|x+1|+|x ﹣2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
，或，或，
解得函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．
（2）不等式f （x ）≥2即|x+1|+|x ﹣2|≥m+4，
∵x ∈R 时，恒有|x+1|+|x ﹣2|≥|（x+1）﹣（x ﹣2）|=3，
不等式|x+1|+|x ﹣2|≥m+4解集是R ，
∴m+4≤3，m 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
20、 (1)[]0,2;(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）讨论三种情况去绝对值符号，可得()1,0,21,01,1,1,x f x x x x -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩
所以()max 1f x =，由此得11m -≤，解
得02m ≤≤；（2）利用分析法，由（1）知，2M =，所以22
2x y +=，因为0,0x y >>，要证2x y xy +≥，只需证()2224x y x y +≥，即证()()2110xy xy +-≤，只需证1xy ≤ 即可得结果. 试题解析：（1）去绝对值符号，可得()1,0,21,01,1,1,x f x x x x -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩
所以()max 1f x =， 所以11m -≤，解得02m ≤≤，
所以实数m 的取值范围为[]
0,2．
（2）由（1）知，2M =，所以222x y +=．
因为0,0x y >>，
所以要证2x y xy +≥，只需证()2224x y x y +≥，
即证()2210xy xy --≤，即证()()2110xy xy +-≤. 因为210xy +>，所以只需证1xy ≤，
因为2222xy x y ≤+=，∴1xy ≤成立，所以2x y xy +≥
解法二：x 2+y 2=2，x 、y ∈R +，x +y ≥2xy 02π
θ≤≤
设：02x y θπθθ⎧=⎪⎛⎫≤≤⎨ ⎪⎝
⎭=⎪⎩ 证明：x +y -2xy
22sin cos θθθθ-⋅⋅
)sin cos 4sin cos θθθθ+-⋅
令sin cos t θθ+=
212sin cos t θθ∴+=，02πθ≤≤
∴12t ≤≤
22sin cos 1t θθ=- ∴原式=()2221t t --
=2222t t -++
=22222t t ⎛
⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭
=
当2t =时，min 22220y =-⨯++=
∴ 2x y xy +≥
21、（1）2n n a =（2）()1212n n T n +=+-
【解析】
（1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（2）把（1）中求得的结果代入b n ＝a n •log 2a n ，求出b n ，利用错位相减法求出T n ．
【详解】
(1)设数列{}n a 的公比为q ，
由题意知：()32422a a a +=+，
∴32220q q q -+-=，即()()
2210q q -+=. ∴2q ，即1222n n n a -==.
(2)2n n b n =，
∴231222322n n T n =++++.①
()23412122232122n n n T n n +=+++
+-+.② ①－②得12341222222n n n T n +-=+++++-
()1212n n +=---
∴()1212n n T n +=+-.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题．
22、（1）2sin 0ρθ-=；（2）10x y +-=.
【解析】
（1）利用22cos cos 1θθ+=消去参数θ，得到曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可求出结论；
（2）由（1）得曲线C 表示圆，直线曲线C 交于A ，B 两点，||AB 最大值为圆的直径，直线l 过圆心，即可求出直线l 的方程.
【详解】
（1）由曲线C 的参数方程cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩
（θ为参数）， 可得曲线C 的普通方程为2
2(1)1y x +-=，
因为cos ,x ρθ=sin y ρθ=，
所以曲线C 的极坐标方程为22(cos )(sin 1)1ρθρθ+-=，
即2sin 0ρθ-=. （2）因为直线1cos :sin x t l y t θθ=+⎧⎨=⎩
（t 为参数）表示的是过点(1,0)的直线， 曲线C 的普通方程为2
2(1)1y x +-=，
所以当||AB 最大时，直线l 经过圆心(0,1). ∴直线l 的斜率为1-，方程为1y x =-+，
所以直线l 的直角坐标方程为10x y +-=.
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.。